湖北省2016届高三10月联考数学(理)试题 Word版含答案

本试卷共 2 页，共 22 题。满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是

符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。） 1．已知集合M3,2 A．0,2,3

a，Na,b，若MN2，则MN

B．1,2,3

C．0,1,2

D．0,1,3

ii2i3i20152．已知复数z，则复数z在复平面内对应的点位于

1iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．能够把圆O:x2y216的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和 谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是 ．．A．f(x)eeC．f(x)tanxx B．f(x)lnx3 D．f(x)4xx 44．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a66a7，则S9的值为

5x5x

A．27 B．36 C．45 D．54 5．

cos2xcosxsinxdx=

A．2(21) B．21 C．21 D．22 406．下列说法正确的是 A．“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”

B．{an}为等比数列，则“a1a2a3”是“a4a5”的既不充分也不必要条件

4x0成立  D．“若tan3，则”是真命题

3 C．x0(－，0)，使37．2012年初，甲､乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对

比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按 各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地 税的情况是 A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多 D．不能确定

x08．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，

四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”． 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了． A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙

9．已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3OA4OB5OC0，则ABC的面积为

1

87 B． C． D．

555510．已知函数ysinx2cosx（0）的图象关于直线x1对称，

A．

则sin2

B．A．4 53 5 C．

3 5 D．

11．已知函数g(x)13mxxm(m0)是[1,)上的增函数．当实数m取最大值时，3x45

若

存在点Q，使得过点Q的直线与曲线yg(x)围成两个封闭图形，且这两个封闭图形

的面积

总相等,则点Q的坐标为

3) A．(0，3) C．(0，2)B．(0，2) D．(0，

x1,x0,2g(x)x4x14，若关于x的方程12．已知R，函数f(x)lgx,x0,f(g(x))

 有6个解，则的取值范围为

212212 A．(0,) B．(,) C．(,) D．(0,)

323525二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．x1是函数f(x)exmln(2x)的极值点，则m的值为 ．

14．已知非零向量a,b满足abab，则a与ab的夹角a,ab ．

15．在ABC中，A30，2ABAC3BC，则ABC的最大角的余弦值为 ． 16．定义max{a,b}表示实数a,b中的较大的数．已知数列{an}满足a1a(a0),a21, an222maxan{1an,2}(nN)，若a20154a，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015

的值为

．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

22 如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC0,sinBAC，

3AB32,BD3． （Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

18．（本小题满分12分）

已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1b12，b454，

a1a2a3b2b3．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）数列{cn}满足cnanbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

2

19．（本小题满分12分）

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB1m，AD0.5m，为了方便，如图建立直角坐标系，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？

20．(本小题满分12分)

各项为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：Sn（Ⅰ）求an；

1211anannN. 424n为奇数an,n（Ⅱ）设函数fnn，Cnf(24)，nN ，求数列Cn的

f2,n为偶数 前n项和Tn．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)xee1，其中tR,e2.71828L是自然对数的底数． （Ⅰ）若方程f(x)1无实数根，求实数t的取值范围；

（Ⅱ）若函数f(x)是(0,)内的减函数，求实数t的取值范围．

3

txx请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，CB与O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、 AE分别交O于D、G两点，连接DG交CB于点F． （Ⅰ）求证：C,E,G,D四点共圆；

（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG1，GA3，求线段CE的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

xt3lxOy 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点

y3t为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24cos30． （Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)x1．

（Ⅰ）解不等式f(x1)f(x3)6；

（Ⅱ）若a1,b1，且a0，求证：f(ab)af()．

ba理科数学参及评分标准

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B B A D C D B D 答案 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 1 14．

9 C 10 A 11 C 12 D 6 15．1 16． 7254 2三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）因为ADAC，所以sinBACsin所以cosBADBADcosBAD, 222． ··························································································· 2分 3222cosBAD 在ABD中，由余弦定理可知，BDABAD2ABAD

4

即AD28AD150, ···························································································· 4分 解之得AD5或AD3, 由于ABAD,所以AD3． ································ 6分 （Ⅱ）在ABD中，由正弦定理可知，

BDAB,

sinBADsinADB122 又由cosBAD可知sinBAD ··························································· 8分

33ABsinBAD6 所以sinADB ··································································· 10分 BD36 因为ADBDACCC，即cosC ····································· 12分

235427， 2318．解：（Ⅰ）设an的公差为d，bn的公比为q，由b4b1q3，得q从而q3，因此bn23n1··············································································· 3分 ， ·

