2019年吉林中考数学试题(解析版)

2019年吉林初中毕业生学业水平考试

数学试卷

考试时间：120分钟 满分：120分

{题目}1．（2019年吉林）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）

0（第1题）A．3 B．2 C．1 {答案}D

{解析}本题考查了数轴上有理数的表示，因为负数在原点的左侧，因此本题选D． {分值}2

{章节: [1-1-2-2]数轴} {考点:数轴表示数} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2．（2019年吉林）2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）

D．－1

正面（第2题）A．B．C．D．

{答案}D

{解析}本题考查了俯视图，因为该组合图形俯视图由四个正方体连成一排，因此本题选D． {分值}2

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}3．（2019年吉林）3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ） A．a1 B．a1 C．a1 D．a1

{答案}B

{解析}本题考查了数值大小比较，a-1比a小，因此本题选B． {分值}2

{章节:[1-2-2]整式的加减} {考点:实数的大小比较} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年吉林）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至

少为（ ） A．30° B．90° C．120° D．180°

（第4题）

{答案}C

{解析}本题考查了图形的旋转运动，因为图形可以分解成三份完全相同的图形，360°÷3=120°，因此本题选C． {分值}2

{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:与旋转有关的角度计算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}5．（2019年吉林）5．如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB=50°，若P为AB上一点，∠AOP=55°，则

∠POB的度数为（ ） A．30° B．45° C．55° D．60°

COBAP（第5题）

{答案}B

{解析}本题考查了圆内角度计算，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选B． {分值}2

{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {考点:直径所对的圆周角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}6（2019年吉林）6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人

更好地观赏风光。如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线

A

曲桥B(第6题)

{答案}A

{解析}本题考查几何定理在生活中的应用，两点之间，直线最短，因此本题选A． {分值}2

{章节:[1-4-2]直线、射线、线段} {考点:线段公理}

{类别:常考题} {难度:2-简单}

{题型:2-填空题}

二、填空题：本大题共 8小题，每小题 3 分，合计24分． {题目}7．（2019年吉林）7．分解因式：a21________．

{答案}（a+1）(a-1)

{解析}本题考查了利用平方差公式因式分解，因此本题答案是（a+1）(a-1)． {分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}8．（2019年吉林） 8．不等式3x21的解集是________．

{答案}x>1

{解析}本题考查了解不等式，移项3x>3,因此本题x>1． {分值}3

{章节:[1-3-2-1]解一元一次方程（一）合并同类项与移除} {考点:解一元一次方程（移项）}

{考点:解一元一次方程（系数化整后去分母）} {类别:常考题} {难度:2-简单}

yx{题目}9．（2019年吉林）9．计算：2________．

2xy {答案}

{解析}本题考查了分式乘法运算，先约分，因此本题．

{分值}3

{章节:[1-15-2-1]分式的乘除} {考点:两个分式的乘除} {类别:常考题} {难度:2-简单}

2{题目}10．（2019年吉林）10．若关于x的一元二次方程x3c有实数根，则c的值可以为________（写出一

个即可）．

{答案}任意一个非负数皆可

{解析}本题考查了一元二次方程是否具有实数根，因为（x+3）2值是非负数，因此本题任意一个非负数皆可． {分值}3

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:直接开平方法} {考点:根的判别式} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}11．（2019年吉林）11．如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°， 则∠B=________°．

EADBC(第11题)

{答案}60

{解析}本题考查了平行线性质和三角形内角和定理，由于平行得到∠C=50°，再由三角形内角和计算可得，因此本题答案是60． {分值}3

{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:两直线平行内错角相等} {考点:三角形内角和定理} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}12．（2019年吉林）12．如图，在四边形ABCD中，AB=10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边

AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为________．

BCD(第12题)EA

{答案}20

{解析}本题考查了图形的翻折，由翻折得到 △BCD与△BED全等，得BC=BE，CD=ED，因为点E是中点，利用直角三角形性质，可得DE=BE= AB=5，,因此本题20

{分值}3

{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:全等图形}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:直角三角形斜边上的中线} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}13.（2019年吉林）13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长

为90m，则这栋楼的高度为________m．

{答案}54

{解析}本题考查了相似三角形性质或有关锐角三角比的计算，利用对应边成比例，因此本题54． {分值}3

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}14．（2019年吉林）14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，

OE为邻边的□ODCE的顶点C在AB上，若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是________（结果保留π）．

BECO(第14题)DA

{答案}25π-48

{解析}本题考查了几何图形面积的计算，用扇形的面积减去三角形的面积即可，因此本题25π-48 {分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题型:3-解答题}三、解答题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分．

2{题目}15（2019年吉林）15．先化简，再求值：a1aa2，其中a2．

{解析}本题考查了整式计算和求代数式的值． {答案}解：原式a2a1a2a (2分) 2a1 (3分) 当a222

2时,

=5 (5分)

