第２８卷第６期 弹箭与制导学报 Ｖｏ１．２８ Ｎｏ．６ ２００８年１２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｒｏｉｅｃｔｉｌｅｓ．Ｒｏｃｋｅｔｓ．Ｍｉｓｓｉｌｅｓ ａｎｄ Ｇｕｉｄａｎｃｅ Ｄｅｃ ２００８ 基于提升小波的光纤陀螺１／ｆｙ类型 分形噪声滤除方法 党淑雯，田蔚风，金志华 （上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海２０００４０） 摘 要：光纤陀螺随机噪声中包含了白噪声和具有长程相关性、自相似性及ｌ／Ｊｒｙ类型谱密度特点的一种非平 稳随机噪声——１／Ｊｒｙ类分形噪声。传统的滤波方法无法有效去除该类噪声，而由于分形信号在小波域所具 有的特性，使小波变换成为研究分形噪声的有力工具。提升小波相较传统小波变换结构更简单，速度更快，计 算更简便，结果更准确，对存储空间要求较低，故采用一种新的基于提升小波的滤波方法对光纤陀螺的输出信 号进行软阈值滤波。进而提高光纤陀螺的精度。对多组实测数据进行仿真，结果验证了这种方法的有效性。 关键词：ｉ／尸类噪声；光纤陀螺；提升小波；软阈值 中图分类号：Ｖ２４１．５ 文献标志码：Ａ Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ １／ｆ Ｆｒａｃｔａｌ Ｎｏｉｓｅ ｆｒｏｍ Ｆｉｂｅｒ Ｏｐｔｉｃ Ｇｙｒｏ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌｉｆｔｉｎｇ Ｗａｖｅｌｅｔ ＤＡＮＧ Ｓｈｕｗｅｎ，ＴＩＡＮ Ｗｅｉｆｅｎｇ，ＪＩＮ Ｚｈｉｈｕａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ，Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａ１ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳＪＴＵ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００４０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒａｎｄｏｍ ｎｏｉｓｅ ｆｏｒ ａ ｆｉｂｅｒ ｏｐｔｉｃ ｇｙｒｏ ｍａｉｎｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｗｈｉｔｅ ｎｏｉｓｅ ａｎｄ １／厂ｆｒａｅｔａｌ ｎｏｉｓｅ，ｗｈｉｃｈ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ ｂｙ ｌｏｎｇ－ｔｅｒｍ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ａｎｄ １／ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｄｅｎｓｉｔｙ ｗｉｔｈ １／ｆｙｐｏｗｅｒ ｌａｗ。Ｉｔ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔＯ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｆｒａｃｔａｌ ｎｏｉｓｅ ｗｉｔｈ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ，ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｆｒａｃｔａｌ ｎｏｉｓｅ Ｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｄｏｍａｉｎ．ｗａｖｅｌｅｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ａ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ｔｏｏｌ ｆｏｒ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｆｒａｅｔａｌ ｎｏｉｓｅ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ．ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｆａｓ— ｔｅｒ ｓｐｅｅｄ ａｎｄ ｈｉｇｈｅｒ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｉｆｔｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅ ｈａｓ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｎｅｅｄｓ ｎｏ ｍｕｃｈ ｓｔｏｒａｇｅ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｉｓ ｖｅｒｙ ｅａｓｙ ｔＯ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｎｅｗ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇ ｆｒａｃｔａｌ ｎｏｉｓｅ ｆｒｏｍ ａ ｆｉｂｅｒ ｏｐｔｉｃ ｇｙｒｏ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．ａｎｄ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｐｒｏｖｅｎ ｂｙ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：１／尸ｆｒａｅｔａｌ ｎｏｉｓｅ；ｆｉｂｅｒ ｏｐｔｉｃ ｇｙｒｏ；ｌｉｆｔｉｎｇ ｗａｖｅｌｅｔ；ｓｏｆｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｌ／尸类型噪声是分形噪声中较重要的一 １ 引言 类，它具有长程相关性、自相似性及ｌ／．尸类型谱 光纤陀螺导航系统中，光纤陀螺（ｆｉｂｅｒ ｏｐｔｉｃ 密度特点的一种非平稳随机噪声。而小波分析 ｇｙｒｏ，ＦＯＧ）的精度是影响系统精度的一个核心 用于信号处理的一个重要方面就是在信号滤波 因素，因此对其输出信号进行滤波处理是提高导 中的应用，其方法主要有：基于模极大值的小波 航系统精度的一个重要手段。 滤波、基于小波变换的自适应滤波、Ｄｏｎｏｈｏ阈值 ＦＯＧ输出信号中的随机噪声具有特殊性， 小波滤波方法。而文中采用一种新的基于提升 除了白噪声之外，还混入了１／厂类分形噪声。 小波的非线性滤波方法对光纤陀螺的输出信号 ＦＯＧ中分形噪声主要是由于光路波动导致偏置 进行滤波，进而提高它的精度。 的不稳定引起的，此外，瑞利后向散射带来的相 位误差、法拉第效应引起的误差、偏振器不理想 ２基于提升格式的小波变换 引起的误差也是产生分形噪声的主要原因［】］。 近几年来由Ｓｗｅｌｄｅｎｓ提出的基于提升格式 ＊收稿日期：２００７—０８—２４ 基金项目：航天科技创新项目基金 作者简介：党淑雯（１９８０一）．女，内蒙古人，博士研究生，研究方向：惯性导航技术和非线性滤波技术。 ・ ５４ ・ 弹箭与制导学报 第２８卷 的小波变换［２－３３，称为第二代小波变换，是一种 新的数字分析和信号处理方法。传统小波的构 造是通过对函数的平移和伸缩并结合Ｆｏｕｒｉｅｒ变 换技术来实现的。提升格式与传统方法的主要 区别就是它完全不依赖于Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，在时空 域完成了对双正交小波滤波器的构造。与传统 的小波变换相比，其计算速度更快，方法更简单， 结果更准确，对存储空间的要求较低，而且，适合 于自适应、非线性、非奇异采样和整数到整数的 变换。 简单地说，一个规范的提升方法由３个步骤 组成：分解（Ｓｐｌｉｔ）、预测（Ｐｒｅｄｉｃｔ）和修正（Ｕｐｄａｔｅ）。 设信号５一（ ），ｋ∈Ｚ，５ ∈Ｒ，将５分解成偶数采 样点５ 一（ ）和奇数采样点５。一（ｓ。抖。），其中 为偶数下标，Ｏ为奇数点下标，这种分解称为懒惰 小波变换（１ａｚｙ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）。由于信号５ 的各采样点之间存在一定的相关性，因此可以通 过偶数采样点估计奇数采样点，即Ｓ 一Ｐ（ｓ ），这 就是提升方法中的预测。