基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律

中南大学学报(自然科学版)

JournalofCentralSouthUniversity(ScienceandTechnology)

Vol.50No.8

Aug.2019

DOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2019.08.014

基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律

卫军，杜永潇

(中南大学土木工程学院，湖南长沙，410075)

摘要：基于梁结构的动力特性能够真实地反映其实际状态，梁结构动力特性变化与疲劳损伤之间存在一定的内在关联，研究疲劳损伤演化对梁结构模态频率的影响机制，提出一种以固有频率为损伤变量的梁结构疲劳损伤演化规律研究方法。首先，基于Timoshenko梁自由振动方程，引入疲劳作用的影响，推导疲劳历程固有频率理论计算公式；然后，对预应力混凝土模型梁进行疲劳试验研究和动力测试，得到疲劳历程中疲劳刚度和固有频率的退化规律，并验证疲劳历程固有频率理论计算公式的正确性；最后，定义固有频率为损伤变量，得到基于1阶固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律。研究结果表明：梁结构固有频率也具有类似抗弯刚度退化的3阶段衰减规律；在疲劳作用下，第1阶频率的下降幅度最大，第2阶频率的下降幅度次之，而第3阶频率的下降幅度最小；梁结构在疲劳历程中某时刻状态下，随着模态阶次增大，频率修正系数减小；随着疲劳次数增多，梁各阶频率修正系数呈现增大的趋势；以第1阶固有频率为损伤变量，能有效地拟合梁结构3阶段非线性疲劳损伤演化规律，为进行结构性能退化程度判定及剩余寿命预测提供研究基础。关键词：Timoshenko梁；疲劳损伤演化；固有频率；疲劳刚度；疲劳试验中图分类号：TU311

文献标志码：A

文章编号：1672-7207（2019）08-1866-10

FatiguedamageevolutionofTimoshenkobeamsbasedonnaturalfrequency

WEIJun,DUYongxiao

(SchoolofCivilEngineering,CentralSouthUniversity,Changsha410075,China)

Abstract:Inviewofthefactthatthedynamiccharacteristicsofthebeamstructurecantrulyreflectitsactualstate,andthereisacertaininternalrelationshipbetweenthedynamiccharacteristicsofthebeamstructuresandthefatiguedamage,theinfluencemechanismoffatiguedamageevolutiononthenaturalfrequencyofbeamstructurewasstudied,andaresearchmethodforfatiguedamageevolutionlawofbeamstructureswithnaturalfrequencyasdamagevariablewasproposed.Firstly,basedonthefreevibrationequationofTimoshenkobeam,theinfluenceoffatiguewasintroduced,andthetheoreticalcalculationformulaofnaturalfrequencyduringfatigueprocesswasderived.Furthermore,throughthefatiguetestanddynamictestofprestressedconcretemodelbeam,thefatiguestiffnessandnaturalfrequencydegradationlawduringfatigueprocesswereobtained,andthecorrectnessofthetheoreticalcalculationformulawasverified.Finally,thenaturalfrequencywasdefinedasthedamagevariable,andthefatiguedamageevolutionlawofthebeamstructurebasedonthefirst-ordernaturalfrequencywasobtained.Theresultsshowthatthenaturalfrequenciesofthebeamstructurehasathree-stageattenuationlawwhichissimilartothatofthebendingstiffnessdegradation.Undertheactionoffatigue,thefirst-orderfrequencydecreasesthemost,thesecond-orderfrequencydecreasesthesecond,andthethird-orderfrequencydecreasestheleast.Inacertainstateafteracertaintimesoffatigues,thefrequencycorrectionfactors

收稿日期：2018−09−11；修回日期：2018−11−22

基金项目(Foundationitem)：国家自然科学基金资助项目(51378501，51578547，51778628)(Projects(51378501,51578547,51778628)

supportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina)

通信作者：卫军，教授，从事混凝土结构耐久性等研究；E-mail：juneweii@126.com

第8期卫军，等：基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律

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decreasewiththeincreaseofthemodalorder.Withtheincreaseoffatiguetimes,thecorrectionfactorofeachorderfrequencyincreases.Thefirst-ordernaturalfrequencyisusedasthedamagevariable,whicheffectivelyfitsthethree-stagenonlinearfatiguedamageevolutionlawofbeamstructure,andprovidesaresearchbasisforthedeterminationofstructuralperformancedegradationdegreeandresiduallifeprediction.

