２０１ １年第４期 福建中学数学 ７ ｂ 总之，几何概型与高中知识有很多的交汇点， 从 ａ２ｂ，ｉ￣ｐ＝ｌ－ 一 ＝吾． 其题型新颖性、综合强，逐渐成为命题的一个重要 评注本小题主要考察几何体的体积、几何概念 的亮点，体现高考考查能力的立意及在知识交汇处 命题的原则．也正因如此，这应该是一类值得关注 等基础知识，考察宅问想象能力、推理论证能力、 运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思 的试题． 想、化归与转化思想、必然与或然思想． 圆锥曲线一个性质的推广 潘德党 福建省福州第三中学（３５０００３） 在研究圆锥曲线时，许多问题经常涉及圆锥曲 ，： ： 和 轴交点 （！一，０）的横坐标之积为定值 线的焦点和准线．如文［１］以圆锥曲线的焦点、准线 ，” 为载体，通过引入圆锥曲线的切线，建立圆锥曲线 ａ！．当ｍ＝±ｃ（ｃ＝√ 一ｂ ），即点Ｍ为椭圆的焦点 的焦点、准线与切线三者之间的位置关系．实际上， 时，则直线，即为椭圆的焦点所对应的准线，而这个 三者中的焦点与准线只是这类问题的特殊情形，它 结果正是文【１］中的性质１．此外，定理１的逆命题也 还有许多更具一般性的内容．本文将对其进行推广， 是正确的，下面将给出其形式和证明． 并以定理的形式给予陈述和论证． 定理１如果过点Ｍ（ｍ，０）（ ≠０）且倾斜角不为 定理２如果Ｐ为直线，： ＝ （１７ｌ≠０）上任意 ，” ２ 、，２ 零的直线与椭圆 ＋÷ ＝Ｉ交于Ａ，Ｂ两点，分别以 点，且Ｐ在椭圆 ＋告＝ｌ的外部（不含焦点的区 ａ’ Ｄ一 ，Ｂ为切点的椭圆的两条切线交于点尸，则点Ｐ在 域），过点尸作椭圆的两条切线ＰＡ、ＰＢ（其中Ａ、 定直线，：Ｘ： 上． 曰为两切点），则直线ＡＢ过定点Ｍ（ｍ，０）． ２ 证明设Ａ（ｘ。， ），日（． ，Ｙ２），Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）． 证明设Ｊｐ（ ，Ｙ ），由定理ｌ证明可知直线ＡＢ ｍ 当ｍ≠± 时，应用隐函数求导方法可推得 方程为三＋ ：１，故直线ＡＢ过定点Ｍ（ ，０）． ｍ Ｄ ： ， ａ Ｙｉ 】一Ｘｏ 由定理２条件知，点Ｐ在椭圆外部．否则，过 又６ ｘ ＋日 Ｙ ＝口 ｂ，化简得—ＸｏＸ Ｉ＋ ：１， 点Ｐ作椭圆的切线不可能有两条．当点Ｐ在椭圆内 部时，切线不存在；当点尸在椭圆上时，椭圆在点Ｐ 同理可得 ＋ ：１． 处的切线恰好过点Ｍ（ｍ，０）．由此可推出下面推论。 ２ 由此可知，点Ａ，Ｂ都在直线 ＸｏＸ＋ ：１上，即 推论１若Ｐ为直线，：Ｘ＝ （ ≠０）与椭圆 ， ２ ’｜１，２ 直线ＡＢ方程为—Ｘｏ Ｘ＋ ：１又由于Ａ、Ｍ、Ｂ三 ａ ＋７ 口 ５－＝１的公共点，则椭圆在点Ｐ处的切线过点 ．Ｍ（ｍ，０）． 点共线，所以 ＋ ：ｌ，解得 ： ，即证得 根据上述结论，运用类比方法可推出下面两个 推论． 点Ｐ在直线，：ｘ＝ 上；当ｍ＝±口时，则Ａ，Ｂ中有 推论２如果过点Ｎ（Ｏ， ）（，？≠０）且不垂直Ｘ轴的 ’．２ ２ 、，一点为 ，此时结论也成立． 直线与椭圆 ＋告＝１交于 ，Ｂ两点，分别以Ａ，Ｂ 由上述可知，点Ｍ（ｍ，０）（ ≠０）的横坐标与直线 ８ 福建中学数学 ２０１１年第４期 为切点的椭圆的两条切线交于点尸，则点尸在定直 ＾２ 告＝１渐近线的交点时，则也有下面结果． 