第二章 测试系统
2-2 解释下列概念：频率特性、频响函数和工作频带 解：频率特性是指测试系统反映出来的输出与输入幅值之比和两者之 间相位差是输入频率的函数的特性。 频响函数是指系统稳态输出量的付立叶变换与输入量的付立叶 变换之比。（参见教材 P11 页） 或者频响函数是指当测试系统的输入为正弦信号时， 将该信号的 输出与输入之比。
工作频带是指测试装置的适用频率范围， 在该频率范围内， 仪器 装置的测试结果均能保证达到其它相关的性能指标。 （或 P25 工 作频率范围）
2-4 某动压力测量时，所采用的压电式压力传感器的灵敏度为
90.0nC/MPa,将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，然后将其 输出送入到一台笔式记录仪，记录仪的灵敏度为
20mm/V，试计算系
统的总灵敏度。又当压力变化 3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移 量是多少？
解：系统总灵敏度为：90.0 @005邀0=9mm/MPa
当压力变化3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量为：
3.5 g=31.5mm
2-5用某一阶装置测量频率为100Hz的正弦信号，要求幅值误差限 制在5%以内，问其时间常数应取多少？如果用具有该时间常数的同 一装置测量频率为50Hz的正弦信号，试问此时的幅值误差和相角差 分别为多少？
A®)亠护髙\"％，
即1 —： 虫5%
寸1 +(能)2
解：(1)根据一阶系统的幅频特性可知：
将川=2二f =200二Hz代入上式，可解得：.乞5.23 10* (2)用该装置测量频率为50Hz的正弦信号时:
A©) _1 =
1
—1—0.013，故幅值差为1.3%
J +g)2
相角差： 中©) = - arcta n(ico) = -9.3 一
2-6 设用一个时间常数为.-0.1s的一阶装置测量输入为
x(t)二sin4t 0.2s in 40t的信号，试求其输出y(t)的表达式。设静态灵敏
度 K=1。
解：根据一阶系统的幅频特性A®)=」K 、
/ +(询)2
相频特性(■)二-arctan( •• ‘)以及静态灵敏度K=1， 将数据代入，可得:
1 1
y(t) - -------- sin(4t - arctan0.4) 0.2 -------- sin(40t - arctan4)
二 0.93sin(4t - 21.8 ) 0.048sin(40t - 75.96 )
2-8两环节的传递函数分别为1.5/(3.5s - 5)和41 2 /(s2 1.4
求串联后所组成装置的灵敏度 解：先将两式化为标准形式，得
匚 _
2
)，试
s 1
1.5/5 (3.5/ 5)s 1
On
s2 2 • ‘ nS …’2
41
s2 1.4 ■ n s ■
2-8两环节的传递函数分别为1.5/(3.5s - 5)和41 2 /(s2 1.4
2
)，试
故系统的总灵敏度：S = KJK2=0.3 41=12.3
2-10对某二阶装置输入一单位阶跃信号后，测得其响应中数值为 1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为 6.28s。若该装置静 态灵敏度K=3，试求该装置的动态特性参数及其频率响应函数。 解：(1)求动态特性参数
因为 K=3，所以 M1=1.5/3=0.5 代入公式，得二
——)2 1
1 0.215 兀 2 n M/
=2
/(Td ,1 - 2) =1.024
由振荡周期Td=6.28s,可得■^ ■d/-..^2 (2)求频率响应函数
H(「)一「；2 二•或
H(j )
K
[1 -(一)] j2 ®n 叫
2
3
；.-? 2 -'
[1-(
------------------
j0.440- 1.024
1.024
) ]
第三章信号及其描述
3-4 对于图3-24所示的周期矩形信号，给定T =20让=10V,f=5kHz , 如使用中心频率可变的选频网络，是否可以从该信号中选出 12kHz、20kHz、50kHz、80kHz 和 100kHz 的频率分量？
解：根据周期信号的频谱特点，其基频为 5kHz，故不会出现12kHz 的频谱；
根据矩形窗函数的频谱图，f=1/ T =50kH及其整数倍频的幅值为 零，故50kHz和100kHz的频率分量无法选出；
故无法从该信号中选出12kHz、50kHz和100kHz的频率分量。
5kHz、
3-5 在全波整流电路中，如输入交流电压为
y(t) = x(t)。
x(t)，则输出电压
