3、求抛物线解析式的三种方法
2016中考复习二次函数知识点分类复习及练习
知识要点：
• 1、二次函数的定义
• 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法
• 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移
• 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 •
8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=3 x²2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m2m-2x³+5,其中是二次函数的有____个。- 2χ+1 是二次函数？ 2、二次函数的图像及性质
y y 0 x 0 x 抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
b4acb2b4acb22a,4a顶点坐标 2a,4a直线xb对称轴 2a直线xb2a位置 由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定 开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增
增减性 小. 大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大
当xb4acb2最值
2a时,y最小值为4a当xb4acb22a时,y最大值为4a
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
y=a(x-h)2+k(a≠0)
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0
(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。
1
当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
练习
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ） A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异) 4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限， 判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限， 则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。
5、抛物线的平移
左加右减，上加下减 练习
⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2 （3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6 ( x5)2124
y=x
2 y(x51
2)246、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
b 当b24ac0时,方程ax2bxc0a0有两个不相等的实数根xb24ac1,22a.
当b24ac0时,方程ax2bxc0a0有两个相等的实数根:
x2b1,2a. 当b24ac0时,方程ax2bxc0a0没有实数根
二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
2
判别式： 二次函数 图象 一元二次方程b2-4ac y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 （a≠0） （a≠0）的根 b2-4ac＞0 与x轴有两个不 y 有两个不同的解 同的交点 x=x1，x=x2 （x1，0）
（x2，0） O x b2-4ac=0 与x轴有唯一个 交点 y 有两个相等的解 x1=x2= (b,0) 2baO x 2a b2-4ac＜0 与x轴没有 没有实数根 交点 y O x
7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的
顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
练习题
1．直线y＝3 x－1与y＝x－k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）
（A）k＜13 （B）13＜k＜1 （C）k＞1 （D）k＞1或k＜1
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（ ）
（1）abc＜0； （2）a＋b＋c＜0； （3）a＋c＞b； （4）a＜－b2．
（A）1 （B）2 （C）3
（D）4
3．若一元二次方程x2－2 x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的
图象不经过（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4．如图，已知A，B 是反比例函数y＝2x的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S1，S2，则（ ）
（A）SS （C）S
1＝2 （B）S1＞S2 1＜S2 （D）上述（A）、（B）、（C）都可能
5．若点A（1，y1），B（2，y2），C（，y3）在反比例函数y＝－k2＋1x的图象上，则
（ ）
（A）y
1＝y2＝y3 （B）y1＜y2＜y3 （C）y1＞y2＞y3 （D）y1＞y3＞y2
6．直线y＝ax＋c 与抛物线y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系内大致的图象是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数y＝x2－1840 x＋1997与x 轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841 m＋1997）（n2－1841 n＋1997）的值是（ ）
（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）17
3
8．某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………（ ）
（A） （B） （C） （D）
（二）填空题（每小题4分，共32分）
9．函数y＝2x1＋1x1的自变量x 的取值范围是____________．
10．若点P（a－b，a）位于第二象限，那么点Q（a＋3，ab）位于第_______象限．
11．正比例函数y＝k（k＋1）xk2k1的图象过第________象限．
12．已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则
m＝___________．
13．反比例函数y＝kx的图象过点P（m，n），其中m，n 是一元二次方程x2＋kx＋4
＝0的两个根，那么P 点坐标是_____________．
14．若一次函数y＝kx＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x≤6，相应函数值y 的范
围是－11≤y≤9，则函数解析式是___________．
15．公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部
分不足500元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同．某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y（元）与此人月收入x（元）(800＜x＜1300)间的函数关系为____________． 17．（6分）已知y＝y1＋y2，y1 与x 成正比例，y2 与x 成反比例，并且x＝1时y
＝4，x＝2时y＝5，求当x＝4时y 的值．
18．（6分）若函数y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1与x 轴只有一个交点，求k 的值．
19．（8分）已知正比例函数y＝4 x，反比例函数y＝kx．（1）当k 为何值时，这两
个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．
20．（8
分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，52），
（1，6）三点，直线l 的解析式为y＝2 x－3．（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标． 【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．
21.（2013河南9分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）.双曲线ykx(x0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE. （1）求k的值及点E的坐标；
y （2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式. C D B
F E O A x 第20
4