一 线，：Ｙ＝ 上． ，＿２ ＾２ 定理５如果Ｐ为直线 ： ＝ （ ≠０）与双曲线 ， ’．推论３如果Ｐ为直线，： 一 （ ≠０）上任意 ｎ ｖ２ 一，２ ２ ，２ 鲁＝ｌ渐近线的交点，则过点Ｐ可作双曲线的一 Ｄ 日 点，且尸在椭圆 ＋ ＝１的外部（不含焦点的区 ０ Ｄ 条切线ＰＡ（其中 为切点），且过点 与点Ｐ所在 域），过点Ｐ作椭圆的两条切线 、Ｐ （其中Ａ、 为两切点），则直线ＡＢ过定点Ｎ（Ｏ，，２）． 由推论２和推论３可知，点Ｎ（Ｏ， ）（ ≠０）的纵 坐标与直线，： ： 和Ｙ轴交点Ｈ（ｏ， ）的纵坐标 ，？ ，７ 之积为定值ｂ ．此外，不难证明，与椭圆类同，双 曲线也有下列相关结果． 定理３如果过点 （ ，０）（ ≠０）且倾斜角不 ｖ２ ，，２ 为零的直线与双曲线 一告＝ｌ交于Ａ，Ｂ两点，口 Ｄ。 分别 以 ，Ｂ为切点的双曲线的两条切线交于点Ｐ，则 ２ 点Ｐ在定直线，：Ｘ＝ 上． ，卯 由上述可知，点Ｍ（ｍ，０）（ｍ≠０）的横坐标与直线 ７： ： 和 轴交点１４（ ，０）的横坐标之积为定值 ｍ 日。．当 ：±ｃ（ｃ＝ 。＋ｂ。），即点 为双曲线的焦 点时，则直线，即为双曲线的焦点所对应的准线，而 这个结果正是文［１】中的性质３．此外，定理３的逆命 题也是正确的，下面将给出其形式和证明． ２ 定理４如果尸为直线，：Ｘ＝ （ｍ≠０）上任意 ｍ ２ １，２ 点，又Ｐ在双曲线 一告＝１的外部（不含焦点的区 口。 Ｄ 域），且ＪＰ不在双曲线的渐近线上，则过点Ｐ可作双 曲线的两条切线ＰＡ、朋（其中 、Ｂ为两切点）， 且直线ＡＢ过定点Ｍ（ｍ，０）． 证明关于过点尸可作双曲线的两条切线问题 文［１】的预备定理已说明．下面仅证明直线ＡＢ过定点 Ｍ（ｍ，０）． ｎ２ 设Ｐ（ ，Ｙｏ），由定理３证明可知直线 Ｂ方程为 ，竹 一 ：ｌ，故直线ＡＢ过定点ＭＣ ，０）． ， Ｄ ２ 若点ＪＰ是直线，： ＝ （ ≠０）与双曲线 渐近线平行的直线过定点ｍ（ｍ，０））． 证明关于过点尸可作双曲线的一条切线问题 文［１］的预备定理已说明．下面仅证明直线ＡＭ平行 于点ＪＤ所在的渐近线． 厶 不妨设点尸在双曲线的渐近线Ｙ： 上，则点 Ｐ坐标为（ ， ），设切点 （ ，， ），于是直线ＰＡ方 ｍ ｍ 程为 臼 一 Ｄ一 ＝１．由于点Ｐ在直线 上，所以 ｙ ：—ｂ（ｘ，－ｍ）：ｌ，解得＿—，于是 ：上 ，”Ｄｍ 口 ・一， Ｌ ＝ ，由此可知直线ＡＭ平行于点Ｐ所在的渐近线． 定理５也有逆定理，其逆定理为下面形式． ２ ，２ ｖ定理６已知 为双曲线 一 ：ｌ的一条渐近 臼 Ｄ 线，过点Ｍ（ｍ，０）（ ≠０）作平行于 的直线ＡＭ交双 曲线于点Ａ，则双曲线在点Ａ处的切线过直线 ２ ，：ｘ＝ 与渐近线 的交点． 同样可以证明，与椭圆和双曲线类同，抛物线 也有相应下面结论． 定理７如果过点Ｍ（ｍ，０）的直线与抛物线 Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）交于Ａ，Ｂ两点，分别以 ， 为切 点的抛物线的两条切线交于点Ｐ，则点Ｐ在定直线 ，：Ｘ：一ｍ上． 由定理７可知，点Ｍ（ｍ，０）和直线，： ＝一 与 轴交点Ⅳ（一 ，０）的中点为抛物线的顶点．