山东省淄博市2011届高三第二次模拟考试(数学文)

数学（文科）试题 2011.04、25

注意事项：

1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。

2.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分；每小题只有一个正确答案，请将选出的答案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上。

参考公式: 2

n(ad－bc)2

随机变量K＝，

(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d)

其中：n＝a＋b＋c＋d

参考表格： P(Kk) k 2≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

用最小二乘法求回归直线的方程：

ˆybxa;bxi1nniyinxy2ˆx ˆyb,ai1xi2nx第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

2

1.集合M＝{x|x＞9}，N＝{x|－1＜x＜4}，则M∩N＝( )

频率 A.{x|－3＜x＜－1} B.{x|3＜x＜4}

组距C.{x|－1＜x＜3} D. {x|－3＜x＜4} z＋2

2.已知z是纯虚数，是实数，则z＝( )

1－i

A.2i B.i C.－i D. －2i 3.图1是根据某班学生在一次数学考试 中的成绩画出的频率分布直方图，若80

分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为( ) A.25%

B.30%

C.35% D.40%

4.某器物的三视图如图2所示，根据图中数据可知 该器物的表面积为( )

A.4 B.5 C.8 D.9

5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上， 一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )

A.5 B.

5

C.3 D.2 2



6.已知ABC中，a＝3,b＝1,C＝30,则BC.CA＝( )

33333333

B.－ C.－ D. 4242

x－y＋2≤0y

7. 设变量x,y满足约束条件x＋y－7≤0，则的最大值为( )

x

x≥1

A.

9

A. B.3

5

C.4

D.6

8.设b,c表示两条直线，,表示两个平面，下列命题中是真命题的是( )

bbc⊥⊥ A.b∥c B.c∥ C.⊥ D.c⊥

c∥b∥cc∥c∥11xy

9.设x,yR,a＞1,b＞1，若a＝b＝3,a＋b＝23,则＋的最大值为( )

xy

31

A.2 B. C.1 D. 22

23

10.已知cos(＋)＋sin＝，则sin(＋)的值是( )

653

232344

A.－ B. C.－ D. 5555

11.直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图像的交点分别为A,B，与函数y＝lgx图像的交点分别为C、D，则直线AB与CD( )

A.相交，且交点在第1象限 B.相交，且交点在第2象限 C.相交，且交点在第4象限 D.相交，且交点在坐标原点

12.奇函数f(x)满足对任意xR都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且，则f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

注意事项：

1.将第Ⅱ卷答案用0.5mm黑色签字笔打在答题纸的相应位置上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请将答案直接写在题中横线上. 13. 命题p: xR，x＋2x＋a≤0.若命题p是假命题， 则a的取值范围是 .(用区间表示)

14.右面是计算1＋2＋3＋„＋10的程序框图，图中的①、 ②分别是 和_____________.

15.方程为x＋y＋4x＝x－y＋1的曲线上任意两点之间距离的最大值为 . 16.关于函数f(x)＝sin2x－cos2x有下列命题： ①函数y＝f(x)的周期为；



②直线x＝是y＝f(x)的一条对称轴；

4

③点(,0)是y＝f(x)的图象的一个对称中心；

8



④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝2sin2x的图象.

8

其中真命题的序号是 .(把你认为真命题的序号都写上)

三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

*

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(nN)，等差数列{bn}中，

*

bn＞0(nN)且b1＋b2＋b3＝15,又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 求数列{an}、{bn}的通项公式；

2

23

3

3

3

2

18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点， 点E在棱CD上移动.

⑴ 当点E为CD的中点时，试判断直线EF 与平面PAC的关系，并说明理由； ⑵ 求证：PE⊥AF.

19.(本小题满分12分)

PF

ADEBC设a＝(2cosx,1),b＝(cosx,3sin2x),f(x)＝a·b，xR.



⑵ 若f(x)＝0且x[－,],求x的值.

33



⑵ 若函数g(x)＝cos(x－)＋k(＞0, kR)与f(x)的最小正周期相同，且g(x)的图象过

3

点(，2)，求函数g(x)的值域及单调递增区间.

6

20.(本小题满分12分)

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，

得到如下的列联表. 甲班 乙班 合计

优秀 10 非优秀 30 总计 105 2

已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为 7

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” . (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

21.(本小题满分12分)

m

已知函数f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.

x

(Ⅰ)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)当m＝1时，证明方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；

(Ⅲ)若x(1,e]时，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求实数m的取值范围.

22.(本题满分14分)

1x2y2已知椭圆C:221经过点(0，3)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交

2ab椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为点D、K、E. (1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l交y轴于点M，且MAAF,MBBF，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

(3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

试题答案及评分标准

B D B D A B D C C B D A (1,＋∞)；s＝s＋i，i＝i＋1；14；⑴⑶⑷ 17.解：⑴ 当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋1得an＝2Sn－1＋1，两式相减得 an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an,整理得

an+1

＝3, „„„„„„„„„3分 an

3

a2

a2＝2S1＋1＝3, ∴＝3满足上式。 „„„„„„„„„„„„4分

a1∴{an}是以1为首项，，3为公比的等比数列。

n－1

∴an＝3 „„„„„„„„„„„6分⑵ 由条件知：b2＝5,故(1＋b1)(9＋b3)＝ „„„„„„„„„„„8分 即(6－d)(14＋d)＝，解得d＝2或d＝－10(舍),故b1＝3 „„„„„„„„10分 ∴bn＝b1＋(n－1)d＝2n＋1 „„„„„„„„„„„12分 其他正确做法相应给分。

18.解：(Ⅰ)当点E为CD的中点时，EF//平面PAC. „„„„„2分 理由如下：

点E,F分别为CD，PD的中点，EF//PC. „„„„3分

PC平面PAC，EF平面PAC，EF//平面PAC. „„„4分

(Ⅱ)PA平面ABCD，CD平面ABCD , CDPA. 又ABCD是矩形，CDAD,PAADA，CD平面PAD.

