第三节 波长、频率和波速的关系

第三节 波长、频率和波速的关系

新知预习

1.波长（λ）:在波动中，振动__________总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长，在横波中，两个相邻__________或两个相邻__________之间的距离等于波长；在纵波中，两个相邻__________或两个相邻__________之间的距离等于波长.

2.频率(f)：波的频率由__________决定，在任何介质中频率不变，等于波源振动频率.

3.波速（v）：波速仅由__________决定，波速与波长和周期的关系为__________，即波源振动几个周期，波向前传播__________个波长.

典题·热题

知识点一 波长、频率和波速

例1下列对波速的理解正确的是( )

A.波速表示振动在介质中传播的快慢

B.波速表示介质质点振动的快慢

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C.波速表示介质质点迁移的快慢

D.波速跟波源振动的快慢无关

解析：机械振动在介质中传播的快慢用波速表示，它的大小由介质本身的性质决定，与介质质点的振动速度是两个不同的概念，与波源振动快慢无关，故A、D两项正确；波速不表示质点振动的快慢，介质质点也不随波迁移，因此B、C两项错误.

答案：AD

例2图12-3-2所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图象，下列说法中正确的是( )

图12-3-2

A.质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同

B.质点B、F在振动过程中位移总是相等

C.质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长

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D.质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长

解析：从图象中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个点的位移不总是相同，A项错误；质点B、F是同处在波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相等，B项正确；质点D、H是处在相邻的两个波谷的点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C项正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长（应为两个波长），D项错误.

答案：BC

误区警示 在理解波长的概念时，要注意切不可把“在波动中，振动相位总是相等的质点”与“在振动中某一时刻位移相等的质点”混为一谈，另外还要注意“相邻”二字，不要把波长的概念理解为“两个在振动中位移总是相等的质点间的距离”.

知识点二 波长、频率和波速关系及其应用

例3如图12-3-3所示，沿波的传播方向上有间距均为1 m的六个质点a、b、c、d、e、f.均静止在各自平衡位置，一列横波以1 m/s的速度水平向右传播，t=0时到达质点a，质点a开始由平衡位置向上运动，t=1 s时，质点a第一次到达最高点，则在4 s＜t＜5 s这段时间内( )

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图12-3-3

A.质点c的加速度逐渐增大

B.质点a的速度逐渐增大

C.质点c向下运动

D.质点f保持静止

解析：由t=1 s质点a第一次到达最高点知周期T=4 s，再由波速v=1 m/s知波长λ=vt=4 m，又知各质点相距1 m，故a与e相距一个波长，是振动步调完全相同的质点.

在4 s＜t＜5 s这段时间内，a又离开平衡位置向最高点运动，受的回复力越来越大，因而加速度逐渐增大，但速度越来越小；c质点与a质点振动步调相反，正从平衡位置向最低点运动，因而加速度逐渐增大，但速度越来越小，在4 s＜t＜5 s这段时间内，波传播的距离是4 m＜x＜5 m，波还没有传到质点f，f仍静止不动，答案是A、C、D三项.

答案：ACD

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巧解提示 如果能画出波形，由波形图判断就更形象直观.如图12-3-4所示，图中实线表示t=4 s时的波形图，虚线表示4 s＜t＜5 s时的波形图.

图12-3-4

例4对机械波关于公式v=λf，正确的是( )

A.v=λf适用于一切波

B.由v=λf知，f增大，则波速v也增大

C.v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f

D.由v=λf知，波长是2 m的声音比波长是4 m的声音传播速度小2倍

解析：公式v=λf适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A项正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f无关，所以B、D两项错；对同一列波，其频率由振源决定，与介质无关，故C项正确.

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答案：AC

方法归纳 解此类问题的关键是：机械波的波速仅由介质决定，与频率和波长无关；机械波的频率由振源决定，与介质无关.

知识点三 波长、频率和波速的关系与波的图象的综合

例5在图12-3-5所示的图象中，实线是一列简谐横波在某一时刻的图象，经过t=0.2 s后这列波的图象如图中虚线所示，求这列波的波速.

图12-3-5

解析：从波的图象可读出波长λ=4 m，振幅A=2 cm.

此题引起多种可能的原因有两个：一个是传播方向的不确定；一个是时间t和周期T的大小关系不确定.

