《基本不等式》教学设计

《基本不等式

》教学设计

一、教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。 就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。 二、学情分析

在初中阶段，学生已经接触了完全平方公式、勾股定理，相似三角形的知识内容，在高中阶段学生已经对不等关系和不等式的性质有了一定的了解，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有，考查了学生数形结合、转化化归等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高。 三、教法设计

在本节课的教学中，采用观察——感知——抽象——归纳——探究，启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。我始终坚持以学生为主体，教师为主导的教学原则，通过师生互动、生生互动来体现这一教学原则，在整个教学中我始终比较关注学生的“动”，通过多媒体、模型辅助等多种教学方法相结合的策略组织教学过程。 四、教学目标

知识与技能：（1）理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；（2）理解算数平均数与几何平均数的概念，体会基本不等式使用时所满足的条件；（3）培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

过程与方法：通过类比、归纳、探究基本不等式的过程，培养学生的数学思维能力，体会数学概念的学习方法，体验成功的乐趣。

情感态度与价值观：感受数学就在身边，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 五、教学重难点

重点：应用数形结合思想理解基本不等式，从不同的角度理解认识基本不等式。

难点：基本不等式使用时的条件。 六、教学工具的应用

（1）教学中有效利用多媒体课件，使课堂教学环节的衔接更加流畅，利用形象、

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《基本不等式》教学设计

直观的展示方式增强学生对知识的理解。

（2）教学中利用实物模型，使课堂教学内容更具直观，同时激发学生学习数学的积极性。

七、课时安排 1课时

八、教学过程设计

(一)创设情境、提出问题

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 (二)探究发现、归纳证明

[问1] 你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

[问2] 大正方形面积和四个直角三角形的面积有相等的情况吗？什么时候相等？

（分别从数和形的角度探究相等时候的条件） [问3] a,b是任意值时，ab2ab成立吗？

[问4] 你能给出证明吗？（得出结论） [问5] 上述不等式成立的条件有哪些？

（设计意图：利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识不等式ab2ab。） (三)类比联想、探索新知 22 特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab2ab中，以a、b分别代替a,b，得到2222什么？ （设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。） 归纳总结：

abab，当且仅当ab时，等号成立。 2ab 我们称此不等式为基本不等式。 其中称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的

2 如果a,b都是正数，那么

几何平均数，也称此不等式为均值不等式。 (四)合作探究、理解升华

1、代数角度：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、几何意义：如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

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3、形的角度：类比利用面积法解释ab2ab这个不等式，引导学生利用面积法解释基本不等式。

4、数列角度：已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。 （设计意图：引导学生从不同角度理解和证明基本不等式，加深学生对基本不等式的理解。） (五)应用举例、实战演练 课本例1：a0,b0证明：ab22211ab。 （设计意图：通过简单实例，让学生体会应用基本不等式时的形式，进而引导学生归纳基本不等式的重要作用——求最值，并分析两种形式：和定积最大，积定和最小。） 例2：（1）当x0时，x1 ，当且仅当x 等号成立。 x （2）x0,y0,且xy9，则xy的最小值 ，此时xy 。 （设计意图：通过简单的求最值实例，让学生体会利用基本不等式求最值需要注意的形式和使用条件。） 变式练习：（1）下列函数中，最小值是 2 的是（ ） A.yx1xx B.y33 x11(1x10) D.ysinx(0x) lgxsinx2 C.ylgx （2）基本不等式使用中条件的判断。 （设计意图：通过变式训练，让学生再次感知基本不等式应用的条件。） （六）、课堂小结： （1）ab2ab （2）基本不等式

（3）基本不等式的作用——求最值，基本不等式的条件。 （七）、作业： 九、板书设计 基本不等式 22a2b22ab 变形形式、条件 基本不等式 例题 2 / 4

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十、教学反思

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