Keywords:Timoshenkobeams;fatiguedamageevolution;naturalfrequency;fatiguestiffness;fatigueexperiment

在车辆等重复荷载作用下，桥梁结构将产生疲劳损伤累积，从而导致其结构功能退化，影响桥梁的正常使用性能和安全性能[1−3]，有效识别桥梁结构的疲劳损伤及其损伤演化规律是定量评价钢筋混凝土桥梁结构性能退化及使用寿命预测的重要前提。国内外许多学者进行了梁结构疲劳性能试验研究[4−9]

，并针对

疲劳损伤演化规律提出了以刚度

[8−11]

、应变[12]

、超声

波速[13]

等定义的损伤变量研究方法。但目前有关梁结构疲劳性能的研究方法比较单一，对梁结构的疲劳损伤演变过程及其失效机理仍不统一，难以满足现今快速发展的高速铁路和重载铁路的建设需要，亟需采用新的研究手段对该问题展开研究。近年来，基于动力特性的混凝土梁损伤识别和监测方法应用越来越广，NEILD等[14]

通过对钢筋混凝土梁进行冲击激振试验，

研究了非线性损伤振动特性，发现非线性振动行为随损伤而发生变化；HAMED等[15]通过数值算例研究了裂缝等损伤的影响对预应力梁固有频率的非线性行为，发现大的裂缝损伤会导致固有频率急剧减少；曹晖等[16]通过对预应力混凝土梁的单调加载与动测分析，发现随着损伤加重，梁的1阶频率逐渐减小。以上研究均表明梁结构损伤与动力特性具有一定的相关性，但都没有考虑疲劳历程中损伤对梁动力特性的影响。AHN等[17]首先将动力测试与疲劳试验相结合，通过测量得到疲劳试验前后的动态特性的变化，但未对考虑疲劳损伤的动力特性演化规律进行深入研究，基于动力特性的疲劳损伤演化研究也很少。鉴于梁结构的动力特性能够真实地反映其实际状态，结构动力参数变化能够反映结构整个疲劳过程中的损伤演变，本文作者研究疲劳损伤演化对梁结构模态频率的影响机制，以期提出一种以固有频率为损伤变量的混凝土梁结构疲劳损伤演化规律研究方法。首先，考虑到剪切变形和转动惯量对梁结构高阶频率影响较大[18]，在Timoshenko梁自由振动方程的基础上引入疲劳作用的影响，推导出疲劳历程固有频率理论计算公式；通过对2根预应力混凝土模型梁的疲劳试验研究和动力测试，得到疲劳历程中梁各阶实测频率，以验证固有频率疲劳理式的准确性；最后，以模型梁第1阶固有频率作为损伤变量，分析得到基于第1阶固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律。

1疲劳作用下梁结构理论频率计算

梁结构最重要的动力特性是固有频率，它实际上表征梁结构对动荷载的敏感程度。具有连续质量分布的结构有无穷多个固有频率，而仅有低阶频率有实际应用。假如施加于结构的激振力具有宽频带，结构仅对接近本身固有频率的频率作出响应。这就是固有频率较重要的原因[19]。1.1

引入疲劳作用的Timoshenko梁振动方程在工程中，当梁的高跨比较大或采用对剪应力比较敏感的材料时，梁在运动过程中剪切变形和转动惯量对其自振频率影响较大，不可忽略，这类梁称为Timoshenko梁。

基于Timoshenko梁理论，长度为L的梁沿轴线方向变化的抗弯刚度为EI(x)，单位长度质量为ρA(x)，梁的横向振动位移u(x)为坐标x和时间t的函数，则Timoshenko梁自由振动方程表达式如下[18]：

ρA∂2u(x,t)∂4u(x,t)∂4u(x,tρ∂t2+EI-ρI)+

éκ′GêëρI∂4u∂x4∂x2∂t2∂(xx,t)2-EI∂4∂ux(x,t)ù

2∂t2úû

=0

(1)式中：E和G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量；I为梁截面惯性距；κ′为因剪应力沿截面分布不均匀而引用的修正系数，为与截面形状有关的常数因子，称为截面的有效剪切系数。在引入疲劳作用时，一般认为梁质量不随着疲劳循环过程而变化，梁抗弯刚度随着疲劳循环过程而退化，定义疲劳作用下剩余抗弯刚度比φ为

ϕ(n)=

B(n)B(2)