11答案：设波沿x轴正方向传播，t=0.2 s可能是（n+4）(n=0,1,2，…)个周期，即t=(n+4)T1，

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t4t1(n)4=4n1 周期T1=

(2n1)波速v1=T1=4t=5(4n+1) m/s(n=0，1,2，…)

33设波沿x轴负方向传播，t=0.2 s可能是(n+4)(n=0,1,2，…)个周期，即t=(n+4)T2

t周期T2=

n4t34=4n3

(4n1)波速v2=T2=4t=5(4n+3) m/s(n=0,1，2，…).

方法归纳 多解问题是大家倍感头痛的问题，但简单地说引起多解的原因为：①波的传播方向不确定引起的多解；②波的周期性引起的多解；③质点振动方向不明确引起的多解.

有时候上述多解成因交织在一起，使得问题更隐蔽复杂，学习时一定要弄清多解成因.

例6在波的传播方向上有两个质点P和Q，它们的平衡位置相距s=1.2 m，且大于一个波长，介质中的波速为v=2 m/s，P和Q的振动图线如图12-3-6所示，求振动周期的最大值，并画出t=0时的波的图象.

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图12-3-6

解析：这是一道波动与振动图象相结合的问题，通过振动图象确定每一时刻质点的振动方向，然后由P、Q两点振动情况，确定两者间距与波长的关系；又因为波的传播方向未知，可从下面两种情况加以分析：1.波由P点向Q点传播；2.波由Q点向P点传播.

答案：（1）波由P点向Q点传播

1T由振动图线可知Q点的振动在时间上比P点至少落后4，因而P、Q两点之间的距离至少是4λ，

根据波的周期性，s与λ的关系应为（注意题目中s＞λ）

14ss=nλ+4λ(n=1,2,3，…) λ=4n1(n=1,2,3，…)

4s2.4故周期T=v=(4n1)v=4n1(n=1,2,3，…)，显然，n=1时，λ和T有最大值，其最大值分别为

λ1=0.96 m,T1=0.48 s.

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下面作出t=0时波的图象，要正确画出该时刻波的图象，须把握好以下几点：

①根据题中振动图象，t=0时P点位移yP=A，速度vP=0；Q点位移yQ=0，速度最大，且将向正最大位移振动.

5②以P点为原点，PQ为x轴画出直角坐标系，并根据s=4λ1及PQ=s进行合理分度，将P、Q

的横、纵坐标在坐标图上标出，然后画出经过这两点的一条图象，如图12-3-7所示.

图12-3-7

（2）波由Q点向P点传播

这种情况下与（1）的求解方法基本相同.

3所以s=nλ+4λ(n=1,2,3,…)

4sλ=4n3

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4s2.4T=v=(4n3)2=(4n3)(n=1,2,3，…)

4.82.4当n=1时，λ和T取最大值，其最大值分别为λ2=7 m≈0.69 m,T2=7 s≈0.34 s,t=0时波的

图象如图12-3-8所示.

图12-3-8

方法归纳 由于题中未明确波速方向，所以要考虑两种情况；又由于图中未标明数值，要求周期，须先求波长，而题中只给s＞λ，所以应写出波长的多解表达式.至于P、Q间距是波长的多少倍，是由波的传播方向和P、Q在同一时刻的振动状态决定.

自主广场

我夯基我达标

1.一列简谐横波在图12-3-5中x轴上传播，a、b是其中相距为0.3 m的两点，在某时刻a点质点正位于平衡位置向上运动，b点质点恰巧运动到下方最大位移处.已知横波的传播速率为60 m/s，

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波长大于0.3 m，则（ )

图12-3-5

A.若该波沿x轴负方向传播，则频率为150 Hz

B.若该波沿x轴负方向传播，则频率为100 Hz

C.若该波沿x轴正方向传播，则频率为75 Hz

D.若该波沿x轴正方向传播，则频率为50 Hz

34思路解析：由题意，若波沿x轴负方向传播，则ab=4λ，λ=3ab=0.4 m

所以λ=v/f

v60所以f==0.4 Hz=150 Hz

选项A正确，选项B错，若波沿x轴正方向传播，则

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1ab=4λ，λ=1.2 m

v60f==1.2Hz=50 Hz

选项C错，选项D正确.

