课题：§13.4 课题学习---最短路径问题
参赛教案基本信息 作者姓名 出生年月 邮政编码 联系电话 所用教科书 《义务教育课程标准实验教科书数学》人教版八年级上册 性别 工作单位 通讯地址 电子邮箱 书名 所教册次、 所教年级 课题 八年级 八年级上册 第13章《轴对称》 单元 §13.4 课题学习---最短路径问题 一、教学内容分析 本节选自《义务教育课程标准实验教科书初中数学》新人教版八年级上册第13章《轴对称》第85-87页13.4《课题学习 最短路径问题》，总计１课时. 本节课是学生学完轴对称图形和图形的对称轴之后的最后一节内容，教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题，在解决这两个问题的过程中渗透了“化归”的思想. 二、学生情况分析 从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展.但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以，在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力，始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性. 从认知情况来说，学生在七年级已经研究过一些“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等最短路径问题以及有关平移的基本知识，在本章的前面学生学习了轴对称图形，也初步掌握了作点关于某直线的对称点，所有这些内容为顺利完成本节课的教学任务打下了基础． 从知识能力来说，通过初中一年多的学习，学生已经有了图形变换以及模型构建的意识，获得了初步的利用转化思维转化这一数学活动的经验，具备了一定的主动参与、合作交流的意识和初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力. 三、教学策略选择与设计 落实新课程倡导的教育概念：以学生发展为本，以解决问题为中心的“探究式学习”。教学过程1 1 通过史料创设问题情境，给学生提供了广阔的思考空间．引导学生利用几何画板在动手（作图）操作中观察分析，调整自己的思路、想法，让学生自主探究及验证，探寻出解决问题的思维路径．以数学知识为载体，以挖掘学生的潜在学习水平、实践能力的教学原则为指导，在几何画板的支持下，注重学生的亲身体验，帮助学生探索、发现、验证等，然后在拓展活动中迁移使用所获得的基本经验，力求达到深入领会其应用价值的目的． 四、教学资源与工具设计 教师资源：PPT课件、几何画板、黑板 学生资源：笔、作图工具等 知识点 （1） 媒体类型 课件 PPT文档 媒体内容要点 教学作用 回顾知识点，为后面应用做好铺垫. 温故中实现引新，为展开探究提供知识、方法及经验的支持 1.丰富课堂内容，提高课堂实效，及时总结解题方法，渗透数学思想，突破教学难点； 2.便捷呈现学生作业，发现学生思维的闪光点. 梳理本节所学内容，突出以学生为主体，注重提高学生的概括能力. 使用方式 占用时间 知识回顾 演示+讲解 3分钟 （2） 课件 PPT文档 情景导入 演示+讲解 8分钟 (3) PPT文档 几何画板 知识探究+综合运用 演示+学生讲解 25分钟 (4) 课件 PPT文档 课堂小结 演示+学生讲解 4分钟 （5） 课件 PPT文档 课后巩固练习 布置作业内容,让不同层次的学生都得到发展. 五、教学目标 知识与技能： 1． 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短． 2． 进一步熟悉轴对称作图以及平移变换作图等基本技能． 数学思考： 让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法． 问题解决： 在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决此类问题的基本套路及经验，发展空间观念，激发内在兴趣． 情感态度与价值观： 1.学会分享，体验分享的快乐. 2.在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系. 六、教学重点和难点 1 2
重点：最短路径问题的思路获取和问题解决. 难点：选择合理的方法解决最短路径问题. 七、教学过程 过程 回顾作直线外一点A关于直请同学们在练习纸上画出点A关于直线l的对称点 Al教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 学生作图（1人上黑板回顾轴对称的复习 线l的对称点A’ 板演并说明作图过程） 作法以及对称 轴的相关性质，为后面最短路径问题的思路获取提供支持 1. 直线l是线段AA’ 的垂直平分线 2. 垂直平分线的性质 引出课题 板书课题：§13.4 课题学习---最短路径问题 八年级某班同学做游戏，在活动区域l摆放了一排篮球，如图，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑l同学们，你知道问题的答案吗？