0

式中：B0为梁的初始抗弯刚度；B(n)为疲劳n次后的抗弯刚度，B=EI。在混凝土梁疲劳过程中，随着裂缝等损伤的产生与发展，抗弯刚度EI作为一个整体在疲劳过程中退化。为了方便计算，这里认为在梁疲劳直至破坏过程中，截面惯性矩I作为抗弯刚度EI整体退化的主要退化参数；而弹性模量不随疲劳次数变

化而变化，记为E

所指的弹性模量Eˉ，表示等效弹性模量，从而与通常相区分，则有

1868

中南大学学报(自然科学版)第50卷

B(n)=B0ϕ(n)=E

将疲劳损伤变量代入TimoshenkoˉI0ϕ(n)(3)

梁自由振动方程中，得

ρA∂2u∂(tx,t)2+EˉIϕ(n)∂4u∂(x,t)0-ρIϕ(n)∂4u(x,t)

x4

0+

ρéκ′GêëρI0ϕ(n)∂4u(x,t)∂x2∂t2

∂4u式(4)即为引入疲劳作用的∂x2-EˉITimoshenko∂x(∂xt,t)ù0ϕ(n)22úû

=0(4)梁自由振

动方程。可见，式(4)中包含ρI0φ(n)的项(转动惯量作用项、转动惯量与剪切变形耦合项)引入的损伤变量系数也是φ(n)。1.2

自由振动方程求解

采用分离变量法，假定式(4)解的形式为u(x,t)=ϕ(x)sin(ωt)，其中，φ(x)为固有振动的模态，为简谐振动的圆频率，并令λ4=ω2ρA/(E

式(4)得

ˉω

I0)，则由ϕ″″

(x)-λ4

ϕ(x)+λ4

A

I0φ(n)ϕ″(x)+

λ4éλ4κ′AGêëAEˉI0

2φ2

(n)ϕ(x)+EˉI0φ(n)ϕ″(x)ùúû

=0(5)对于任意边界条件的梁，求解式(5)较困难。而

对于简支梁，可设振型函数表达式为

φ(x)=Ajπx

jsinL

;n=1,2,⋯,∞(6)

将式(6)代入式(5)，各项除以Ajπx

jsinL

，得

(jπ)4()2

(I0φ(n))(EL-λ4-λ4jπ1+′ˉ)+

λ8EˉLAκG

I02φ2(n)κ′A2G

=0(7)

(2

可证明：式(7)中，λ4jπI0φ(n)L)(A)(1+Eκ′ˉG

)这

一项说明了转动惯量和剪切变量的影响，当振型阶数越高时，梁的长细比越小，其影响越λ8Eˉ大；

I02φ2(n)κ′A2G

这一项对梁频率的影响很小，可以忽略

不计。故式(7)可近似为

(jπ4()2

44(I0φ(n))(EL)-λ-λjπLA1+κ′ˉG

)=0(8)

解式(8)得()4

é2λ4=

jπL

ê(jπ)(Iφ(n)ê1+0A)(-1

1+E

κ′

ˉë

LG

)ùúú(jπ)4

é2

ê-Iê1jπ0φ(n)L

1+E

ë

(L)(A)(û

≈κ′ˉG)ùúú(9)

û

由λ4=ω2ρA/(E

ˉI0)可得ωj=j2

π

2

EˉI)é20φ(nI0φ(nρAL4êê1-1jπ)E

ë2(L)(A)(1+κ′

ˉùG)úú;ûn=1,2,⋯,∞(10)

固有频率wj与圆频率ωj有如下关系：

w1j=2πω

j

(11)

将式(10)代入式(11)可得w=1Eφ(n)éjj22

πˉI20ρAL4êê1-1jπI0φ(n)E

ˉùë2(L)(A)(1+κ′G)úú;û

n=1,2,⋯,∞(12)

式(12)即为引入疲劳作用的Timoshenko梁第j阶固有频率计算公式，根据此公式，便可计算出疲劳n次直至疲劳破坏的Timoshenko梁第j阶固有频率。

定义式(12)的中括号部分为频率修正系数η，则有

2

η=1-1jπ

2(L

)(I0ϕ(n)A)(1+Eκ′

ˉG

)(13)