原式=2×

{分值}5分

{章节:[1-16-3]二次根式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:整式加减} {考点:代数式求值} {考点:简单的实数运算}

{题目}16（2019年吉林）16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有

红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

甲口袋（第16题）乙口袋

{解析}本题考查了概率的计算，可以利用树形图或表格法． {答案}解：解法一

根据题意,，画树状图如下：

(3分)

由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有4种，且取出的扇子和手绢都是红色的结果有1种，所以P（扇子和手绢都是红色）=

1 (5分) 4绿扇子 解法二根据题意，列表如下： 结果 甲 红扇子 乙 红手绢 （红扇子，红手绢） 绿手绢 （红扇子，绿手绢）

（绿扇子，绿手绢） （3分）

（绿扇子，绿手绢）

由表可以看出，所有等可能出现的结果共有4种，且取出的扇子和手绢都是红色的结果有1种，所以P（扇子和手绢都是红色）=

1 （5分） 4{分值}5分

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:两步事件不放回}

{题目}17（2019年吉林）17.已知y是x的反比例函数，并且当x2时，y6． ⑴求y关于x的函数解析式； ⑵当x4时，求y的值．

{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式以及求函数值，

k （1分） xk因为x=2时，y=6,所以6=，（2分）

212解得k=12,因此y（3分）

x1212（2）把x=4代入y，得y3（5分）

x4 {答案}解：（1）设y{分值}5分

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:反比例函数的解析式}

{题目}18（2019年吉林）18．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于

点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．

AEDBF（第18题）C

{解析}本题考查了三角形全等的判定，根据等半径作弧AE=CF，根据平行四边形性质可以得到一组边和一组角分别对应相等，全等即可证明． {答案}证明：

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD ∠A=∠C。

由作图得AE=CF ∴△BCD≌△BED

{分值}5分

{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:全等三角形的判定SAS} {考点:圆的认识}

{题型:4-解答题}四、解答题：本大题共4小题，每小题7分，合计28分．

{题目}19（2019年吉林）19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出

线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图： ⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；

⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G,H为格点，∠CGD=∠CHD=90°

{解析}本题考查了菱形的判定以及画简单的几何图形． {答案}解：答案不唯一，以下答案仅供参考 （1）

F AF

B A

E （2） H H H C G D C D G

C 评分说明：点E、点F

E B G D 标注的位置互换不扣分；

（2）点G、点H标注的位置互换不扣分 {分值}7分

{章节:[1-18-2-2]菱形} {类别:思想方法} {难度:4-较高难度} {考点:菱形的判定} {考点:中心对称图形}

{考点:利用轴对称设计图案}

{题目} 20．（2019年吉林）20.问题解决

糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

（第20题）反思归纳

现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）． ⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac-d=b．

{解析}本题考查了方程的应用解决实际问题，可以利用二元一次方程或一元一次方程． {答案}解： 解法一

设设竹等有x根，山有y个 (1分) 根据题意，得

5x4y (3分) 8(x7)yx20 (5分) y104答:竹签有20根，山植有104个 解法二

设竹签有x根 (1分) 根据题意，得5x+4＝8(x-7) (3分) 解得x=20

5x+4=5x20+4=104. (5分) 答:竹签有20根，山楂有104个 反思归的

2⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac-d=b． {分值}7分

{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:二元一次方程组的应用}

{考点:一元一次方程的应用（配套问题）}

{题目}21（2019年吉林）21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm（）参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）

DA170CBE（第21题）

{解析}本题考查了解直角三角形的应用以及学生对距离概念的理解，首先根据可以作辅助线构造直角三角形，把所求的距离分成两段，根据锐角三角函数的应用解直角三角形所需要线段，，全等即可证明． {答案}解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90° (1分)

在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°

AF (3分) AC∴.AFAC•cosCAF cosCAF=30×cos 43°

=30x0.73=21.9 (5分)

∴ CE=BF= AB+AF

=170+21.9≈192(cm) (7分)

因此，花洒的顶端C到地面的距离CE约为192㎝。

{分值}7分

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{考点:特殊角的三角函数值} {考点:解直角三角形}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}

{题目}22．（2019年吉林）22.某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”． ⑴该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是________；

⑵该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为________人； ②统计图中人数最多的选项为________；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．

{解析}本题考查了数理统计中相关概念和有关频数直方图的计算，具有代表性的方案显然是方案三，根据频数分布直方图，这次接受调查的居民人数为每组数据的和． {答案}（1）方案三（2分）

（2）①1000（4）分 ②手机(5分) ③80

26040052.8（万人）

1000所以，该地区城区居民和农村居民将电脑和手机作为获取信息的最主要途径的总人数约为52.8万人。 (7分)

{分值}7分

{章节:[1-10-2]直方图} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:样本的代表性} {考点:用样本估计总体} {考点:频数与频率}

{考点:频数（率）分布直方图} {考点:条形统计图} {考点:统计的应用问题}

{题型:5-解答题}五、解答题：本大题共2小题，每小题8分，合计16分．

{题目}23．（2019年吉林）23.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续

以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示． ⑴m=________，n=________；

⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； ⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程

{解析}本题考查了一次函数的应用，根据x、y两个变量的意义可以求m和n的值，根据函数图像关键点的坐标可以根据待定系数法求出函数解析式，根再据乙车距B地的路程y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数解析式即可求甲车到达B地时，乙车距B地的路程.