当 ＝ ， Ｚ 即点 为抛物线的焦点时，则直线，即为抛物线的 准线，而这个结果正是文［１】中的性质２．此外，定理 ７的逆命题也是正确的，下面将给出其形式和证明． 定理８如果Ｐ为直线，：Ｘ：一 上任意点，且尸 在抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的外部（不含焦点的区域）， 过点尸作抛物线的两条切线 、 （其中 ，Ｂ为 ２０１ １年第４期 福建中学数学 ９ 两切点），则直线ＡＢ过定点Ｍ（ｍ，０）． 东西更具有普遍性和一般规律，它是问题的本质， 证明设ＪＤ（一ｍ，Ｙ ），由定理７证明可知直线ＡＢ 而问题的本质才是问题的核心所在． 方程为ｐ（ｘ一 ）＝ ，故直线ＡＢ过定点Ｍ（ｍ，０）． 参考文献 从上述问题的推广及论证可知，许多数学问题 【１】潘德党．圆锥曲线的一个性质及应用［Ｊ］ 福建中学数学，２００６（１１）， 的描述只是反映问题的一些表象或某一方面，或许 ２５—２７ 它还蕴藏着许多更深层的东西，这些深层实质性的 圆锥曲线与准线有关的一个性质 彭世金 湖南省常德市第六中学（４１５００３） 笔者通过对圆锥曲线的探究，发现圆锥曲线与 当Ｊ ≠０时，在尸ｇ的方程中，令Ｙ＝０有 准线有关的一一个性质，现介绍如下． 一定理１如图ｌ，设椭圆 甓（…）， 一 ． ６／‘ ＋ ｂ １２ ：ｌ（口＞７）＞０）的一３ ，１条准线交对称轴于点 故直线ＰＱ通过ｘ轴上的定点Ｍ（一 ，０）． ，过／ｌ作直线交椭圆 当 ＝０时，ＰＱ的方程为Ｙ＝０，显然直线ＰＱ 于 ，Ｃ两点，椭圆在 通过Ｘ轴上的定点 （一 ，０）． Ｂ，Ｃ处的切线交于点 ｌ ３ Ｐ，过点Ｊｐ引ＢＣ的垂 ４Ｉ ｘ 以一 综上可知，直线尸９必通过Ｘ轴上一定点 ． 线，垂足为Ｑ，则直线 类似可证明如下性质： ＪＤＱ必通过Ｘ轴上一定 图１ ２ ，２ 定理２如图２，设双曲线 一告＝ｌ（ａ＞０，ｂ＞０） 点 ． 证明如 １，不妨设点 是椭圆的左准线与对 的一条准线交对称轴于点 ，过 作直线交双曲线 称轴的交点，Ｂ（ ，Ｊ，，），Ｃ（ｘ：，３＇２），Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ），则 于Ｂ，Ｃ两点，双曲线在Ｂ，Ｃ处的切线交于点Ｐ， 切线ＰＢ，ＰＣ的－ｈ程分别为—Ｘ１ Ｘ＋ ：１， 过点Ｐ引ＢＣ的垂线，垂足为Ｑ，则直线ＰＱ必通过 ａ‘ Ｏ‘ 轴上一定点Ｍ． Ｘ２Ｘ＋ ＝１，点ＪＰ（ ，Ｙｏ）在两切线船，ＪＤｃ’上，于 Ｊ Ｙ ＼。 是有 ＋ ：１，一Ｘ２Ｘｏ＋ ：１．从Ｉ￣ｉＢ（ｘ。，Ｙ１）， ａ— ｂ‘ 口 ｂ— 、 ＼ｃ（ ！，ｊ， ）适合方程 ＸｏＸ＋ ：１／／／～ 即直线ＢＣ的方程 ／ ～ ，ａ Ｄ一 为一ＸｏＸ＋ ：１． ／ ＼ 一 ／＼＼ ＶＩ＼ ａ‘ ｂ—‘ 图２ 图３ 又１￣￣Ｂｃ过点 （一 ，０），所以有 ：一ｃ，于 定理３如图３，设抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线 是点Ｐ（一。， ，），ＢＣ的方程为一 ＋ ｂ ：１．由 交对称轴于点Ａ，过 作直线交抛物线于Ｂ，Ｃ两 点，抛物线在Ｂ，Ｃ处的切线交于点尸，过点尸引ＢＣ ＰＱ Ａ＿ＢＣ得直线ＰＱ的斜率为一 ，则直线尸９的 的垂线，垂足为Ｑ，则直线尸Ｑ必过Ｘ轴上一定点Ｍ． 方程为 一 ＝一鬻（ ＋ｃ）．