如果信号之间的相关性 很大，那么预测效果会很好，用５ 粗略地表示５不 会丢失很多信息，这意味着可以忽略一部分信 息，如５。，以达到简练表达的目的。为了完全重建 信号５，只能忽略包含在５。中的关于５ 的那部分 信息，而保留二者的差值部分ｄ，即ｄ一５。一 Ｐ（ｓ ）。但是，在这样一种新的表示形式中，可能 会丢失信号的某些特征，而这些特征又是人们所 期望的有用信息，如信号的均值。为了恢复这些 特征，在提升方法中又引人了修正操作己，。即用 新得到的ｄ来修正５ ，修正结果用 表示，即 ＝＝： ＋Ｕ（ｄ）。 提升方法的前向变换为： ｒ（ ， 。）一Ｓ（ ） Ｊ 一５。一Ｐ（５ｅ） （１） Ｉ 一 ＋Ｕ（ ） 其中：Ｐ为预 测算子，Ｕ为 修正算子；ｄ、 在小波的多分 辨分析中被称 为小波系数和 图ｌ 提升小波前向变换 尺度系数。提升小波的正向变换如图ｌ所示，逆 向变换只需改变前向变换公式中的加减符号即 可得到，如 图２所示， 这是提升 方法的又 一特点。逆 向变换的 图２ 提升小波逆向变换 公式为： ｒ５ 一 —Ｕ（ｄ） ｌ Ｉ—Ｍ（一ｄ＋Ｐ（ｓ ） ｓ ，ｓ。） （２） ３ 分形噪声 光学陀螺的随机漂移主要表现为一种分形 噪声（１／尸），这种噪声采用传统的方法很难去除 掉，但是分形噪声在小波变换域表现出特殊的性 质：当０＜ｙ＜２Ｒ时，其中ｙ是分形维数，Ｒ是小 波基的消失矩，在每一尺度下，分形噪声的小波 变换系数是平稳的随机序列，且均值为零，方差 满足指数关系，当Ｒ较大时分形噪声的小波变换 系数近白噪声，因此小波分析方法是研究分形噪 声的有力工具。由于分形噪声在小波变换域的特 殊性质，在小波变换域内估计分形噪声参数（分 形维数、白噪声强度、分形噪声强度）比较方便。 分形信号的最大特征是自相似性，即对于每 个尺度参数，１／尸类型分形信号在统计意义下满 足：ｘ（ｔ）ｐ—ａ－－Ｈ．Ｔ．（ａｔ），其中ａ是尺度因子，符号Ｐ 表示统计意义下相等。分形信号的自相似性具体 体现为均值、自相关函数以及功率谱的自相似 性，Ｈ是常数，称为Ｈｕｒｓｔ指数，用来表示自相似 的程度，Ｈ值越大，表明自相似程度越高，且），一 ２Ｈ＋１。 １／ 类分形信号在不同尺度 上小波系数 方差Ｖａｒ（ｄ ）一 ２”，而白噪声在各个尺度上小 波系数方差不变。根据这一特点，可以很容易的 从白噪声背景下估计出１／尸类分形噪声，只需 将接收信号在每个尺度Ｊ上小波系数乘以 ２，） ，得到估计小波系数 ，再作反演小波 变换就可以实现。 一２ ９ 系数 参 也叫平滑因子，当信号占优 时，平滑因子近似为１，对系数 几乎不起平滑 作用；而当噪声占优时，平滑因子非常小，系数ａ； 第６期 党淑雯等：基于提升小波的光纤陀螺１／ｆｆ类型分形噪声滤除方法 。５５‘ 被大大平滑，即起到抑制噪声的作用。 在这里，只选用了 一； 上－Ｊ组如图３所示的 ｏＵ．Ｕ０ Ｉ１．Ｊ】‘Ｉｌ。＾ｌ 山 Ｌ．．工ｕ山 １Ｔ『 ４提升小波去噪 设原信号为－厂（￡），光纤陀螺输出信号为： Ｙ（￡）一厂（ｆ）＋ｚ（ ）＋ （￡） （３） ｚ轴零偏数据，对 处理后的数据应用占０ｌ０： 提升小波软阈值方 ： 法滤除随机噪声， ｒ— ’ ’，＿’呷 ’丌 其中：ｚ（￡）为分形噪声， （ ）为白噪声。 令噪声信号为：２（￡）一ｚ（￡）＋删（ ），经过小 小波基函数选为图３ 含噪声的原ＦＯＧ信号 波变换得分形噪声的小波变换域模型： ：＝ｌ— ｒｎ＋叫 （４） ｖａｒＥｚ：］：＝＝ 一 ＋ 乞 （５） 卢一２ （６） 其中：ｍ， ∈Ｒ，ｍ为小波变换尺度， 为样本点， ｚ 为分形噪声的小波变换，训 ｍ为白噪声的小波 变换，７为分形参数， 为分形噪声强度， 为每 一尺度下的白噪声强度。 基于提升小波变换的信号去噪方法也分为三 步：首先对信号进行提升小波变换，每一次变换将 信号分解为新的近似尺度系数 和小波系数 ； 然后对变换后的小波系数进行阈值收缩；最后对 收缩后的小波系数和尺度系数进行合成，形成去 噪后的信号。在这里，采用Ｄｏｎｏｈｏ和 Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ［卜 提出的小波软阈值法，其公式如下： ． ｆｓｉｇｎ（ｄ７）（１ Ｉ—ｒ）， ｉｆ Ｉ ？Ｉ＞ｒ ‘ ｌ ０， ｉｆ Ｉ Ｉ≤ｒ （７） 其中： 为第 层分解的小波系数；ｒ是阈值；Ｎ 为小波系数的样本个数。 