{答案}(1)4,120

(2)设y关于x的函数解析式为ykx（0≤x≤2） 因为图像过（2，120） 所以2k=60.

所以y关于x的函数解析式为y=60x.

设y关于x的函数解析式为yk1xb（2≤x≤4）

2k1b120所以

4kb01k160解得

b240所以y关于x的函数解析式为y=-60x+240. （3）当x=3.5时，y=-60×3.5+240=30.所以，当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km. {分值}8分

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {难度:4-较高难度} {类别:易错题} {考点:函数的概念} {考点:函数关系式}

{考点:函数自变量的取值范围} {考点:函数值} {考点:函数的图象} {考点:分段函数}

{考点:函数图象上的点} {考点:正比例函数的定义} {考点:正比例函数的图象} {考点:一次函数的定义} {考点:一次函数的图象}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:一次函数与一元一次方程} {考点:一次函数与二元一次方程组} {考点:分段函数的应用} {考点:一次函数与行程问题} {考点:距离时间图象} {考点:正比例函数解析式}

{题目}24．（2019年吉林）24.性质探究

如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．

CEHA图①BF图②G（第24题）理解运用

⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843，则它的面积为________； ⑵如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH．

①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;

②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长． 类比拓展

顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含α的式子表示）．

{解析}（1）本题考查了等腰三角形性质以及锐角三角比的应用，根据等腰三角形三线合一定理可以作辅助线把三角形分成两个全等的直角三角形，根据锐角三角比就可以求出来底边AB的一半与腰AC的长度之比，再利用比例基本性质即可求出答案．

（2）本题考查了等边对等角定理，并利用等量代换即可证明结论 (3)本题可以参照（1）的解题思路

{答案}性质探究3 (2分) 理解运用（1）43 (3分) （2）①证明:EF＝EG＝EH

∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG .(5分)

∠EFG +∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH (6分)

② 53 (7分)

3.类比拓展 2sinα (8分)

{分值}8分

{考点:解直角三角形}} {难度:3-中等难度} {类别:探究题} {考点:等边对等角} {考点:三线合一} {考点:解直角三角形}

{题型:-解答题}六、解答题：本大题共2小题，每小题10分，合计20分．

{题目}25（2019年吉林）25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm²）．

⑴AE=________cm,∠EAD=________°；

⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

5⑶当PQ=cm时，直接写出x的值．

4CEPBCEBDQ（第25题）AD（备用图）A

{解析}本题考查了图形的运动过程中的分类讨论数学思想，根据规则图形以及不规则的图形面积的基本基本求法，可以通过点P作辅助线构造直角三角形，根据解直角三角形的知识就可以求出相应边长，面积即可表示． {答案}解（1）32,45

（2）当0≤x≤2时，如图①，过点P作PFAD于点F， ∵AP=2x，AQ=2x,

∴PF=AP·sin45x

C

E

P 112∴y=AQ•PF=2x•x=x2

222即y=x

当2∴ySDAPSDPQ∴

B

D C Q D C Q D

11AD•PFDQ•DF 2211=4x2x44x 222=x8x8

7当32 =

∵CQ=7-2x,EC=1

∴yS四边形DAECSPCQ

QF E 图① P A B

图②F E （ P） A

B

11143172x 22=x4

=

即y=x+4 (3)

图③

A

5225或 88{分值}10分

{类别:思想方法} {难度:4-较高难度}

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:几何综合}

2{题目}26．（2019年吉林）26.如图，抛物线yx1k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴

相交于点C（0，－3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0． ⑴求此抛物线的解析式；

⑵当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；

⑶设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当h=9时，直接写出△BCP的面积．

{解析}（1）本题考查了利用待定系数法求二次函数， （2）根据二次函数性质求出面积的最大值

（3）根据P、C两点的相对位置进行分类讨论即可． {答案}

(1) 因为yx1k与y轴交与点C（0，-3），

2

把（0，-3）代入yx1k，得3x1k 解得k4

22yx14即yx22x3

2(2) 令y0得x140

2解得x11,x23. 所以A（-1，0），B（3，0）所以AB=4 解法一

有（1）可知，抛物线顶点（1，-4）

由题意，当点P位于抛物线顶点时，ABP的面积有最大值， 最大值为SABP解法二

由题意，得P（m,m2144=8 22m3）

14m22m3 22=2x4m6

2=-22m18

所以，当m=1时，SABP有最大值8

22(3) ①当022当m>2时，hm2m34m2m1 SABP②6

{分值}10分

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度} {类别:常考题} {考点:代数综合}