带根号的函数最值问题

带根号的函数最值问题

数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。

1. 单调性一致情况

yx2x1 （x∈[1,2]）

分析：这个函数，分成两部分。

x是增的，2x1也是增的。这个函数yx2x1在定义域上单调增 于是，最大值最小值就在端点时取到。

ymin13,ymax25

2.单调性不一致的根号中一次项情况

yx1x (x∈[0,1])

分析：单调性不一致，首先考虑换元法

2令1x=t(t[0,1]),x=1-t

3ymax,ymin1

4

3．根号中出现二次项情况

yxx21 （x∈[-1,1]）

分析：单调性很难判断。这时候首先考虑换元法 方法一：三角换元

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我们知道，三角函数cos、sin的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。

设x=cos,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,],

利用1-cos2=sin2,去掉根号很方便。

yxx21cossin 2sin()4值域就是[1,2]

方法二：移项平方

这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。



yxx21yxx1两边平方

2 y22xyx2x21注意到这里平方的条件是y≥x 2x22yxy210

由于x存在，判别式大于等于0

V4y28(y21)84y20y[2,2]但要注意到，y≥x，于是有y≥-1

y[1,2]

方法三：求导

求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。

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yxx21y'1令y’≥0 解得x[1,xx21

2]，不过这个过程颇为艰辛 2于是易得y[1,2]

4.双根号明显数形结合的情况

yx21(x4)216求最小值

分析：明显可以看作两点间距离公式类型。这类题难度不大。但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。

看作点（x,0）到点（0,1）和(4,4)两点距离之和

如图，在AC线段上显然最小。即取x=1时，有

ymin5

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5.涉及圆锥曲线定义情况

(x5)2y2(x5)2y26

分析：这类题就是很典型的圆锥曲线定义

x2y21的右半支，即为题设。那么这里y的范围就很清晰 这里，双曲线

916y(,)

题目也可以考x的范围，那就是[3,)

6.较难的圆锥曲线思路。

yxx24x3

分析：导数自然可以尝试，换元法是有些不方便。这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法， 我们这里把坐标系看作 横轴x轴，纵轴p轴,，至于y就看作常数。

yxx24x3

看成两个曲线的交点

第一个曲线是p=xy，第二条曲线是p=x24x3 第一条曲线就是斜率为-1的，纵截距为y的一条直线 第二条曲线，进行一定化简

px24x3p2x24x3 p2(x2)21即(x2)p1

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这事实上就是一条双曲线，只是中心是（2，0）

那我们把渐近线也画出来。

这里渐近线的斜率也是-1，

那么对于直线p=xy,结合图像可知，纵截距y的范围是

[1,2)[3,)

7.三个根号构造向量情况

y(2a)2(1b)2(32a)2(23b)2(3a)2(32b)2求最小值

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注意到2a,32a,3a的和是定值8

1b,23b,32b的和为6

那么，看作(2a,1b),(32a,23b),(3a,32b) 三个向量，（或者是点），画个草图

最小值即为10

8.三个根号内部一次单调性不一致情况

yx2713xx 分析：这是一道数学竞赛题。难度颇大。

首先，最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x，并且取到等号

11y2(x273(13x)2x)(1)

32y11

ymax11,当且仅当x=9时取等号

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求最小值的历程比较痛苦，求导似乎可以一试 这里考虑将后面两个根号合并

yx2713xxyx27132x(13x)x=0时两个根号同时取到最小值

ymin3313

9.总结

解决该类带根号的函数最值问题时，一般是按以下顺序考虑 （1）。单调性 （2）。数形结合

（3）。换元（包括三角换元） （4）。求导

（5）。移项平方判别式（少用！）

（6）。创新思路：分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号 另外，一旦提到根式，一定不能忘记，定义域优先！

根号最值问题较为麻烦，上面所述的例题不多，同学们如果要想熟练掌握，就一定要做大量的练习。

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