任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式(总2页)

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一、任意三角形外接圆半径

设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R，（如右图所示） 则cos()（余弦定理）

abccoscossinsin 2ab222c R b α bb而cos2，sinR2Raa cos2，sinR2Rb2R4 R2β a a2R4 R22b2a22RRa2b2c2ba44 即有：2ab2R2RRR2222a2b2c2ab(4Rb)(4Ra)即有： 2ab2Ra2b2c2)(4R2b2)(4R2a2) 所以：ab2R(ab2即有：

a2b2c22(ab)4R(abc)4R()16R44(a2b2)R2a2b2

ab222224a2b2c22)]，即：a2b2c2R2[4a2b2(a2b2c2)2] 所以：cR[4(ab22所以：Rabc(abc)(abc)(acb)(bca)

而三角形面积： 4S(abc)(abc)(acb)(bca) （海式） 所以，有：Rabc 4Sab2c2a22R，而cosA※ 另一求法，可用正弦定理，即： sinA2bc所以：

2

Raa2sinA21(cosA)2ab2c2a2221()2bcabc4b2c2(b2c2a2)2y c R y b x r α x α

二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r，（如右图所示） 因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有

xzaabcxybx，解得 2yzcz z a 1(cos2)2sin2显然：rxtan，而tan 1cos21cos2a2b2c2而由余弦定理有：cos2

2aba2b2c221()2ab所以：tana2b2c212ab4(ab)2(a2b2c2)2

(abc)(abc)222224(ab)2(a2b2c2)2abc4(ab)(abc)即有:r 2(abc)(abc)2(abc)即：r(abc)(abc)(acb)(bca)4S2S 2(abc)2(abc)abc3