频率修正系数η表征由于剪切变形和转动惯量的影响所导致的梁自振频率修正程度，显然，它也是随疲劳次数变化而变化。

2疲劳试验

2.1

模型梁制作

选取32m普通高度标准铁路桥梁预应力混凝土简支T梁为原型梁，根据相似理论，制作原型梁的1:6缩尺模型作为模型试验梁[9]。设计参数见表1，试验梁尺寸见图1。表1中，fptk为预应力钢绞线的极限强度标准值。前期研究制作模型梁共3根，其中1根梁(编号504)用于静载试验，以确定疲劳试验所需的静力极限荷载Pu；另外2根(编号分别为502和505)用于等幅疲劳试验。试验前，3根梁均存放1a，以减少混凝土收缩徐变对试验结果的影响。2.2

模型梁所用材料

2.2.1混凝土

混凝土中水泥、水、石、砂、减水剂密度比为460׃118׃1092׃735׃4.2。水泥选用P⋅II42.5R级硅酸盐水泥；粗骨料为石灰岩碎石，最大粒径不大于20mm；细骨料为天然河砂；减水剂为高星RH-1聚羧酸高效减水剂；水为日常饮用水。每根梁预留混凝土试块，其力学性能测试与模型梁试验同时进行。测试力学性能时，混凝土试块龄期为浇筑后1a。混凝土试块实测混凝土力学性能见表2。2.2.2普通钢筋与预应力筋

由相似原理，模型梁与原型梁几何相似，若要保第8期卫军，等：基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律

1869

表1模型梁设计参数

Table1

全长L/mm5500

计算跨度L0/mm5400

梁高h/mm428

腹板宽b/mm80

Designparametersofmodelbeams混凝土强度等级C50

预应力筋(7Φ5钢绞线)fptk/MPa1860

束数1

每束根数

2

纵筋HRB335

普通钢筋

箍筋HPB300

(a)梁长度方向尺寸及配筋；(b)I-I剖面尺寸；(c)II-II剖面尺寸；(d)I-I剖面配筋；(e)II-II剖面配筋

数据单位：mm。图1模型梁尺寸及配筋图

Fig.1Dimensionsandreinforcementforbeam

表2

实测混凝土力学性能参数

Table2Measuredmechanicalpropertiesofconcrete梁编号立方体抗压强度轴心抗压强度弹性模量Ec/

fcu/MPafc/MPaMPa50443.126.53172550246.229.032204505

40.8

25.7

30516

证两者的配筋率相同，则钢筋面积一定要相似。模型梁截面配筋见图1。纵筋采用HRB335级钢筋，直径为10mm；按照铁路桥梁设计构造要求，在梁纯弯段内布置A8(HPB300)、间距为100mm的箍筋，其他区段内间距为50mm。钢筋的实测力学性能参数见表3。

预应力钢筋采用2束7ϕ5(即7根直径为5mm)的钢绞线，直径d=15.2mm，极限强度标准值fptk=

表3实测钢筋力学性能参数

Table3Measuredmechanicalpropertiesofsteel钢筋型号直径d/mm

屈服强度fy/

极限强度fu/

MPaMPaHRB33510310452HPB300

8

395

475

1860MPa，采用抛物线型布置。预应力筋采用两端张拉(单孔千斤顶单根钢绞线对拉，分2次完成)，张拉控制应力σcon=1116MPa，超张拉5%。张拉时，混凝土龄期均超过28d。模型梁实物图见图2。

图2模型梁实物图Fig.2Entitymodelbeam

2.3疲劳试验加载及参数设置

试验加载方式见图3，模型试验梁两端简支。加

载点与简支支座处均设置钢垫板，以防止发生混凝土出现局部破坏。试验均在中南大学高速铁路建造技术国家工程实验室PMS−500数显式脉动试验机上进行。疲劳试验采用等幅正弦波加载，加载频率为3.5Hz，试验主要参数见表4，疲劳荷载下限值Pmin取0.2Pu，疲劳荷载上限值P−Pmax分别取0.45Pu和0.5Pu，ΔP=Pmaxmin。

表4模型梁试验参数及疲劳寿命Table4Testparametersandfatiguelifeofmodelbeams梁编疲劳荷载/kNNf/号P荷载参数minPmaxΔP万次504———静载试验P—u=265kN5025013080Pmin=0.20PuPmax=0.50Pu45505

