人教版九年级数学 上册 24.4：弧长和扇形面积 学案(无答案)

初中九年级数学上册

第二十四章：圆——24.4：弧长和扇形面积

一：知识点讲解

知识点一：弧长公式及其应用

 弧长公式：lnR 1802RR，即，于是n°的圆心角所对的弧长为360180 推导过程：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C2R，

所以1°的圆心角所对的弧长是

lnR 180例1：如右图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则弧BC的长为 。

知识点二：扇形面积公式及其应用

 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

 面积公式：S扇形nR21或S扇形lR 3602 推导过程：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积

SR，所以圆心角是1°的扇形的面积是

nR2nR11RlR 360180222R2360，于是圆心角为n°的扇形的面积为

S扇形例2：如右图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B

为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝6，则扇形（图中阴影部分）的面积是 。

知识点三：圆锥的侧面积和全面积

 圆锥的相关概念：

 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。  圆锥的高：连接圆锥的顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

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A.

103 A.

34 A.

32 A. 12π人教版九年级数学 上册 24.4：弧长和扇形面积 学案（无答案）

 圆锥与扇形的联系：沿着圆锥的一条母线把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这

个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。  圆锥的侧面积和全面积：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则

S1侧2l2rrl，S全S侧S底rlr2

例3：如右图，圆锥的地面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm²。

二：知识点复习

知识点一：弧长公式及其应用

1. 如右图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，

AB＝4，则弧BC的长为( )

B.

109 C.

59 D.

518 2. 如右图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径是3，∠A＝45°，则

弧BC的长是( )

B.

34592 C.

2 D.

4 3. 已知扇形的弧长为4π，半径为8，此扇形的圆心角为 。

知识点二：扇形面积公式及其应用

4. 一个扇形的圆心角是120°，面积是3πcm²，那么这个扇形的半径是( )

A. 1cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 9cm

5. 如右图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五

个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )

B.

3

C.

72 D.

2

6. 如右图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该

扇形的弧长为 。

知识点三：圆锥的侧面积和全面积

7. 如右图，圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是( )

B. 15π

C. 24π

D. 30π

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3 B.

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8. 如右图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形。若圆锥

的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角＝120°，则该圆锥的母线长l为 cm。

三：题型分析

题型一：应用弧长公式解决运动路线问题

例1：如右图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转120°至△ABC的位置，则点A经过的路线的长度是( )

43

C. 8 D.

83 题型二：扇形面积公式的应用

例2：如右图，一根5m长的绳子，一端栓在围墙墙角的柱子上，另一端栓着已知小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 m²。

题型三：“连半径，证垂直”证明切线的“主要途径”

例3：如下图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC＝BA，在∠ACB的内部作∠ACF＝30°，且CF＝CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF。

1) 若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求弧AG的长；

2) 请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由。

四：习题

1：选择题

1) 如右图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点

P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN是中点，当点

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2A.

5cm²A.

23 人教版九年级数学 上册 24.4：弧长和扇形面积 学案（无答案）

P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为( )

A.

4 B.

2 C.

6 D.

3 2) 右图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾

顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD。若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为( )

B. 10cm² C. 15cm²

D.

20cm²

3) 如右图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，

用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为( ) A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

D. 1cm

4) 一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm²，则这个扇形的圆心角是( ) A. 120°

B. 150°

C. 60°

D. 100°

5) 如右图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB

的中点，∠CDB＝30°，CD＝43，则阴影部分的面积为( )

A.

2

B.

4

C.

4 16sss3D.

3 6) 如右图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则

劣弧BC的长等于( )

B.

13 C.

23 33D.

3 7) 如右图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的

夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( )

A. 175cm²

B.

350cm²

C.

8003cm² D. 150cm²

8) 如右图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，

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分别围成正方形ABCD和扇形A1D1C1，是A1D1AD，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是( ) A. P＜Q

B. P＝Q

C. P＞Q

D. 无法确定

2：填空题

9) 如右图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边

AD、BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这个两个半圆分别交于点E、F，且EF＝2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则弧AE、

EF、弧FB、AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 。 10) 如右图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为

2cm的扇形，则S扇形 cm²。 11) 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm²。 12) 如右图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，

则图中阴影部分的面积为 。 13) 如右图①，将一圆形纸片向右、向上两次对折后

得到如右图②所示的扇形AOB。已知OA＝6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交弧AB与点D，点F是弧AB上一点。若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 。 14)

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