APFAF平面PAD , AFCD.„„„„6分

BDECPAAD，点F是PD的中点, AFPD. „„„„8分

又CDPDD, AF平面PDC. „„„„„„10分

PE平面PDC， PEAF. „„„„„„12分

2

19．解：(Ⅰ)f(x)＝a·b＝2cosx＋3sin2x π＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin(2x＋)＋1 „„„„„„„„3分

6ππ1f(x)＝0，2sin(2x＋)＋1＝0, sin(2x＋)＝－, „„„„„„„4分

662ππππ5又x[－,] －2xπ „„„„„„„5分

33266πππ2x x＝－ „„„„„„„„6分

666π(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋1,

6因为g(x)与f(x)的最小正周期相同＝2， „„„„„„„„„„„7分 又g(x)的图象过点(

πππ，2),cos(2×－)＋k＝2,1＋k＝2,  k＝1, „„„8分 663π g(x)＝cos(2x－)＋1,其值域为[0，2]， „„„„„„„„„9分

3π2kπ－π2x－2kπ,kZ, „„„„„„„„10分

3ππ kπ－xkπ＋, kZ, „„„„„„„„„„11分

36ππ,kπ＋], kZ. „„„„„„„„„„„„12分 36所以函数的单调增区间为[kπ－20.解：(Ⅰ)表格如下

优秀 非优秀 总计

甲班 10 45 55

乙班 20 30 50

„„„3分

合计 30 75 105 (Ⅱ)解：根据列联表中的数据，得到

105(10302045)26.1093.841 k„„„„„5分

55503075

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。 „„„„7分 (Ⅲ)解：设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，所有的基本事件有(1，1)、(1，2)、(1，3)、„、(1，6)，(2，1)、(2，2)、(2，3)、„、(2，6)、„、(6，1)、(6，2)、(6，3)、„、(6，6)共36个。 „„„„„„9分 事件A包含的基本事件有：

(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)(4，6)、(5，5)、(6、4)，共8个 „„11分

P(A)82„„„„„„12分 369

22

21.解：⑴ m＝2时，f(x)＝2x－,f(x)＝2＋2,f(1)＝4, „„„„„„„„„„1分

xx切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y＝4x－4 „„„„„„„„„„„„2分 112(x－1)

⑵ m＝1时，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x－－2lnx,则h(x)＝1＋2－＝≥0 2

xxxx

∴h(x)在(0,＋∞)上是增函数。 „„„„„„„„„„„„4分 1112

又h(e).h()＝－(－e＋2)＜0, ∴h(x)在(,e)上有且只有一个零点 „„„„„„„5分

eee∴方程f(x)g(x)有且仅有一个实数根； „„„„„„„„„6分 (或说明h(1)＝0也可以)

m22

⑶ 由题意知，mx－－2lnx＜2恒成立，即m(x－1)＜2x＋2xlnx恒成立，∵x－1＞0

x2x＋2xlnx

则当x(1,e]时，m＜恒成立, „„„„„„„„7分 2

x－12x＋2xlnx－2(x＋1).lnx－4

令G(x)＝，当x(1,e]时，G(x)＝＜0, „„„„„„„„9分 222

x－1(x－1)则G(x)在x(1,e]时递减，∴G(x)在x(1,e]时的最小值为G(e)＝

4e

,„„„„„11分 e－1

2

2

2

4e

则m的取值范围是(－∞,2] „„„„„„12分

e－122.解：(Ⅰ)易知b3,e22c1,因为a2b2c2 a2x2y2a4,c1,∴椭圆C的方程1 „„„„„„„„„„4分

43(2)易知直线l的斜率存在，设直线l方程yk(x1),且l与y轴交于M(0,k),设直线l

交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)

yk(x1)由x2y2得(34k2)x28k2x4k2120

1348k24k212 „„„„„„„„„„„„„„6分 x1x2,x1x234k234k2

又由MA＝λAF,∴(x1,y1＋k)＝λ(1－x1,－y1) xx1，同理2 „„„„„„„„„„„„„„„„8分

1x21x1x1xx1x22x1x282 1x11x21(x1x2)x1x238所以当直线l的倾斜角变化时，的值为定值－； „„„„„„„„„„10分

3(3)当直线l斜率不存在时，直线lX轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N(

5，0)， „„„„„„„11分 25，0) 2猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N(证明：由(2)知A(x1,y1),B(x2,y2),D(4,y1),E(4,y2) 当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N(lAE∶yy2y2y1(x4) 4x15，0)， 2当x＝＝

yy12(4x1)y23(y2y1)35()时，yy22 4x122(4x1)22(4x1)k(x21)3k(x2x1)2(4x1)k(x21)3k(x2x1)

2(4x1)2(4x1)8k2kx2x15k(x2x1)50点N(，0)，在直线lAE上, „„„„„„„12分

2(4x1)2同理可证，点N(

5，0)也在直线lBD上； „„„„„„„13分 25，0) „„„„„„„„„14分 2∴当m变化时，AE与BD相交于定点(其他正确做法相应给分。

答题纸上需要的图： 18．

P

F

A

D

E

BC

20．⑴

甲班 乙班 合计

优秀 10 非优秀 30 总计 105