[实践应用] 深度学习之优化器

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在深度学习中，优化器用于更新模型的参数，以最小化损失函数。常见的优化函数有很多种，下面是几种主流的优化器及其特点、原理和 PyTorch 实现：

1. 随机梯度下降（SGD）

原理: 随机梯度下降通过对每个小批量数据计算梯度，并根据梯度更新参数。它是最基本的优化算法，易于实现，但可能在复杂问题上表现较差。

公式:
$$\theta =\theta -\eta {\nabla }_{\theta }J(\theta )$$

其中:

• $\theta$ 是模型参数。
• $\eta$ 是学习率。
• ${\nabla }_{\theta }J(\theta )$ 是损失函数 $J$ 对参数 $\theta$ 的梯度。

PyTorch 代码:

import torch.optim as optim

# 定义模型
model = nn.Linear(10, 1)

# 定义优化器
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

2. 动量优化（Momentum）

原理: 在 SGD 的基础上，动量优化引入了“动量”项，以加速收敛并减少震荡。动量优化的核心思想是根据过去的梯度累积来更新参数。

公式:
$$v=\beta v+(1-\beta ){\nabla }_{\theta }J(\theta )$$
$$\theta =\theta -\eta v$$

其中:

• $v$ 是动量项。
• $\beta$ 是动量超参数（通常在 0.9 到 0.99 之间）。

PyTorch 代码:

import torch.optim as optim

# 定义模型
model = nn.Linear(10, 1)

# 定义优化器
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9)

3. 自适应梯度（Adagrad）

原理: Adagrad 通过调整每个参数的学习率，以适应不同的参数频率。这使得稀疏特征得到更多的更新，而频繁特征的更新则减少。

公式:
$$\theta =\theta -\frac{\eta }{\sqrt{G_t+ϵ}}{\nabla }_{\theta }J(\theta )$$

其中:

• $G_t$ 是梯度平方的累积和。
• $ϵ$ 是避免除零的平滑项（通常设置为 1e-8）。

PyTorch 代码:

import torch.optim as optim

# 定义模型
model = nn.Linear(10, 1)

# 定义优化器
optimizer = optim.Adagrad(model.parameters(), lr=0.01)

4. 自适应矩估计（Adam）

原理: Adam 结合了动量优化和自适应梯度的优点，通过一阶矩（平均梯度）和二阶矩（梯度平方的均值）来调整每个参数的学习率。

公式:
$$m_t={\beta }_1{m}_{t-1}+(1-{\beta }_1){\nabla }_{\theta }J(\theta )$$
$$v_t={\beta }_2{v}_{t-1}+(1-{\beta }_2)({\nabla }_{\theta }J(\theta ){)}^2$$
$${\hat{m}}_t=\frac{m_t}{1-{\beta }_1^t}$$
$${\hat{v}}_t=\frac{v_t}{1-{\beta }_2^t}$$
$$\theta =\theta -\frac{\eta {\hat{m}}_t}{\sqrt{{\hat{v}}_t}+ϵ}$$

其中:

• $m_t$ 是一阶矩估计（均值）。
• $v_t$ 是二阶矩估计（方差）。
• ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$ 是动量和二阶矩的衰减率（通常设置为 0.9 和 0.999）。
• $ϵ$ 是避免除零的平滑项（通常设置为 1e-8）。

PyTorch 代码:

import torch.optim as optim

# 定义模型
model = nn.Linear(10, 1)

# 定义优化器
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

5. RMSprop

原理: RMSprop 通过对每个参数的梯度平方的移动平均来调整学习率，使得频繁更新的参数有较小的学习率，而不常更新的参数有较大的学习率。

公式:
$$v_t=\beta v_{t-1}+(1-\beta )({\nabla }_{\theta }J(\theta ){)}^2$$
$$\theta =\theta -\frac{\eta {\nabla }_{\theta }J(\theta )}{\sqrt{v_t}+ϵ}$$

其中:

• $v_t$ 是梯度平方的均值。
• $\beta$ 是衰减率（通常设置为 0.9）。

PyTorch 代码:

import torch.optim as optim

# 定义模型
model = nn.Linear(10, 1)

# 定义优化器
optimizer = optim.RMSprop(model.parameters(), lr=0.01)

总结

• SGD: 基础的优化方法，简单直接。
• Momentum: 引入动量以加速收敛并减少震荡。
• Adagrad: 根据参数的稀疏性调整学习率。
• Adam: 综合了动量和自适应学习率的优点，适用于大多数任务。
• RMSprop: 通过调整学习率来应对不同的特征频率。

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