考研数学二解答题专项强化真题试卷49 (总分100, 做题时间60分钟) 解答题
1.设有曲线y=，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 10 答案:
设切点的横坐标为x0，则曲线y=处的切线方程为
将x=0，y=0 代入上式得 一 2(x0一1)=一x0，解得x0=2 于是切线方程为
由曲线段y= 由直线段y= 因此，所求旋转体的表面积为S=Sn+S2= 2.(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(l+t)]ndt与∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)的大小，说明理由；
(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限SSS_TEXT_QUSTI(1≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为
(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为
un．
分值: 10 答案:
(Ⅰ)当0≤t≤1时，因为ln(1+t)≤t，所以 |lnt|[ln(1+t)]n≤tn|lnt|，
因此 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤tn|lnt|dt．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知0≤un=∫01|lnt| [ln(1+t)]dt≤∫01tn|lnt|dt．
因为∫01|lnt|dt=一∫01tnlntdt= 3.(1987年)(1)设f(χ)在[a，b]内可导，且f′(χ)＞0，则f(χ)在(a，b)内单调增加．
(2)设g(χ)在χ＝c处二阶可导，且g′(c)＝0，g〞(c)＜0，则g(c)为g(χ)的一个极大值．
SSS_TEXT_QUSTI 分值: 10 答案:
(1)设a＜χ1＜χ2＜b，由拉格朗日中值定理知：f(χ2)－f(χ1)＝f′(ξ)(χ2－χ1)，由f′(χ)＞0知f(χ2)＞f(χ1)，则f(χ)在(a，b)上单调增． (2)由于g〞(c)＝＜0，根据极限的保号性知，存在c的某个去心邻域，使
＜0，则c点左半邻域g′(χ)>＞0，而c点的右半邻域g′(χ)＜0．由极值第一充分条件知g(χ)在χ＝c取得极大值．
4.已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1． 证明：
(1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ；
(2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f'(η)f'(ζ)＝1．
SSS_TEXT_QUSTI 分值: 10 答案:
(1)令F(x)＝f(x)－1＋x，则F(x)在[0．1]上连续，且F(0)＝－1＜0，F(1)＝1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)使得F(∈)＝0，即f(ξ)＝1－ξ．
(2)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得 于是 (1)显然用闭区间上连续函数的介值定理；(2)为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用(1)的结论．
5.(2008年试题，21)求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 10 答案:
令F(x，y，z)=x2+y2+z2+λ1(x2+y2一z)+λ2(x+y+z一4)，分别对各参数求导并令为0，得到如下方程组即有umax=(一2)2+(一2)2+82=72;umin=12+12+22=6[评注]先构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ，u)=f(x，y，z)+λφ(x，y，
z)+uφ(x，y，z)，解出极值点后，直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)
函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式 f'(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。
SSS_TEXT_QUSTI 6.求导数f'(x)； 分值: 10 答案:
为了求f'(x)，将f'(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0两边同乘(x+1)，得 (x+1)f'(x)+(x+1)f(x)=∫0xf(t)dt=0， 两边对x求导，得
f'(x)+(x+1)f\"(x)+f(x)+(x+1)f'(x)－f(x)=0， 即(x+1)f\"(x)+(x+2)f'(x)=0。
上述方程为二阶可降阶微分方程，令u=f'(x)，化为(x+1)u'+(x+2)u=0，即 即ln|u|=－(x+ln(x+1))+C1，所以
再以x=0代入原方程f'(0)+f(0)－有f'(0)=－1，于是C=－1，f'(x)=－SSS_TEXT_QUSTI∫00f(t)dt=f'(0)+f(0)=0，由f(0)=1， 7.证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。
分值: 10 答案:
方法一：用积分证。 f(x)=f(0)+∫0xf'(t)dt=1－∫0xdt。
