25题 几何探究题

26．（2020•山东临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．

（1）求证：AF＝EF；

（2）求MN+NG的最小值；

（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？

【解】（1）如答图1，连接CF．

∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF．

∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，

∴CF＝AF，∴AF＝EF．

1

（2）如答图1，连接AC．

∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，

∴MN＝AF，NG＝CF，即MN+NG＝（AF+CF），

当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，

AF+CF最小，即此时MN+NG最小，

∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，

即MN+NG的最小值为．

（3）不变．理由如下：

如答图2，延长EF，交DC于H．

∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA，

2

∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA．

∵点F在菱形ABCD对角线BD上，

∴根据菱形的对称性可得∠AFD＝∠CFD＝∠AFC．

∵AF＝CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE．

∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF．

∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．

22．（2020•山东济宁）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE＝CG，

AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）．

（1）求证：△AEH≌△AGH．

（2）当AB＝12，BE＝4时．

①求△DGH周长的最小值．

②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与

3

四边形的面积比为1：3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．

∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°．

∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠BCD＝60°＝∠ABC．

∵BE＝CG，∴△ABE≌△ACG（SAS），∴AE＝AG．

∵AF平分∠EAG，∴∠EAF＝∠GAF．

∵AH＝AH，∴△AEH≌△AGH（SAS）．

（2）①如答图1，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE．

∵AB＝12，BE＝4，∴CG＝4，∴CE＝DG＝12﹣4＝8．

由（1）知，△AEH≌△AGH，∴EH＝HG，

4

∴l△DGH＝DH+GH+DG＝DH+HE+8．

要使△AEH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE．

在Rt△DCM中，∠DCM＝180°﹣120°＝60°，CD＝AB＝12，

∴CM＝6，∴DM＝CM＝6，．

在Rt△DME中，EM＝CE+CM＝14，

根据勾股定理得DE＝＝＝4，

∴△DGH周长的最小值为4+8．

②Ⅰ．当OH与线段AE相交时，交点记作点N，如图2，连接CN．

∴点O是AC的中点，∴S△AON＝S△CON＝S△ACN，

∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴＝，

5

∴S△CEN＝S△ACN，∴AN＝EN．

∵点O是AC的中点，∴ON∥CE，∴．

Ⅱ．当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如答图3，连接AQ，FG．

∵点O是AC的中点，∴S△AOQ＝S△COQ＝S△ACQ．

∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴，∴S△AEQ＝S△ACQ，

∴CQ＝EQ＝CE＝（12﹣4）＝4．

∵点O是AC的中点，∴OQ∥AE．

设FQ＝x，则EF＝EQ+FQ＝4+x，CF＝CQ﹣FQ＝4﹣x．

由（1）知，AE＝AG，∵AF是∠EAG的角平分线，∴∠EAF＝∠GAF．

∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴FG＝EF＝4+x．

过点G作GP⊥BC交BC的延长线于点P．

在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，CG＝4，

∴CP＝CG＝2，PG＝CP＝2，

6

∴PF＝CF+CP＝4﹣x+2＝6﹣x．

在Rt△FPG中，根据勾股定理得PF2+PG2＝FG2，

∴（6﹣x）2+（2）2＝（4+x）2，∴x＝，

∴FQ＝，EF＝4+＝．

∵OQ∥AE，∴＝＝，

即的值为或．

24．（2020•山东青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8 cm，BC＝BF＝6 cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿

AC方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1 cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．

解答下列问题：

（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值．

（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若

7

不存在，请说明理由．

【解】（1）∵AB∥CD，∴，∴，∴CM＝．

∵点M在线段CQ的垂直平分线上，∴CM＝MQ，∴1×t＝，∴t＝．

（2）如答图1，过点Q作QN⊥AF于点N．

∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8 cm，BC＝BF＝6 cm，

∴AC＝＝＝10 cm，EF＝＝＝10 cm．

∵CE＝2 cm，CM＝cm，∴EM＝＝＝．

∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴，

∴，∴PH＝t．

同理可得QN＝6﹣t．

8

∵四边形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，

∴6﹣t＝t，∴t＝3．

∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形．

（3）如答图2，过点Q作QN⊥AF于点N．

由（2）可知QN＝6﹣t．

∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴，

∴，∴AH＝t．

∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，

∴S＝×6×（8﹣t+6+8﹣t+）﹣××[6﹣（6﹣t）]﹣×（6﹣t）（8﹣t+6）＝﹣t2+t+．

（4）存在．理由如下：

9

如答图3，连接PF，延长AC交EF于点K．

∵AB＝BE＝8 cm，BC＝BF＝6 cm，AC＝EF＝10 cm，

∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB．

又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°．

∵S△CEM＝EC•CM＝EM•CK，∴CK＝＝．

∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK．

∴t＝10﹣2t+，∴t＝．

∴当t＝时，使点P在∠AFE的平分线上．

10