(1) 当x(t) =cost时，求输出的付立叶系数。
(2) 输入、输出信号的直流分量分别是多少? 解：分别写出输入与输出信号的表达式为：
x(t)二cost -二：:t 乞■:
江
31
y(t)二 cost
2
t 2
•：】/2丄
2
T /2 ■\\/2
1 ayn [cos(n 1)t_cos(n - 1)t]dt -二 /
1 2
f (t) cos n “tdt
-T /2
cost cosntdt
-二/2
(1)输出付立叶系数为：
，(T)n1
1 4n2 -1
由于x(t), y(t)均为偶函数，故byn =0
a
f (t)dt
:T/2
T/2
x0
兀
costdt :
-41
1
[sin t]] =0
\\/2
a
y0
(2)输入、输出信号的直流分量分别是:
1
T/2 1
二/2 1
—TJ f (t)dt =— Jcostdt =—[sint叫；2
『2 :叮宀J2
3-6周期方波信号如图所示，加在R、L串联电路上，试求其响应电
流的前5次谐波(Um=1V、T=2 n)
解：(1)先将输入信号展开成付立叶级数:
先列输入信号的表达式: -1
比⑴才1
-1
因为该函数为偶函数，故bn =0
0
2
■:\\/2
：
T/2
f(t)dt =0
4/2 T/2
a
2 2
。
an
1 _T
2
兀
'
f (t) cos n「tdt :
二/2
us (t) cos ntdt
兀
us(t) cosntdt
：
-2?./2
2
=—[J cos ntdt — J cosntdt] = — [sin nt
厶
7/2 0
-sin nt
/2^ —
si n^
n兀 2
\\/2
故前五次谐波幅值依次为:
2
■:\\/2
0
：
a1 =
4
, a3 =- JI
4
,a5 = 3 ■:
输入信号为:
—5 ,a7 ― ,ag = — 7-：
9 二
二 =
4 4 4
二
Us(t)
4
JI cost
4 cos3
t 3
4 cos54 4
cos7t cost
- 7 二 9t 二 5 9
(2)求取系统的输出：
对于上述系统，输出电流满足：Ri(t) =Us(t)
dt
因为L=1 , R=1，故作为一阶系统，-1。 、 、了
系统输出为 A( )
1 .
1
， ( ) =—arctan(. ■) =—arcta
寸1+(個)2 Jl+时2
AC：,)=
1 1 ■ '1 1 1 '22 1 .1『 1 1 -42 1 1
26
，,
1
2
_
、2'
1 .10
(r) = -arctan 1 = 45
A( ,)A( ,)
2- 3-
1 •、，
「( 2) = - arctan 3 = 71.6
(乜)=-arctan 5 = 78.7
AC 4)二 1 50
■.
，
(4) - - arctan 7 = 81.9
A( 5)二
1 82
(5) - - arctan 9 二 83.7
系统输出为：
4 4
A( Jcos[t ( J] A( 2)cos[3t ( 2)] A( 3)cos[5t ( J] n 3兀 5兀 右设;门=1, ■，2 = 3, ；：：3 = 5, ■，4 = 7, ■ ‘5 = 9，贝y
4
-△A( 4)cos[7t ( J]-°A( 5)cos[9t ( J] 7 二 9 二
4 1 4 1 4 1
cos[t - arctan1]- --------- cos[t - arctan3] ------------- cos[t - arctan5] -2 3,10 5二、26 4 1 4 1
cos[t - arctan9] cos[t - arctan7]-
7- v 50 9二 i 82
-0.9cos(t - 45 ) - 0.134cos(3t - 71.6 ) - 0.05cos(5t _ 78.7 ) - 0.026 cos(7t _ 81.9 ) -0.016cos(9t - 83.7 )
3-12幅度为A，宽度为0的矩形脉冲信号和三角形信号如图所示, 求其互相关函数。
Rxy
0
T
A
A2 1
)2］。
x(t)y(t )dt
A A(t )dt = A2【：(t
0
A2
解：互相关函数为
・
2
第五章长度及线位移测量
5- 7将4个直径相同的钢球，按图
5-53所示方式置于被测环规孔内，用 仪器测量出H值，间接求出环规的孔
径D。若已知钢球直径 ①d=19.05mm H=19.05mm，它们的测量不确定度 Ud=± 0.5 仏mUH=±1am,求 D。
解：建立以上面钢球和下面其中之一钢球球心为斜边的直角三角形，
其三条边分别为：斜边d、水平直角边（D-d）/2垂直直角边（H-d） 故有
d2 =[（D -d）/2]2 （H -d）2
代入数据，可解得：d=41.63mm