而0≤∫0xdt≤∫0xe－tdt=－e－t|0x=1－e－x， 两边同乘以(－1)，得： e－x－1≤－∫0xdt≤0，
即e－t≤f(x)=1－∫0xdt≤1。 方法二：用微分学方法证。
因f(0)=1，f'(x)＜0，即f(x)单调递减，所以当x≥0时f(x)≤1。 要证f(x)≥e－x，可转化为证明f(x)－e－x≥0，令φ(x)=f(x)－e－x，则 φ(0)=1－1=0，且φ'(x)=f'(x)+e－x≥f'(x)+=0(x≥0)， 所以，当x≥0时φ(x)≥0，即f(x)≥e－x。
结合两个不等式，推知当x≥0时，e－x≤f(x)≤1。证毕。
8.[2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
SSS_TEXT_QUSTI 分值: 10 答案:
求切线方程的难点在于求f＇(1)．因题中只给出了函数f(x)在一点x=1处可导，这就决定了只能用导数定义求出f＇(1)． 由题设有=0，因=0，由命题1．2．6．1及f(x)在x=0处连续，得到
[f(1+sinx)一3f(1一sinx)－8x]=f(1)一3f(1)=0，即f(1)=0．
因f(x)的周期为5，所以在点(6，f(6))处和点(1，f(1))处曲线的切线具有相同斜率，且
f(1)=f(1+5)=f(6)，f＇(1)=f＇(1+5)=f＇(6)．因而只需求出f＇(1)．根据定义求之，由题设有{[f(1+sinx)一3f(1一sinx)]／(8x)}=1，则
即f＇(1)=f＇(6)=2．又f(1)=f(6)=0，故在点(6，f(6))处的切线方程为 y=2(x一6)， 即 2x—y一12=0． 9.[2013年] 设A=．B=CA=B，并求所有矩阵C． SSS_TEXT_QUSTI，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—
分值: 10 答案:
因所给矩阵方程不易化为式(2．2．4．1)中三种类型的矩阵方程，下用待定元素法求之．为此设出矩阵C中的元素，将方程AC—CA=B；化为一非齐次线性方程解之． 设C=，则AC= 由AC—CA=B得到四元非齐次线性方程组：
①
存在矩阵C使AC—CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵 当a≠一1或b≠0时，因秩(当a=一l且b=0时，秩()≠秩(A)，方程组无解．
)=秩(A)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多
用初等行变换化为阶梯形矩阵：
解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为 α1=[1，a，1，0]T=[1，一1，l，0]T，α2=[1，0，0，1]T， 则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．
而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为 X=c1[1，一1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T，
即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+l，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=一c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为
C=(c1,c2为任意常数)．
10.[2007年] 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B． SSS_TEXT_QUSTI 分值: 10 答案:
由A为实对称矩阵推出B也为实对称矩阵，所给特征向量不完整，需用实对称矩阵的性质求出A的所有特征向量．再利用相似对角化，求出矩阵B． (Ⅰ)令f(x)=x5一4x3+1，则B=f(A)=A5一4A3+E．因A的特征值为λ1=1， λ2=2，λ3=一2，故B=f(A)的三个特征值分别为
μ1=f(λ1)=f(1)=一2，μ2=f(λ2)=f(2)=l，μ3=f(λ3)=f(一2)=1． 由Aα1=λ1α1=α1，得到
A251=A4Aα1=A4α1=…=Aα1=α1，A3α1=A2Aα1=A2α1=AAα1=Aα1=α1， 故 βα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=α1－4α1+α1=一2α1，
即B的属于特征值μ1=f(λ1)=f(1)=一2的一个特征向量为α1(与A的属于特征值λ1=1,的特征向量α1相同)。所以B的属于特征值μ1=一2的全部特征向量为k1α1，其中k1为非零的常数．
一般有矩阵A的属于特征值λi的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λi)的特征向量相同，故为求B的特征向量只需求出A的特征向量．
设A的属于A的特征向量为α2=[x1，x2，x3]T，则因λ1≠λ2，故α2与α1正交．于是有 α1Tα2=[1,一1,1]=x1一x2+x3=0．
由2E—A=即得A的属于特征值λ2=2的特征向量为 α2=[1，1，0]T，α3=[一1,0,1]T．
故B的属于特征值μ2=f(λ2)=f(2)=1的线性无关的特征向量为α2=[1，l，0]T，α3=[－1．0．0]T．
所以B的属于二特征值λ2=l的全部特征向量为k2α2+k3α3其中k2，k3足不全为零的常数．
(II)解 令P=[α1，α2，α3]=．则P-1BP=diag(－2，1，1)．于是
B=Pdiag(一2，1，1)P-1==
1
