七年级(下)数学竞赛试题精选,代数式的化简求值问题

第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接

1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式2mx2x25x87x23y5x的值与x无关，

求m22m25m4m的值.

分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零

因为2mx2x25x87x23y5x2m8x23y8 所以 m=4

将m=4代人，m22m25m4mm24m4161644

利用“整体思想”求代数式的值

例2．x=-2时，代数式ax5bx3cx6的值为8，求当x=2时，代数式

ax5bx3cx6的值。

分析： 因为ax5bx3cx68

当x=-2时，25a23b2c68 得到25a23b2c68， 所以25a23b2c8614

当x=2时，ax5bx3cx6=25a23b2c6(14)620 例3．当代数式x23x5的值为7时,求代数式3x29x2的值.

- 1 - 中

分析：观察两个代数式的系数

由x23x57 得x23x2 ，利用方程同解原理，得3x29x6 整体代人，3x29x24

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。 例4． 已知a2a10，求a32a22007的值.

分析：解法一（整体代人）：由a2a10 得 a3a2a0

a3a2a22007 2aa2007

12007解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功

能。 2008由a2a10，得a21a， 所以： a32a22007

a2a2a22007(1a)a2a22007aa22a22007aa22007120072008所以： a32a22007解法三（降次、消元）：a2a1（消元、、减项）

a32a22007a3a2a22007a(a2a)a22007

2aa2007120072008

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）

- 2 -

中

第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050 第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250 第n年：A公司 10000+200(n-1）；

B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)

由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。

abcabacbc例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x， abcabacbc则 ax3bx2cx1的值是_______ 。

解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b<0，c<0时，x=0。

abcabacbc另：观察代数式 ，交换a、b、c的位置，我们abcabacbc发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线

OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，„．

AB（1）“17”在射线 ____上，

8 “2008”在射线___________上． 7 2 1 （2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 9 3 C代数式表示为__________________________． 4 O6 12 10 5 11 分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，„

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， ED 归纳得到，这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。

因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上

例8． 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23

- 3 -

中

F第四行 31 29 27 25

  

根据上面规律，2007应在

A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1

所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，

所以2007应该在第251行第5列

例9．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当

n为偶数时，结果为（其中k进行．例如，取n＝26，则：

26

F②

第一次

n2knk是使2为奇数的正整数），并且运算重复

13

F①

第二次

44

F②

第三次

11 „

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为（其中k是使 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169， 169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1， 1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，

我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。 再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，

所以，结果是8。 三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

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