高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）
一、学习任务
掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．
二、知识清单
数字组成模型染色模型
条件排列模型 计数杂题
分组分配模型
三、知识讲解
1.数字组成模型
描述：与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．
常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．例题：由 0、1、2、3、4 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？
414解：首位不能是 0，有 C14 种，后四位数有 A4 种排列，所以这五个数可以组成 C4A4=96
个无重复的五位数．
用数字 2、3 组成四位数，且数字 2、3 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：14
因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 24−2=14 个．
从 0，2 中选一个数字，从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6解：B
当选 0 时，先从 1、3、5 中选 2 个数字有 C23 种方法，然后从选中的 2 个数字中选 1 个
21排在末位有 C12 种方法，剩余 1 个数字排在首位，共有 C3C2=6 种方法；
当选 2 时，先从 1、3、5 中选 2 个数字有 C23 种方法，然后从选中的 2 个数字中选 1 个
212排在末位有 C12 种方法，其余 2 个数字全排列，共有 C3C2A2=12 种方法．
依分类加法计数原理知共有 6+12=18 个奇数．
用 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这 6 个数字，可以组成______个大于 3000 且小于 5421 的
不重复的四位数．解：175分四类：
①千位数字为 3，4 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 2A35=120（个）；
2
②千位数字为 5 ，百位数字为 0，1，2，3 之一时，共有 A14A4=48（个）；
1
③千位数字是 5 ，百位数字是 4 ，十位数字是 0，1 之一时，共有 A12A3=6（个）；④最后还有 5420 也满足条件．
所以，所求四位数共有 120+48+6+1=175（个）．
2.条件排列模型
描述：计算满足某些条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某
人只能或不能排在某些位置的问题等等．例题：3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．
6
解：（1）先考虑甲的位置，有 A13 种方法，再考虑其余 6 人的位置，有 A6 种方法．故有
6A13A6=2160 种方法；
（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A33 种排法，与 4 名女生
5
组成 5 个元素全排列，故有 A33A5=720 种不同的排法；
（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 5 名同学全排列，有 A55 种排法，然后将甲、乙
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分别插到 6 个空中，有 A26 种排法，故有 A5A6=3600 种不同的排法．有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：144
甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 A44 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一
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个，有 A13 种方法；最后甲、乙两人的排法有 A2 种方法．综上，总共有 A4A3A2=144 种排法．
6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
解：D
“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 4 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 A34=24 种不同坐法．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？
5
解：法一：6 门课程总的排法是 A66 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 A5 种排法，数学排在最后一节有 A55 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一
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节，这种情况有 A44 种排法，因此符合条件的排法应是：A6−2A5+A4=504 种．
4
法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 A24⋅A4 种排法；② 数学
1
⋅
4
414排在第一节但体育不排在最后一节，有 A4⋅A4 种排法；③ 体育排在最后一节但数学不排在第44一节，有 A14⋅A4 种排法；④ 数学排在第一节，体育排在最后一节，有 A4 种排法．这四类排414144法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：A24⋅A4+A4⋅A4+A4⋅A4+A4=504 种．4⋅3.分组分配模型描述：将某些相同或不同的元素分配给一些人，满足某些特定的条件的一类问题。相同元素的问题比如名额分配问题，不同元素的分组问题中，典型的有平均分组问题，通常分组问题是无序的，所以在遇到平均分组时需要考虑去除顺序；分配问题通常是与顺序相关的，所以可以考虑直接分配，或者先分组再分配．例题：将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______种．（用数字作答）解：36分两步完成：第一步，将 4 名大学生按 2，1 ，1 分成三组，其分法有 C24 种；第二步，将分好的三组分配23到 3 个乡镇，有 A33 种．所以，满足条件的分配方案有 C4A3=36 种．