西南交大线性代数习题参考问题详解
第一章 行列式
§1 行列式的概念
1． 填空
(1) 排列27531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。
(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的
n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构
成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。
(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含
324314516625a a a a a a 的项的符号为 。
2． 用行列式的定义计算下列行列式的值
(1) 11
222332
33
000
a a a a a
解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。
(2) 12,121,21,11,12
,100000
0n n n n n n n n n n n n nn
a a a a a a a a a a ------L L M
M M M L L
解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排
列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2
多，则此行列式为0，为什么？
5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？
（提示：利用3题的结果）
6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式
（1）2
011
411
8
3
---
（2）2
2
2
1
11a
b c a b c
§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062
-
(2)
100 110 011 001
a
b
c
d -
-
-
(3)
ab ac ae bd cd de bf cf ef -
-
-
2． 证明下列恒等式
(1) ()33ax by ay bz
az bx x y z D ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y
+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）
(2)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
1231230123123a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++
(3) 11112
2
1
100001
00
0001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+L L M M
M M M L L L
(提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)
