证明三角形中位线平行且等于底边一半

有网友碰到这样的问题“证明三角形中位线平行且等于底边一半”。小编为您整理了以下解决方案，希望对您有帮助：

解决方案1：

已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于1/2BC
法一：
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF‖AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴DE=EF=1/2DF、AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF‖BC且DF=BC
∴DE=1/2BC
∴三角形的中位线定理成立.
法二：
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=1/2AB AE=1/2AC
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF‖BC且DE=1/2BC

解决方案2：

1.直接相似。。。。
2.平移后成平行四边形（三边中点，两组对边平行）
3.过顶点作对边的平行线，并截为一半。与对边中点连接且与对边中线相同侧的顶点连接，得两个平行四边形，故对边平分，从而。。。（此法有六种，三个顶点均可每个顶点两个方向）
比如：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于1/2BC
过C作AB的平行线截CG=AD，连接GD，GB（G,B在中线CD的同一侧）GD与CB交于Q
则四边形CGDA,CGBD均为平行四边形（一组对边平形且相等）从而Q为中点
在四边形CGDA中又出小 平行 四边形QDEC即证DE平行且等于1/2BC

4.3的方法改一下作辅助线的描述与方法，即又有六种，即过三个顶点作相邻边中线的平行线，且截取相同的长度，完全与3类似

5.同3，4,辅助线描述为作3与4的两种平行线，然后相交，效果一样，方法类似

解决方案3：

已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于1/2BC
法一：
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF‖AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴DE=EF=1/2DF、AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF‖BC且DF=BC
∴DE=1/2BC
∴三角形的中位线定理成立.
法二：
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=1/2AB AE=1/2AC
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF‖BC且DE=1/2BC

解决方案4：

已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于1/2BC
法一：
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF‖AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴DE=EF=1/2DF、AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF‖BC且DF=BC
∴DE=1/2BC
∴三角形的中位线定理成立.
法二：
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=1/2AB AE=1/2AC
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF‖BC且DE=1/2BC

解决方案5：

建立坐标系
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
设D为AB中点((a1+b1)/2,(a2+b2)/2)
E为AC中点((a1+c1)/2,(a2+c2)/2)
CB=((b1-c1),(b2-c2))
|BC|=根号[(b1-c1)²+(b2-c2)²]
DE=[(c1-b1)/2,(c2-b2)/2]
|DE|=根号[(b1-c1)²+(b2-c2)²]/2
所以满足BC=tDE, t=常数-1/2
向量CB平行向量DE
且|DE|=|BC|/2
DE模为BC的一半
所以，三角形中位线平行且等于底边一半

三角形的顶点是A,其他两点是B和C.AB和AC的中点是E和F。
延长EF至G,使EF等于FG
证三角形AEF全等于三角形CGF
得出AE等于CG 角A等于角GCF
AB平行于CG
又因为AE等于BE
所以BE等于CG
所以四边形EBCG是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
所以EF平行于BC
又因为EF=FG，EG=BC
然后就可以证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半