50

120

70

Pmin=0.20PuPmax=0.45Pu

50

1870

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数据单位：mm。图3加载方式图Fig.3

Loadingmodediagram

为获取疲劳过程中梁的频率，需进行动测试验，故在文献[20]的基础上，将等幅疲劳试验过程分为静载试验、动测试验和疲劳试验3个阶段。首先，对初始完好模型梁进行1次模态测试，动测试验采用激振法，采集加速度信号进行模态分析；然后，按照静力单调加载试验的加载程序，通过分级加载至疲劳上限荷载，量测各级荷载下的应变、裂缝宽度、挠度等及其发展情况；最后，进行疲劳试验，在疲劳荷载循环至1万次、5万次、10万次等后停机(依此类推，直至模型梁接近破坏时为止)，分别如前所述进行1次动测试验和1次加载至疲劳上限荷载的静载试验。2.4

测点布置与数据采集

为了测试模型试验梁的挠度，在梁端支座、加载点、跨中等5处布有百分表(见图3)。在疲劳过程中，每循环一定次数停机，进行静力试验，测试荷载−挠度关系曲线。

进行动测试验时，采用JZT型激振器放置在梁各阶理论模态振型最大值处进行激振，选取梁各阶理论频率上下10Hz范围内进行扫频，利用DH5922动态信号采集分析仪及其配套传感器进行加速度信号采集。传感器布置见图4。将梁等长划分为10个单元，分别在11个单元节点上布置加速度传感器，采样频率为1kHz，采用SSI法进行模态分析。

图4加速度传感器布置图

Fig.4

Distributionofaccelerationsensor

3试验结果及分析

3.1

主要试验现象

静载试验梁504的静载破坏始于受拉钢筋屈服，跨中受压区混凝土被压溃，属于典型的弯曲破坏，见图5(a)。试验所测得极限承载力Pu=265kN。

(a)静载破坏形态；(b)疲劳破坏形态；

(c)局部疲劳裂缝形态图5

模型梁破坏形态

Fig.5Failurepatternsofmodelbeams

疲劳试验梁502和505的疲劳寿命Nf见表4。在纯弯段内普通钢筋发生疲劳断裂，预应力筋没有出现断裂现象，见图5(b)；在疲劳初期及中期，裂缝逐渐发展；在临近疲劳破坏时，裂缝数量和宽度急剧扩展，出现了明显的树枝状斜向裂缝，见图5(c)；普通钢筋突然断裂，试验梁挠度急剧增大，梁体仍具有承受疲劳荷载的能力，但施加在梁上的疲劳外荷载下降明显。3.2

疲劳抗弯刚度退化分析

根据简支梁在外荷载作用下的挠曲线方程可得抗弯刚度表达式[21]：

B=SP/f

(14)

式中：P为施加的外荷载；f为对应荷载下的挠度；S为常系数，与支撑条件、荷载作用位置和梁长有关。对于本试验模型梁跨中截面，分析可得S=3.0446。通过静载试验获得的荷载挠度曲线，利用最小二乘法拟合成直线，可得其斜率kn为

14(f

i

-f(Pi-P

ki=1

ˉ)ˉ)n=

∑∑14(15)

(f

i

-fi=1

ˉ)2

式中：i表示第i级荷载，共14级；Pi和fi分别为第i级外荷载及其对应的挠度。可以得到疲劳抗弯刚度为

B(n)=3.0446kn

(16)

通过式(2)定义的疲劳作用下抗弯刚度退化率，计算得到2根梁疲劳抗弯刚度退化曲线，见图6。

第8期卫军，等：基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律

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1—502梁拟合曲线；2—505梁拟合曲线；3—502梁数据点；4—505梁数据点。

图6疲劳抗弯刚度退化曲线

Fig.6

Stiffnessdegradationcurvesoffatiguebending

从图6可以看出：疲劳应力幅不同的2根试验梁的刚度退化都呈现出相同的三阶段衰减规律，并且具有很明显的倒“S”形。在疲劳加载初期阶段，疲劳刚度有较大幅度的下降，刚度退化率可达15%～25%，该阶段的服役期约占寿命期的10%；而在中间阶段则呈现出比较稳定的线性发展过程，此阶段的服役期占疲劳寿命期的绝大部分，最高可以达到其寿命期的80%左右；在疲劳寿命期的末段，梁的刚度退化速率迅速增大，开始进入脆性疲劳断裂阶段，该阶段的服役期占约整个疲劳过程的5%～10%。