又a1a2a33a2b2b361824，

n1a28， da2a16，故an6n4，bn23 ·········································· 6分

（Ⅱ）cnanbn4(3n2)3012123n1

n2n1令Tn134373…(3n5)3(3n2)3n1

···························· 9分 (3n2)3n ·

则3Tn134373…(3n5)3两式相减得2Tn13333…3312n17(6n7)3n (3n2)322n73n(6n7)Tn44············································· 12分 ，故Sn4Tn7(6n7)3 ·

n

19．解：由题知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．

111y轴建立直角坐标系，则D(0,)，M(,)．

42412 边缘线OM所在抛物线的方程为yx(0x)．……………………………2分

2 要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与

2抛物线相切，设切点为P(t,t)．

2则直线EF的方程为y2t(xt)t，

2即y2txt，

以O点为原点，AD所在直线为

由此可求得E,F点的坐标分别为

14t21E(,)，F(0,t2)． ……………………………………………………4分

8t4114t212(t) 所以SDEFS(t)28t4116t48t211，t[0,] ··································································· 7分

2t148t48t21(12t21)(4t21）所以S(t) 22tt

5

显然函数S(t)在(0,331]上是减函数，在(,]上是增函数．……………………9分 6623················ 10分 时，SDEF取得最小值，五边形ABCEF的面积最大． ·

6311此时点E,F的坐标分别为E(,),F(0,)．

3412此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大． ············································ 12分

所以当t20．解：（Ⅰ）由Sn1211111anan①得， 当n≥2时，Sn1an12an1②； 424 424

由①－②化简得：(anan1)(anan12)0， ··············································· 2分 又∵数列{an}各项为正数，∴当n2时，anan12， 故数列{an}成等差数列，公差为2，又a1S11211a1a1， 424 解得a11,an2n1； ··························································································· 5分

an,n为奇数（Ⅱ）由分段函数f(n)n 可以得到：

f(),n为偶数2············· 7分 c1f(6)f(3)a35,c2f(8)f(4)f(2)f(1)a11； ·

当n3，nN时，

················· 9分 cnf(2n4)f(2n12)f(2n21)2(2n21)12n11， · 故当n3时，Tn51(21)(21)(223n11)

4(12n2)(n2)2nn 612n15，n15,n2不扣分 Tnn„„„„12分 最后结果写成Tn6，2nn,n32n,n2x(1t)txx0，f(x)1无负实根． 21．解：（Ⅰ）由f(x)1得xee，即xelnxlnx1lnx1t．令g(x)故有，g(x)， ······································ 2分 xxx2 由g(x)0得0xe，由g(x)0得xe，

g(x)在(0,e)上单调递增，g(x)在(e,+)上单调递减．

g(x)·········································· 4分 maxg(e)，g(x)的值域为(,]． · 要使得方程f(x)1无实数根，则1t1e1e11，即t1． ····························· 5分 ee （Ⅱ）f(x)etx+txetxex=etx[1txe(1t)x]，由题设，

t1t 知对x0,f(x)0恒成立．不妨取x1，有f(1)e(1te)0，

而当t1时，f(1)0，故t1． ····································································· 7分

6

xx1xtx(1t)x]e2(1e2)． ① 当t，且x0时，f(x)=e[1txe22xx2 而当x0时，有e1x，故1e0．所以f(x)0，

2x1时满足题意． ························ 9分 211t1t1，即ln0． ② 当t1时，01t，且

221t1t1tt(1t)x(1t)e(1t)x． 令h(x)1txe(1t)x，则h(0)0．h(x)t(1t)e1t1tln 当0x时，h(x)0，此时，h(x)h(0)0， 1t1t1t1tlnln)单增， 则当0x时，f(x)0，故f(x)在(0,1t1t1t1t 所以f(x)在(0,)内单调递减， 故当t与题设矛盾，不符合题意，舍去．

1时，函数f(x)是(0,)内的减函数． ·········································· 12分 222．解：（Ⅰ）连接BD，则AGDABD，

所以，当t 又因为ABDDAB90，CCAB90，所以CABD

所以CAGD，所以CDGE180，所以C,E,G,D四点共圆 ··········· 5分

2（Ⅱ）因为EGEAEB，则EB2，又F为EB三等分，所以EF24，FB， 33 由于C,E,G,D四点共圆，由割线定理得FGFDFEFC，

2 FB与⊙O相切于B，由切割线定理得FGFDFB

8，故CE2 ···················································· 10分 323．解：（Ⅰ）直线l的普通方程为：3xy330； ······································ 2分 曲线C的直角坐标方程为：(x2)2y21 ················································ 5分 （Ⅱ）设点P(2cos,sin)(R)，则

2 所以FEFCFB，则FC|2cos()53||3(2cos)sin33|6 d2253531,1] ·所以d的取值范围是[································································· 10分 2224．解：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为x2x26，

x22x,令g(x)x2x24,2x2 ······················································· 3分

2x,x2 不等式的解集是(,3][3,) ····································································· 5分

ba22 只需证(ab1)(ba)

（Ⅱ）要证f(ab)af()，只需证|ab1||ba|，

7

而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0， 从而原不等式成立． ·························································································· 10分

8