按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；（3）平均分成三份，每份 2 本；（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；（5）分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；（6）甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；解：（1）无序不均匀分组问题．2先选 1 本有 C16 种选法，再从余下的 5 本中选 2 本有 C5 种选法，最后余下 3 本全选有 123C33 种选法．故共有 C6C5C3=60（种）．（2）有序不均匀分组问题．由甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）问基础上，还应考虑再分配，共有 233C16C5C3A3=360（种）（3）无序均匀分组问题．22先分三组，则应是 C26C4C2 种方法，但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为 22(AB,CD,EF)，则 C26C4C2 种分法中还有 (AB,EF,CD)、(CD,AB,EF)、3(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB,CD)，共 A33 种情况，而这 A3 种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分组方法有 （4）有序均匀分组问题．在第（3）问基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 （5）无序部分均匀分组问题．共有 11C46C2C122C26C4C222C26C4C2A33=15 种．A33222⋅A33=C6C4C2=90（种）．（6）有序部分均匀分组问题．A22=15（种）．在第（5）问基础上再分配给 3 人，共有分配方式 11C46C2C1A22⋅A33=90（种） ．将组成篮球队的 10 个名额分配给 7 所学校，每校至少 1 名，问名额的分配方式共有多少种？解：问题等价于将排成一行的 10 个相同元素分成 7 份的方法数，相当于在 10 个相同元素的 9 个间隔（除去两端）中插入 6 块隔板隔成 7 份，共有 C69=84 种．故名额分配方式有 84 种．4.染色模型描述：将某个几何图形（平面的或立体的）或平面区域染上某些特定的颜色，使得图形满足一定的条件（如相邻区域颜色不同等等）．这是排列组合中一种比较复杂的问题，需要结合不同的图形特点进行讨论，通常可以先处理信息较多的点或图形，逐个点按顺序考虑，在需要讨论的时候进行分类等等．也可以整体上讨论哪些内容会互相干扰，从整体上进行分类讨论．例题：如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）解：72第一步染 1 区，有 4 种方法；第二步染 2 区，有 3 种方法；第三步染 3 区有 2 种方法；第四步染 4 区，也有 2 种方法；第五步染 5 区，但第五区染色方法与第四步染色方法有关，故将第四步分成 2 类：当 4 区与 2 区同色时，第四步有 1 种方法，此时第五步有 2 种方法；当 4 区与 2 区不同色时，第四步有1 种，此时第五步是 1 种方法．根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理得，不同的染色方法共有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种．如图，一环形花坛分成 A、B、C、D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的排法共有（ ）A．96种 B．84 C．60 D．48解：若仅种 2 种花，则 A、C 相同且 B、D 相同，共有 A24=12 种不同的选种方法；若种 3 种花，则 A、C 相同或 B、D 相同，共有 2A34=48 种不同的选种方法；若种 4 种花，4则 A、B、C、D 各不相同，共有 A4=24 种不同的选种方法．由分类加法计数原理可得共有12+48+24=84 种不同的选种方法．5.计数杂题描述：不是以上类型的计数问题，类型不是很成体系，需要就题目本身的条件进行分析．例题：某城市一条道路上有 12 盏路灯，为了节约用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灭方法共有（ ）333A．C38 种 B．A8 种 C．C9 种 D．A9 种解：A“灭灯”不相邻，应采取“插空法”．将 3 盏熄灭的灯插到 8（两端不能熄灭）个空里，有 C38种．袋中装有编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的 4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编号互不相同的取法有（ ）A． 24 种 B． 28 种 C． 32 种 D． 36 种解：从四个编号中任取三个编号，再对选出的每个编号的两个球中任选一个球即可，故共有取3法： C34⋅2=32 （种）．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学kuailexue.com）1. 将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 (A．12 种答案：A解析：)C．9 种D．8 种B．10 种据题意先将 4 名学生分成 2 个小组，共有 A222C然后将 2 名教师分到两个小组中，共有 4A22A22C24 种分组方法，=C24 种分组方法，2将两组安排到甲、乙两地参加社会实践活动，故共有 C24A2=12 种安排方案．2. 6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 (A．144答案：D解析：)D．24B．120C．723 人全排，有 A33=6 种方法，形成 4 个空，在前 3 个或后 3 个或中间两个空中插入椅子，有 4 种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为 6×4=24 种．个．3. 由 0,1,2,3 这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有答案：104. 将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种．（以数字作答）答案：解析：第一块田有 3 种种植方法，第二、三、四、五块田均有 2 种种植方法，因此，共有 423×2×2×2×2=48 种种植方法．但其中有 2×3=6 种是只种两种作物的种植方法，故所求的种植方法有 48−6=42 种．
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