对比2根梁刚度退化曲线可以看出：疲劳应力幅越大，其刚度退化越明显；在疲劳前期，应力幅较大的梁502具有更大的刚度衰减速率；进入疲劳中期后，其刚度退化率接近25%，而应力幅较小的梁505在疲劳中期的刚度退化率为15%左右；达到疲劳寿命后，两根梁的剩余抗弯刚度比基本相同，均为55%～60%。3.3

疲劳历程频率演变及分析

3.3.1疲劳历程理论频率计算

混凝土弹性模量E根据材料力学性能试验测得(见表2)，其力学性能测试与模型梁试验同时进行；剪切模量G通过关系E=2G(1+ν)计算得到，其中混凝土泊松比取ν=0.2；试验模型梁质量密度取ρ=2500kg/m3；模型尺寸采用实际施工成型的尺寸。

对于T字型截面，截面有效剪切系数κ′可由下式计算：

κ′=A1/A

(17)

式中：A为截面面积；A1为腹板面积。本例中，κ′=3.804。

通过式(12)，结合疲劳试验刚度，计算得到模型梁理论频率如表5所示。3.3.2疲劳历程实测频率

以梁505疲劳试验前的模态测试为例，对梁进行激振，并采集各传感器的加速度信号，信号的加速度时程曲线如图7所示。用SSI法进行模态分析得到其前3阶频率分别为24.803，60.426和141.294Hz，图8所示为对应的前3阶模态振型。从图8可以看出：由于受梁本身刚度差异、噪声、测试仪器及传感器等影响，振型并不是理想的三角函数曲线。

图7

加速度时程曲线

Fig.7

Relationshipbetweenaccelerationandtime

1—1阶频率；2—2阶频率；3—3阶频率。

图8前3阶模态振型Fig.8

Firstthreemodalshapes

通过模态分析得到2根梁在疲劳历程中的频率如表5所示。

对比梁频率理论值与实测值可以看出：理论计算得到的第1阶频率和第3阶频率与实测结果相差不大，相对误差不超过14%，在合理范围内；而理论计算的第2阶频率相对误差则较大，但误差也在24%以内。对于实体钢筋混凝土梁结构而言，该误差的产生

1872

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表5

频率理论值

n/

n/

wt(n)/Hz

万次Nf01

502

5

0

梁频率及偏差

理论频率退化比

γt(n)

第3阶

第1阶

第2阶

第3阶

第1阶

实测频率退化比

γe(n)第2阶

第3阶

Table5Frequencyanddeviationsummaryofbeams

梁编号

频率实测值we(n)/Hz

第1阶

偏差/%第2阶

第1阶第2阶第3阶第1阶第2阶第3阶

0.0222.84972.980157.41623.75963.569146.501−3.8314.807.450.9150.9370.9690.70.9340.9780.1121.84269.943153.50322.91759.535144.523−4.6917.486.210.8750.80.9450.8650.8740.965

24.97177.900162.43026.48268.082149.745−5.7114.428.471.0001.0001.0001.0001.0001.000

100.2222.53572.041156.26522.61559.495143.659−0.3521.098.770.9020.9250.9620.8540.8740.959250.5622.73172.335156.63122.70659.791144.6080.1120.988.310.9100.9290.90.8570.8780.9651.0019.25163.121143.00521.33157.353136.215−9.7510.0.980.7710.8100.8800.8050.8420.9100159

0

0.0221.18167.978152.80622.49558.034139.205−5.8417.139.770.9280.9610.9700.9070.9600.9850.1021.22167.8152.94021.01254.957135.7310.9923.4912.680.9300.9590.9710.8470.9090.9610.1821.22667.774152.95621.23854.827134.034−0.0623.6114.120.9300.9580.9710.8560.9070.949

22.82170.765157.47724.80360.426141.294−7.9917.1111.451.0001.0001.0001.0001.0001.000

505

250.5020.50365.659150.39120.99654.199133.445−2.3521.1412.700.80.9280.9550.8470.70.944501.0018.13258.733142.84219.98252.199130.813−9.2612.529.200.7950.8300.9070.8060.80.926

主要有以下原因：在理论计算方面，计算参数的变异性以及未考虑疲劳过程中沿梁轴线方向上刚度不均匀等；在试验方面，混凝土梁施工水平导致梁体不密实、测试环境噪声的干扰、测试及传感仪器都是产生误差的原因。但综合曹晖等[16]对实验模态的分析研究结果，本文疲劳历程固有频率的理论计算结果与实测结果误差在合理范围内，基本满足工程需要。3.3.3疲劳历程频率退化规律

