判断p级数的敛散性？并证明。（高等数学）

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解决方案1：

高等数学中，判断p级数的敛散性有着明确的法则。首先，当p的值小于等于1时，由于调和级数的发散性，根据比较审敛法，如果有一个发散的vn级数满足un对所有n>N都大于或等于vn，那么un也将是发散的。既然调和级数1/n是发散的，因此p级数在p≤1的情况下也是发散的。

当p大于1时，证明策略则是通过构造一个收敛数列来与p级数进行比较。对于每个整数k，找到一个邻域区间[k-1, k]，使得在这个区间内，函数1/x的p次幂的积分小于1/p，这有助于证明p级数的收敛。通过积分求解并利用积分区间的可加性，将p级数的和在一个小于1/x^p积分函数的和之下，从而证明p级数的收敛性。

总的来说，判断p级数收敛或发散，关键在于比较它与已知收敛或发散级数的关系，利用适当的函数和积分技巧来控制其和的大小。级数是数列的一种表示形式，当其和随着项数增加趋于稳定时，我们称之为收敛，反之则为发散。直观来说，当p小于等于1时，p级数跟随调和级数的发散；而当p大于1时，通过构造适当的比较函数，可以证明p级数是收敛的。这种证明方法体现了放缩法的基本手段，通过比较来确定级数的敛散性。