答案：AD

2.如图12-3-6所示，在平面xOy内有一沿水平轴x正向传播的简谐横波，波速为3.0 m/s，频率为2.85 Hz，振幅为8.0×10-2 m.已知t=0时，P点质点的位移为y=4.0×10-2 m,速度沿y轴正方向，Q点在P点右方9.0×10-1 m处，对于Q点的质点来说（ )

图12-3-6

A.在t=0时，位移为y=-4.0×10-2 m

B.在t=0时，速度沿y轴负方向

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C.在t=0.1 s时，位移为y=-4.0×10-2 m

D.在t=0.1 s时，速度沿y轴正方向

v3.06PQ3mf-15m，PQ=9×10 m，4，按题意画出t=0时刻的波形图，思路解析：因为λ==2.5T如下图实线所示，由波形图可判定选项A错，选项B正确.周期T=0.4 s，Δt=0.1 s=4,波形向x轴正

方向平移4如下图中虚线所示，则选项C正确.此刻Q点速度方向沿y轴负方向，选项D错.

答案：BC

3.如图12-3-7所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距14.0 cm,b点在a点的右方，当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正方向最大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00 s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大.则这

一简谐波的波速可能是（ )

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图12-3-7

A.4.67 m/s B.6 m/s C.10 m/s D.14 m/s

思路解析：先根据题干所述，画出a、b之间的波形图，由波从左向右的传播方向，及b点的振动方向可知，a、b之间至少为3λ/4，即（m+3/4）λ=14.0 m（m=0,1,2, …），由已知可得时间关系：1.00 s至少应为T/4，即（nT+T/4）=1.00 s.在讨论振动和波的问题时，首先应想到的是周期性、

14414m,T4n1 重复性.这种重复性既表现在时间上又表现在空间上，λ=分 14×44m+3式 m，T=4m3144(4n1)s，由速度公式可得v=(4m3)4，

当n=0,m=0时，v=4.67 m/s

当n=1,m=1时，v=10 m/s，其余数值都不可能.

答案：AC

4.如图12-3-8所示，实线是某时刻的波形图象，虚线是0.2 s后的波形图.

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图12-3-8

（1）若波向左传播，求它的可能周期和最大周期.

（2）若波向右传播，求它的可能传播速度.

（3）若波速是45 m/s，求波的传播方向.

3思路解析：（1）波向左传播，传播的时间为Δt=4T+nT（n=0，1，2，…）

所以T=4Δt/(4n+3)=4×0.2/(4n+3)=0.8/(4n+3) s,（n=0，1，2，3，…）

0.8最大周期为：Tm=3s=0.27 s.

T（2）波向右传播Δt=4+nT（n=0，1，2，3，…）

所以T=0.8/(4n+1) s,（n=0，1，2，…）而λ=4 m

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所以v=T=5（4n+1） m/s（n=0，1，2，…）.

（3）波速是45 m/s,设波向右传播，由上问求得向右传播的波速公式为：45=5（4n+1）解得n=2.故假设成立，波向右传播.

答案：（1）T=0.8(4n+3) s,（n=0，1，2，3，…） Tm=0.27 s

（2）v=5（4n+1） m/s（n=0，1，2，…）

（3）向右传播

5.一列横波在x轴上传播，当t=0和t=0.005 s时的两波形图如图12-3-9.求：

图12-3-9

（1）设周期大于（t2-t1）,如果波向右（或向左）传播时，波速各为多少？

（2）设周期小于（t2-t1），波速为6 000 m/s，求波的传播方向.

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思路解析：（1）因为（t2-t1）x12如波向右传播则波速为：v右=t0.005m/s=400 m/s

x26如波向左传播则波速为：v左=t0.005m/s=1 200 m/s

（2）因为Δx=v·t=6 000×0.005 m=30 m

且Δx=3λ+Δx2=30 m

因此波向左传播.

答案：（1）v右=400 m/s,v右=1 200 m/s

(2)波向左传播

6.已知一列简谐横波在t=0时刻的波动图象如图12-3-10所示，再经过1.1 s时，P点第3次出现波峰，求：（1）波速v；（2）从图示时刻起，Q点再经过多长时间第一次出现波峰？

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图12-3-10

3思路解析：（1）由传播方向可以判断P点在t=0时刻振动的方向向下，需经24个周期第3次达3到波峰位置，即24T=1.1 s

4所以T=11×1.1 s=0.40 s

4m所以v=T=0.4s=10.0 m/s.

（2）由图知A点在t=0时刻向下振动，即振源的起振方向向下，故Q点亦向下起振，起振后须

1mAQ34T=10.0m/s+ 经3T/4才第一次到达波峰，则Q点第一次到达波峰经历的时间t=v34×0.40 s=0.4 s.