实际应用中噪声的强度 是未知的，选择阈 值进行小波软阈值滤波时，需要对 进行估计。 Ｄｏｎｏｈｏ和Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ 给出了噪声强度 的估 计方法，即 一ＭＡＤ／０．６７４５，ＭＡＤ表示小波最 大尺度分解系数的标准差。小波软阈值滤波方法 中阈值可以选为ｒ一 ・ 。 ５实验及结果分析 采用了ＫＶＨ Ｅ．Ｃｏｒｅ ２０００型光纤陀螺，在 常温下对其静态零偏进行测试，采样频率 ｌＯＯＨｚ，采样时间１ｍｉｎ，采用标定后因数处理采 集数据得到多组实测数据。所谓标定就是通过比 较陀螺的输出值与已知的基准信息确定误差系 数，使输出在其取值范围内符合基准信息的过程。 ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ４，分解 ｏ．ｕ，ｖ尺度为５，通过仿真￣］２３４ ５ ６＇ ０＿ｏ２ｌ厂————一可得到滤波后的信∈０ｌ０ ８匕＝＝＝＝ ＝＝ ］ 号如图４所示。 毫０．０２ｌ厂——— 在图４中，显示０．０ 皆—广 —ｆ — 用提升小波方法滤 了用传统小波以及 ８．ｏ０…，２ 广——— ＝２０ ３ｐ＝。＝＝． ｎ４ ｌ ：ｌ 除噪声的实验结果， 图４ 传统小波与提升小 可以很直观地看出， 波滤波后的信号 用基于提升格式的 小波方法滤除光纤陀螺噪声可取得更为显著的 效果。 ６ 结论 由于分形噪声所具有的长程相关性、自相似 性及１／尸类型谱密度等特性，以及分形信号在 小波域所具有的特性，采用一种新的基于提升小 波的滤波方法对光纤陀螺的输出信号进行软阈 值滤波，进而提高光纤陀螺的精度，对实测数据 进行了仿真，结果验证了这种方法简单有效，用 于光纤陀螺中分形噪声的滤波是可行的。 参考文献： ［１］Ｂｉｅｌａｓ Ｂ Ｍ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｆｉ— ｈｅｒ ｇｙｒｏｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ＳＰＩＥ．１９９４。１１ （２２９２）：２４０—２５３． ［２］Ｓｗｅｌｄｅｎｓ Ｗ．Ｔｈｅ ｌｉｆｔｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅ：Ａ ｃｕｓｔｏｍ—ｄｅｓｉｇｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｗａｖｅｌｅｔｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｃｏｍｐｕｔ Ｈａｒｍｏｎ Ａｎａ１．１９９６，３（２）：１８６—２００． ［３］ Ｓｗｅｌｄｅｎｓ Ｗ．Ｔｈｅ ｌｉｆｔｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅ：Ａ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｗａｖｅ１ｅｔｓ［Ｃ］／／ＳＩＡＭ Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａ１．１９９７，２９（２）：５ｌｌ一５４６． －１４］Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ Ｌ Ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｂｙ ｓｏｆｔ－ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ．１９９５．４１（３）：６１３—６２７． ［５］Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ Ｌ，Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ Ｉ Ｍ Ｉｄｅａｌ ｓｐａｔｉａｌ ａｄａｐｔｉｏｎ ｖｉａ ｗａｖｅｌｅｔ ｓｈｒｉｎｋａｇｅ［Ｍ］．Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ，１９９４：４２５－－４５５．