参照式(2)，定义疲劳作用下频率退化比γ为

w(n)

γ(n)=(18)

w0

式中：w0为初始固有频率；w(n)为疲劳n万次时的固有频率。则得到疲劳历程中前3阶实测频率的频率退化比见表5，频率演变曲线见图9。

从图9和表5可以看出：随着疲劳次数增加，梁频率也具有类似抗弯刚度退化的3阶段衰减规律，即在疲劳初期，随着裂缝产生，梁刚度急剧下降，各阶频率也具有急剧下降过程，其中第1阶频率的退化最快；在疲劳中期，则呈现出比较稳定的衰减演化过程；在疲劳末段，梁频率再次迅速下降。此外，在疲劳作用下，无论是理论结果还是实测结果，第1阶频率的退化幅度最大，第2阶频率次之，而第3阶频率的退化幅度最小。对比不同应力幅的2片梁，基本上应力幅较大的梁各阶频率的退化速度均比应力幅较小的梁的退化速度大。3.3.4频率修正系数η

通过理论计算得到疲劳过程中频率修正系数η如表6所示。

频率修正系数η反映剪切变形和转动惯量对梁自振频率的影响，它既随模态阶次的变化而变化，也与疲劳次数相关，呈现出如图10所示的三维变化关系。

(a)梁502；(b)梁5051—1阶；2—2阶；3—3阶。图9

实测频率退化曲线

Fig.9Degradationcurvesofmeasuredfrequency

第8期卫军，等：基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律

1873

表6

频率修正系数η

Table6

Frequencycorrectionfactorsη梁编号

nn/Nη

f1阶

2阶

3阶

4阶

5阶

000.9710.8840.7380.5340.2721

0.020.9680.9020.7790.6080.387502

50.110.9760.9120.8020.80.449100.220.9710.9050.7870.6210.407250.560.9740.9040.7840.6170.401451.000.9740.9310.8450.7250.570000.9720.8870.7450.5470.2921

0.020.9760.9220.7820.6130.395505

50.100.9760.9180.7810.6110.39390.180.9760.9170.7810.6110.392250.500.9770.9210.7970.6380.43550

1.00

0.9800.9340.8580.7470.605

(a)梁502；(b)梁505图10

频率修正系数η三维曲面Fig.10

3Dcurvesoffrequencycorrectionfactor

从图10和表6可以看出：模型梁在疲劳一定次数后的某个状态下，随着模态阶次增大，η越小，表明剪切变形和转动惯量对梁结构高阶频率的影响较大。

随着疲劳次数增大，梁各阶η呈现增大的趋势，说明经过一定疲劳次数后，剪切变形和转动惯量对梁

固有频率的影响有所减小。从机理方面而言，在疲劳过程中，随着裂缝、损伤等的产生与发展，实际上梁所受的剪切变形和转动惯量的影响是逐渐退化的。而由表5和图9可看出梁实测频率在疲劳过程中表现出递减的趋势，这是因为式(12)中EˉI0φ(n)ρAL4在疲劳过程中急剧降低，而η增大并没有减弱wj整体降低的趋势。

4基于固有频率的疲劳损伤演化

4.1

疲劳损伤模型

任何疲劳累积损伤模型都包含以下3个方面的内容：1个载荷循环对材料或结构造成的损伤；多个载荷循环时损伤的累加；失效时的临界损伤[22]。在现有混凝土梁结构疲劳损伤的研究中，通常是以抗弯刚度来定义损伤变量的。由前面研究可见，类似于抗弯刚度所呈现的3阶段非线性退化规律，试验梁频率变化规律也具有非线性，由于固有频率变化与材料弹性模量、结构刚度及内部微缺陷等紧密相关[14−15]，因此，以固有频率定义的损伤变量能反映梁结构各参数的综合损伤劣化程度。

定义基于固有频率的损伤变量Dw为

Dw0-wn

w=

w(19)

0-wNf

式中：w0为初始固有频率；wn为某一疲劳循环次数时的固有频率；wNf

为试验梁疲劳破坏时的固有频率。

式(17)定义的损伤变量Dw的变化范围为0~1，Dw=0对应于试验梁的无损状态，Dw=1对应梁完全疲劳破坏。损伤变量Dw为单调递增的函数，即试验梁的疲劳损伤程度随荷载循环次数的增加而增大，且损伤是不可逆的。

