高一数学 对数函数

对数函数

1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数 y=a x 与对数函数y=loga x 互为反函数. （a>0,a≠1）

一、对数函数的定义：

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数。 二、对数函数的图像和性质：

图 像 定义域：0, 值域：R 性 质 过点1,0，即当x1时，y0 a 0a1 x(0,1)时，y0；x(1,)时， y0 在0,上是增函数 x(0,1)时，y0；x(1,)时，y0 在0,上是减函数

三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：

1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；

2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；

3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。

四、对数不等式的解法：

8

fxgx 当a1时， logafx logagx 与 同解。fx0

fxgx 当0a1时，logafx logagx 与 同解。fx0五、对数方程常见的可解类型有：

形如logafxlogagxa0且a1,fx0,gx0的方程，化成fxgx求解；

形如Flogax0的方程，用换元法解；

形如logfxgxc的方程，化成指数式fxgx求解

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

类型一 求函数的定义域

例1：求下列函数的定义域： (1)ylg(2x)； (2)y＝

c1；

log3(3x2)解析：(1)由题意得lg(2－x)≥0， 即2－x≥1，∴x≤1，

则ylg(2x)的定义域为{x|x≤1}． (2)欲使y＝

1有意义，

log3(3x2)3x－2>0

应有log3(3x－2)≠0，∴

3x－2≠1

.

2

解得x>，且x≠1.

3

2

答案：(1) {x|x≤1}．(2) {x|x>，且x≠1.}．

3

练习1：(2014～2015学年浙江舟山中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝定义域为________________．

答案：(－1,0)∪(0,2]

练习2：(2014·江西理，2)函数f(x)＝ln(x－x)的定义域为( )

8

2

12＋4－x的

ln(x1)

A．(0,1) 答案: C

B．[0,1]

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

类型二 应用对数函数的性质比较数的大小 例2：比较下列各组中两个数的大小：

(1)log23.4和log28.5； (2)log0.53.8和log0.52；

解析：(1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4<8.5，∴log23.42，∴log0.53.8c>b C．c>b>a 答案：D

练习2：(2014·天津文，4)设a＝log2π，b＝log1 π，c＝π，则( )

2A．a>b>c C．a>c>b 答案：C

类型三 与对数函数有关的图象问题 例3：函数y＝log1 |x|的大致图象是( )

2

B．b>a>c D．c>b>a

－2

B．b>c>a D．c>a>b

解析：当x＝1时，y＝log1 1＝0，排除A；

2当x＝2时，y＝log1 2＝－1，排除B、C、故选D．

2答案: D

练习1：函数f(x)＝ln(x＋1)的图象大致是( )

2

8

答案: A

练习2：已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的(

答案：B

类型四 求反函数

例4：求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．

解析: 由y＝2x＋1，得2x＝y－1， ∴x＝log2(y－1)，∴y＝log2(x－1)．

又∵x<0，∴0<2x<1，∴1<2x＋1<2，

∴所求函数的反函数为y＝log2(x－1)(1答案：y＝log2(x－1)(1练习1：求函数y＝1＋x1－x的反函数．

答案：y＝

x－1

x＋1

(x≠－1)． 练习2：函数y＝x＋2，x∈R的反函数为( ) A．x＝2－y B．x＝y－2 C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R

答案: D

类型五 互为反函数的图象间的关系

8

)

例5: 函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f(x)的图象经过( ) A．第一、二象限 C．第三、四象限 三象限．

答案：B

练习1: 已知f(x)＝2＋b的反函数为f(x)，若y＝f(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________.

答案：1

练习2: 已知函数y＝f(x)与y＝e互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为( )

A．－e 1C． e答案：C

1B．－ eD．e

xx－1

－1

－1

B．第二、三象限 D．第一、四象限

－1

解析：因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f(x)的图象经过第二、

1、(2014～2015学年度武汉二中龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝log1x3的定义

3域为( )

A．(3，＋∞) C．(3,4]

B．[3，＋∞) D．(－∞，4]

答案：C

2、(2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)设a>1，函数f(x)＝logax在区间1

[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于( )

2

A．4 C．2

B．22 D．2

答案：A

3、(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 C．y＝2

－xB．y＝(x－1) D．y＝log0.5(x＋1)

2

答案：A

2

4、(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝lg(x－4x－5)的值域为( )

A．(－∞，＋∞) C．(5，＋∞)

B．(－1,5) D．(－∞，－1)

8

答案：A 5、．函数y＝1－x－1(x≥2)的反函数为( ) A．y＝(x－1)＋1(x≥1) C．y＝(x－1)＋1(x≤1) 答案: D

6、函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( ) A．(1,2) C．(1,3) 答案: D

B．(2,1) D．(3,1)

22

B．y＝(x－1)－1(x≥0) D．y＝(x－1)＋1(x≤0)

2

2

基础巩固

1．已知a>0且a≠1，函数y＝a与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的( )

x

答案：B

2．(2015·广东理，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝1＋x 1xC．y＝2＋x

2答案：D

3．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为( ) A．x＝2－y C．y＝2－x，x∈R 答案：D

4．已知函数y＝f(x)与y＝e互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为( )

A．－e

1

B．－ e

x2

1

B．y＝x＋

xD．y＝x＋e

xB．x＝y－2 D．y＝x－2，x∈R

8

1C． e答案：C

D．e

5．(2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数y＝log2(4x－x)的递增区间为________．

答案: (0,2]

能力提升

6．(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)函数f(x)＝的定义域是( )

3x2

2

1－x＋lg(2＋5x－3x)

2

1A．－，2 3

1－2，C． 3答案：B

1B．－，1

3

1－∞，－D． 3

7．(2015·湖南文，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 答案：A

8. 已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f(x)的图象过点(1,7)，则

－1

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

f(x)是( )

A．增函数 C．奇函数 答案：A

9．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝

log2xx>0

x3x<0

B．减函数 D．偶函数

1

，则f[f()]＝________.

4

1答案：

9

10. 已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f(x)； (3)判断f(x)的单调性．

答案：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，

8

－1

－1

故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝a，即x＝2－a. ∴f(x)＝2－a(x∈R)． (3)f(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f(x2)－f(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2， －1

－1

－1－1

yyx∵a>1，x1(x－1

2)∴y＝f－1(x)在R上是减函数． 8