你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ B（1）从A 地出发，到区域l 取篮球，然后到为了落实好两个核心探究，通过设置基本问题作为先行组织者，在温故中实现引新，为展开探究提供知识、方法及经验的支持. B 地； （2）区域l上取篮球的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到取球地点，再到B 地的路程之和； （3）设C 为直线上一动点，问题转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 和最小 （4）线段AB（连接AB，交直线l与点D，点D即为拾球的位置，原因“两点之间,线段最短”. 到终点处？ lCDE终点A情境导入 小明请同学们自己选择想要拾取篮球的点，你在比 BlA赛过程的跑动路径是怎样的？跑动路程是最短的吗？你的理由是什 么？ 1 3
游戏规则发生了变化，如图，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到终点处？ 终点l问题1:前面我们已经解决了A、B两点在直线两侧的最短问题，下面请同学们思考并尝试，若这两点居于直线的同侧，该怎样找到那 样的点P，使得AP与BP的和最小？ （化异侧为同侧）先作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，交l于P，则P点即为所求． 证明：如图，在直线l上取一点P（′异于点P）.根据轴对称的性设置问题1增进迁移，实现同侧最值问题向异侧最值问题的转化，问题2通过验证与证明实现合情推理向逻辑推理的过渡，期间需要几何画板的功小明 知识 探究 可知AP′=P′A′，能支持. 质， 问题2：若找到了那样的点，请证明结论的正确性 AP=PA′.则AP′+P′B=A′P′+P′B＞A′P+PB=AP+PB. 由此可知：A到B经P点距离最短. （将军饮马）传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位将军专程去拜访他，向他请教一个百学以致用 思不得其解的问题. 将军每天都从军营A出发（如图），先到河边l饮马，然后再去河岸的同侧B开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海伦略加思索就解决了它.同学们，你知道问题的答案吗？ 现如今，将军遇到了新的问题，你能够替代海伦帮助将军解决这个问题吗？ 再 探 究 1 直接回答方法及答案（先作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，交l于P，则P点即为所求．） 通过历史经典“将军饮马”问题，巩固同侧两点到直线上某点的距离最短问题，鼓舞学生的斗志，通过替代海伦解决新的问题，激发学生研究的兴趣，把学生引领到研究的航道上来. （造桥选址问题）将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后淌水到B 地（要问题3：本问题又变成了点在直线两侧的问题，但一条直线拓宽成了一条河，请同学们思4
如图，由于河岸宽度是固定的，淌水的路 通过设置问题3、4，在径最短要与河岸垂直，探究1获得的因此路径AMNB中的MN经验基础上， 求淌水的距离最短）．问到河边什么地方饮马并淌水可使他所走的路线全程最短？ 考，要饮马并淌水过河，的长度是固定的. 因饮马点M应选在何处，才能使从A到B的路径AMNB最短？ 问题4：如何证明你的结论？ 如图，几何画板验证，然后使用逻辑推理 此要使AM+MN+NB的值最小，只需AM+NB的值最小即可. 把问题引向深入，使得平移变换自然呈现，进一步体现图形变换在最短路径问题中的价值. 学以4.如图，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂 致用 直的，如何找到这个最短的距离呢？ 归纳教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： （1）将军饮马类问题解决的基本套路？ （2）通过探究2和拓展练习，我们在造桥选址问题上已经获得了(1) 通过轴对称变换，把两点在直线同侧的问题转化为在直线两侧的问题，从而可利用“两点之间，线段最短”加以解决. (2) 对于造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移后在一条直线上. (3) 通常借助轴对称变换、平移变换等，把问题转化为“两点之间，线段最短”的模型去解决． 复习巩固、提升总结本节课的知识，使学生学会总结反思。 总结 哪些经验？ （3）解决路径最短问题时，我们常用的图形变换是什么？目的何在？ 1 5
（1）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长拓展提升 是（ ）. A．2 B．2+2√3 C．4 D．4+4√3 （2）如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是________． 课后 作业 教科书P93复习题13第15题 布置作业,让不同层次的学生都能得到发展 1 6