答案：(1)10.0 m/s

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(2)0.4 s

我综合我发展

7.如图12-3-11所示中的实线是一列简谐横波在某一时刻的波形图线，经0.3 s后，其波形如图中虚线所示.设该波的周期T大于0.3 s,求：

图12-3-11

（1）波长和振幅；

（2）若波向右传播，求波的周期和波速；

（3）若波向左传播，求波的周期和波速.

思路解析：（1）从波形图线上直接读出波长和振幅分别为λ＝2 cm和A=10 cm.

（2）由题图知波向右传播，且T大于0.3 s，知在0.3 s时间内传播的距离小于波长,从图知向右

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3传播了3λ/4，所用时间应为0.3 s=4T,T=0.4 s,故v=T=5 m/s.

1（3）波向左传播，且T大于0.3 s,知在0.3 s时间内波传播的距离小于波长，从图知向左传播了4λ，15所用时间应为0.3 s=4T,T=1.2 s,故v=T=3m/s.

答案：（1）λ=2 m，A=10 m

(2)T=0.4 s,v=5 m/s

5(3)T=1.2 s，v=3m/s

8.(2006重庆高考)图12-3-12为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时的波形.当R点在t=0时的振动状态传到S点时，PR范围内(含P、R)有一些质点正在向y轴负方向运动，这些质点的x坐标取值范围是（ )

图12-3-12

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A.2 cm≤x≤4 cm B.2 cmC.2 cm≤x<3 cm D.2 cm思路解析：由平移法画出振动状态传到S点时的波形如图虚线所示,不难看出PR范围内2 cm≤x<3 cm的质点正在向y轴负方向运动.

答案：C

9.一列简谐波在x轴上传播，如图12-3-13，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示.已知Δt=t2-t1=0.1 s，问：

图12-3-13

（1）若波沿x轴正方向传播，且Δt第十二章 机械波——第三节 波长、频率和波速的关系

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（2）若波沿x轴正方向传播，但Δt无约束条件，波速是多大？

（3）若传播方向及周期均无约束条件，波速是多大？

（4）若波速v=340 m/s，则波向哪个方向传播？

思路解析：（1）从图知，该波的波长为8 m，因Δt0.4(2)由于Δt无约束条件，由振动的周期性，则Δt=（n+1/4）T,T=4n1s，则：v=λ/T=20（4n+1）

m/s.

（3）因传播方向及周期均无约束条件，则波传播的双向性和时间周期性均要考虑：

0.4当波沿x轴正方向传播，由振动的周期性，则Δt=（n+1/4）T,T=4n1s，则：v=λ/T=20（4n+1）

m/s.

0.4当波沿x轴负方向传播，由振动的周期性，则Δt=（n+3/4）T,T=4n3s，则：v=λ/T=20（4n+3）

m/s.

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1（4）波在Δt时间内移动的距离Δx=v·Δt=340×0.1 m/s=34 m/s=44λ，由图可知向x轴正方

向传播.

答案：（1）v=20 m/s

(2)v=20(4n+1) m/s(n=0，1，2，…)

（3）波沿x轴正方向传播，v=20(4n+1) m/s(n=0，1，2，…)波沿x轴负方向传播，v=20(4n+3) m/s(n=0，1，2，…)

（4）向x轴正方向传播.

10.如图12-3-14，实线是某时刻的波形图象，虚线是经0.4 s后的波形图象.

图12-3-14

（1）假设波向右传播，它传播的可能距离、可能速度、最大周期分别是多少？

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（2）假设波速是92.5 m/s,波的传播方向如何？

33思路解析：（1）波向右传播，经0.4 s后，它传播的距离s=(k+4)λ=4(k+4) m(k=0,1,2，…)

34(k)s34可能速度v=t=0.4=10(k+4) m/s（k=0,1,2，…)

0.433k4（k=0,1,2，…) 设可能周期为T，则(k+4)T=0.4，T=

1.6则最大周期Tm=3 s=5.3 s.

3（2）若波向右传播，则v=10(k+4)（k=0,1,2，…）

s1若波向左传播，则v=t=10(k+4)（k=0,1,2，…）

3当10（k+4）=92.5时，k=9.25-0.75=8.5

110(k+4)=92.5时，k=8，k是整数，所以波向左传播.

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3答案：（1）s=4（k+4）（k=0，1，2，…）

3v=10(k+4) m/s（k=0，1，2，…）

Tm=5.3 s

（2）波向左传播

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