解得：D =2； 2dH - H2 d 由 UD 记）2UH （弓）2ud
cH
cd
卫 _ 2(d - H) ：旧 、2dH -H
卫一2H— 1
；：d ... 2dH - H 2
代入数据，可解得：UD = ± 4.5 am
5-10用分度值为T的自准直仪测量一个500mm长工件的直线度误 差，桥板跨距l=50mm,测量数据如下表。试用最小包容区域法和端 点连线法评定该工件的直线度误差。如果该工件的直线度公差为 0.006,说明该工件的直线度是否合格。 解：
分段数i 各段读数ai（格） 各段高度差6（卩m）
1 0 0 0 2 -6 -1.5 -1.5 3 -2 -0.5 -2 4 8 2 0 5 12 3 3 6 6 1.5 4.5 7 10 2.5 7 8 4 1 8 9 -6 -1.5 6.5 10 0 0 6.5 各采样点坐标值比（卩m） 说明：首先根据公式求各段高度差：=0.005cail
i
i r
再计算各采样点的坐标值：yi = 0.005c, ak
在坐标系中画出对应的图形，可知:
代入数据，得
△ =5 am
(2)端点连线法：imax=8, imin=3 由
也=孑—血血y
max
n
min
n
代入数据，得
△ =6.75 am
评定结果为合格。(由于直线度公差为6am,故用最小包容区域法评
定时，该工件的直线度合格；用端点连线法评定时，该工件的直线度是评定结果出现争议时，以最小包容区域法为准)
不合格。原因
第六章 角度及角位移测量
6- 6若用L=100mm的正弦规测一个=30的角度量块，应垫量块 的尺寸H为多少？若在距离为l=50mm的A、B两点的测微表的读数 值分别为+15^m和+20^m,试计算被测角度值°。
解：（1）由 Sn 二H/L，代入数据，得：H 二Lsi n：°=100si n30=50mm
（2）由公式，有=206（n2 - nj/l =206（20-15）/50 = 20.6\" 故：-：0
： -30 20.6\" =30 0'20.6\"
6-8 如图6-32所示，用自准直仪测量方形角尺，读数如下：
>1=
1.1\"，:2=-2.6\"，:3=2.3\"，:- 4=-2.8\"，求各直角的误差。
3 r 4 2 J 自准直仪 1 1 、 刀 1 /〃 ///解：由圆周封闭特性，可知常角为：P=360°/n-t ai l/n fn \\ 代入数据，得：B = 90「-送ai |/n = 90°十0.5\" li=0 丿
由公式i = ■ ■ ai，得各直角的误差分别为：
=1.6',： 2 二 -2.1\： 3 =2.8\： 4 二-2.3\"
;：
3 丿
6-9 已知一度盘上8个等分刻线的零起分度误差％为:
0\" ,0.4\" ,1.6\" ,2.1\，试列表计算该度盘的圆分度误差、 分度间隔
误差、直径误差，并求出最大分度间隔误差。
解：
度盘刻线 零起分度误差（\"） 圆分度误差（”） 分度间隔误差（\"） 直径误差（”）
0 0 -0.3 0.4 0.15 1 0.4 0.1 1.2 -0.25 2 1.6 1.3 0.5 -0.25 3 2.1 1.8 -1.2 0.35 4 0.9 0.6 -1.2 0.15 5 -0.3 -0.6 -1.2 -0.25 6 -1.5 -1.8 0.7 -0.25 7 -0.8 -1.1 0.8 0.35 最大分度间隔误差为：Fmax十ilmax -Emin
思路：（1）根据零起分度误差：％=色—日。先求日°
s_J
s_!
s_!
由
s=0
Z日
s4
0,i
=送q - s%，并且E氏=0
s=0
s =0
可得： ％ =-送日0,i /s
s -0
(2) 求圆分度误差： (3) 分度间隔误差：
R = Fi 7,0
fi - E 1 - E
或
fi
=寸0 ,1 _
710
(4) 直径误差：\\ =
C S/2
)/2
（5）最大分度间隔误差为:Fmax干i]max -Emin
6-10如图6-22所示，在万能测齿仪上用相对法测量一个齿轮的齿距 误差。被测齿轮的齿数 z=12，测量数据如下表，试计算被测齿轮的 齿距偏差，齿距偏差最大值以及齿距累积误差 解：
齿序 读数值/ ym 齿距偏差/ ym 1 0 -0.5 -0.5 2 +3 2.5 2 3 + 1 0.5 2.5 4 +2 1.5 4 5 +2 1.5 5.5 6 +1 0.5 6 7 + 1 0.5 6.5 8 0 -0.5 6 9 -1 -1.5 4.5 10 -2 -2.5 2 11 -0.5 -1 1 12 -0.5 -1 0 齿距偏差累积值/ ym 齿距偏差最大值为：也fpt =max也fM =2.54m