考虑到实际工程的桥梁动力测试中，由于第1阶模态频率的能量占有较大比例，具有较高的准确性，同时第1阶频率的频率退化幅度最大，所以，这里采

用第1阶模态频率来定义损伤变量。综合损伤累积拟合曲线[23]，经过比选后，选用下式进行拟合：

Dn

1/β

w

(N(20)

f)=α(n/Nfαβ

-n/Nf+1

)式中：α和β为模拟试验参数。采用最小二乘法对试验结果进行非线性回归分析，得到模拟试验参数，见表7。2片梁的拟合度R2均接近1.00000，说明该模型拟合程度较高。

1874

中南大学学报(自然科学版)第50卷

表7

疲劳损伤非线性模型拟合参数

Table7

Fittingparametersoffatiguedamagenonlinear

model

梁编号αβR25020.7685620.123580.99817505

0.68287

12.52799

0.997

4.2疲劳损伤演化规律

根据式(18)和拟合参数得到2根梁不同疲劳荷载

下的疲劳累积损伤函数：0.04969

Dw

(nN=0.76856×

f)梁502

(n/Nf

1.00501-n/N(21)

f

)Dn=0.68287×

(n/Nf

w

(Nf

)梁505

1.00841-n/Nf

)0.07982

(22)

基于1阶固有频率试验梁疲劳累积损伤演化规律见图11。

1—梁502拟合曲线；2—梁505拟合曲线；3—梁502数据点；4—梁505数据点。图11基于固有频率的疲劳损伤演化曲线

Fig.11Fatiguedamageevolutioncurvebasedonfrequency

从图11可以看出各试验梁疲劳损伤演化规律具有明显的非线性，整个疲劳损伤演化可分为3个阶段：在损伤初始发展的第1阶段，疲劳累积损伤急剧增加达到稳定水平；第2阶段，疲劳累积损伤缓慢增大；随着循环次数增加，疲劳累积损伤进入第3阶段。第3阶段疲劳累积损伤在第2阶段累积损伤的基础上又开始急剧增大，直至试验梁完全破坏失去承载力为止。这一演化规律与朱红兵等[8,13]通过疲劳刚度方法和超声波速法描述梁结构的疲劳损伤演化规律基本一致。

对比2根梁疲劳损伤演化曲线还可以看出：疲劳应力幅越大，其损伤发展越剧烈；疲劳前期，应力幅较大的梁502损伤发展程度较梁505更迅速，在

2根梁分别达到损伤阈值0.68和0.56时，进入损伤稳定发展的疲劳中期；梁502进入疲劳末期的损伤阈值约为0.85，大于梁505的损伤阈值0.82。纵观整

个发展过程，应力幅较大的梁损伤发展总是超前于应力幅较小的梁，而大应力幅梁的低寿命特性也显示了此演化规律的合理性。

在实际工程中，对桥梁结构动力特性的识别监测应用较广泛，本研究以第1阶固有频率为损伤变量，有效地模拟了梁结构非线性3阶段疲劳损伤演化规律。通过对疲劳损伤累积曲线的研究，结合疲劳损伤3阶段阈值的识别，可为结构性能退化程度判定及剩余寿命预测提供研究基础。

5结论

1)在Timoshenko梁自由振动方程的基础上，引入疲劳作用的影响，推导得到梁结构的疲劳历程固有频率理论解；通过对2根预应力混凝土模型梁的疲劳试验和动测研究，验证了疲劳固有频率理式计算前3阶疲劳固有频率的准确性，最大相对误差不超过24%，满足工程需要。

2)通过理论与试验研究，发现梁频率也具有类似抗弯刚度退化的3阶段衰减规律。在疲劳作用下，第1阶频率的下降幅度最大，第2阶频率的下降幅度次之，而第3阶频率的下降幅度最小。

3)梁结构在疲劳一定次数后的某个状态下，随着模态阶次增大，频率修正系数越小，表明剪切变形和转动惯量对梁结构高阶频率的影响越大；随着疲劳

次数增大，梁各阶频率修正系数呈现增大趋势，说明经过一定疲劳次数后，剪切变形和转动惯量对梁固有频率的影响有所减小。

4)提出一种以固有频率为损伤变量的混凝土梁结构疲劳损伤演化规律研究方法，以梁结构第1阶固有频率作为损伤变量，得到试验梁在不同疲劳荷载幅值下的疲劳累积损伤函数，可为结构性能退化程度判定及剩余寿命预测提供研究基础。参考文献：

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