齿距累积最大值为：.'Fp 二 maxCFpJ -min(「Fpi) =6.5 0.5 = 7」m 思路：（参考教材P130）
（1）先计算作为相对基准的齿距与理论齿距的偏差:
z
- Afpti
由于表中读数值为：-fpti
，且7 .fpti =o
K4
z
i 4
可得：「fpti - Wi)/z
(2) 求各齿的齿距偏差:.%ti—fpti心i
(3) 齿距偏差最大值:Afpt =max|Afpti| =2.5®m
(4) 齿距累积误差(可对应最大分度间隔误差学习)：
首先应获得齿距偏差累积值(类似于圆分度误差)：
i
二 Fpj = ' pti
得齿距累积误差
」Fp二m ax；Fpi) - m i n Fpi)
f
第七章速度、转速和加速度测量
7-
8利用频闪式测速法测量旋转体转速时，在被测旋转体上做一个
500r/min、1000r/min和
三角形标记。当频闪测速仪所测量值为
2000r/min时，观察到旋转体上的标记停在某一位置不动。当频闪测
速仪调到4000r/min时，其显示出两个停在对称180o位置上不动的标 记。求此时旋转体的转数是多少？
答：此时旋转体的转速是 2000r/min
第八章力、力矩和压力的测量
8-
2在电阻应变式测力仪中，其负荷传感器的截面
为圆形柱式体。 测力仪的电压灵敏度为1mV/V，所加负荷值为50kN。应变片的灵敏 系数为2,全桥的桥臂系数为 2.5,所用弹性体的材料屈服极限为 785MPa,弹性模量为2XlO5MPa,在最大负荷为1.44倍的施加负荷时 它的超载系数为22.5%,试求该测力仪负荷传感器的弹性体截面直径 为多少毫米？ 解：由土 ，其中= imV /V，灵敏度k = 2 ,
Ui 4
Ui
可知应变片的总应变量为：；°=2mV/V=2 10’ 弹性体材料的应变为：；实=；0/n=2 10”/2.5 = 8 10* 此时的应力为二二 E :实二(2 105) (8 10*)=160MPa 而许用应力［》；s /3 =785/3 =261.7MPa 超载时的最大应力 二噺=k^ =1.225 160 = 196MPa
由于二max =196MPa讥门，故弹性体满足强度校核要求。 由于最大力 Fmax =1.44F =1.44 50 = 72N
而- max 二 Fmax/A=4Fmax/(”：d2)，代入数据，可得
21.63mm
8-5在一块压电晶体上测得其几何尺寸是长 I为10mm,宽w为 10mm,厚 t 为 2mm。其中 F4.06 X0-11F/m, d33=2.03pC/N。试求在
wl面上施加一个力F为0.001N时，在压电晶体上测量电压输出应是 多少？ 解:
所求电压输出为：
V
Q
付
_
_Ca 一 A/d 一 wl （4.06 10』）（10 10；） （10 10」）一
daaF daaFt （2.03 10 ） 0.001 （2 10 ）
9 3
第九章机械振动的测试
9-
1质量为0.05kg的传感器安装在一个50kg质
量的振动系统上，若 安装传感器前系统的固有频率为 10H z,装上传感器后，试确定新的
系统的固有频率。 解：新的固有频率为:
m mt
50；05
10
皿
5HZ 10HZ
频率范围0~15kHz；
9-2某石英晶体加速度传感器的技术规范如下：
动态范围d3500g，灵敏度5pC/g;固有频率22kHz;质量0.05kg ;分 辨力0.002g;横向灵敏度最大为2%，试求（1）计算振动加速度为 0.21g时的电荷输出；（2）当横向振动加速度幅值为1000g，确定最 大电荷输出量。 解：（1）当振动加速度为0.21g时，电荷输出为
0.21 5=1.05pC
（2）当横向振动加速度幅值为1000g,最大电荷输出量为
1000 5 0.02 =100pC
9-3某磁电式速度传感器技术规范如下：频率范围 20~1000Hz ;测
量范围（振幅）、最大峰峰值为5mm,加速度0.1~30g;对10kQ负载 电阻的灵敏度为（4.88 ±.8） V/（m s-1）；线圈的质量为170g;有阻尼 固有频率为5Hz;直流电阻为600Q;传感器横向灵敏度最大20%。 在有效载荷作用下，测得上述规范所列出的最小频率时的最大振幅， 试计算此时的输出电压；当频率为
100Hz时测得输出电压峰峰值为
0.5V，试确定此时的速度及位移幅值。
解：（1）已知最小频率为20Hz,最大振幅为5mm
此时的输出电压为：
0.005 20 4.88 二 0.488V
（2）已知频率为100Hz时输出电压峰峰值为0.5V,
此时速度为：0.5/4.88 = 0.1m/s
位移幅值为：0.1/100 二 0.001m = 1mm
1 -TT/ 2
sin(n+1)t — ------- sin(n — 1)灯1兀2
n T
