四川省凉山市西昌第二中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，值域为(0,+
)的是 （ ▲ ）
A.y= B. C. D.
参：
D 略
2. 下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A.
B.
C.
D.
参：
D 略
3. 过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ） A．x+y+1=0
B．4x﹣3y=0
C．x+y+1=0或4x﹣3y=0
D．4x+3y=0或x+y+1=0
参：
D
【考点】直线的截距式方程．
【分析】当直线过原点时，根据斜截式求得直线的方程，当直线不过原点时，设方程为 x+y=a，把点（3，﹣4）代入可得 a 的 值，从而求得直线的方程．
【解答】解：当直线过原点时，方程为 y=x，即4x+3y=0．
当直线不过原点时，设方程为 x+y=a，把点（3，﹣4）代入可得 a=﹣1，故直线的方程为 x+y+1=0．故选D．
4. 对任意实数规定取三个值中的最小值，则（ ）
.有最大值，最小值 .有最大值，无最小
值
.有最大值，无最小值 .无最大值，无最小值
参：
B 略
5. 已知全集U={﹣1，0，1}，A={0，1}，则?UA=（ ） A．{﹣1}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣1，0} D．{﹣1，1}
参：
A
【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．
【分析】由题意，直接根据补集的定义求出?UA，即可选出正确选项． 【解答】解：因为U={﹣1，0，1}，A={0，1}， 所以?UA={﹣1} 故选：A
【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键．
6. 的值（ ）.
A.小于 B.大于 C.等于 D.不存在 参：
A
7. 方程
的解的个数是
A.0 B.
1 / 6
1 C.2 D.3 参：
C 方程
的解的个数等于函数
和
图像交点的个数，如图所示，可知函数
和
图像有两个交点．
8. 在中,若 则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B.等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 参： B 略
9. 函数
一定存在零点的区间是（ ）．
A． B．
C．
D．
参：
B ∵
在
上单调递增， 以上集合均属于，根据零点存在定理，
∴
， 易知选项符合条件， ∴选择
．
10. 设，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 4 C. 3 D. 2
参：
B 【分析】
先把代数式
整理成，然后
利用基本不等式可求出原式的最小值. 【详解】
，当且仅当
时，即当
，
，
时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考
查计算能力，属于中等题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）已知函数f（x）=﹣x2
+4x+a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值﹣2，则f（x）的最大值为 ．
参：
1
考点： 二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 将二次函数配方，确定函数f（x）=﹣x2+4x+a在[0，1]上单调增，进而可求函数的最值．
解答： 函数f（x）=﹣x2+4x+a=﹣（x﹣2）2+a+4
2 / 6
∵x∈[0，1]，
∴函数f（x）=﹣x2
+4x+a在[0，1]上单调增 ∴当x=0时，f（x）有最小值f（0）=a=﹣2 当x=1时，f（x）有最大值f（1）=3+a=3﹣2=1
故答案是1．
点评： 本题重点考查二次函数在指定区间上的最值，解题的关键将二次函数配方，确定函数f（x）=﹣x2+4x+a在[0，1]上单调增．
12. 函数的零点个数为 。
参：
解析：分别作出
的图象；
13.
参：
14. 双曲线的离心率为
，双曲线
的离心率为
，则
的最小值
为
参：
由题意得
，所以
因此，当且仅当时取等号,即的最小值为.
15. 把函数
的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ
的最小正值为 ．
参：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．
【分析】若所得的图象正好关于y轴对称，则=
+kπ，k∈Z，进而可得答案．
【解答】解：把函数
的图象向右平移φ个单位可得函数
y=
=
的图象，
若所得的图象正好关于y轴对称， 则=
+kπ，k∈Z， 解得：φ=
+kπ，k∈Z，
当k=1时，φ的最小正值为；
故答案为：
．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档． 16. 已知圆锥的底面半径为2，高为6，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是__________.
参：
9π 【分析】
设出内接圆柱的底面半径，求得内接圆柱的高，由此求得内接圆柱的表面积的表达式，进而求得其表
面积的最大值.
【详解】设圆柱的底面半径为
，高为，
由图可知：，
解得
.
3 / 6
所以内接圆柱的表面积为
，
所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥的内接圆柱表面积有关计算，属于基础题.
17. 定义在
上的函数
既是偶函数又是周期函数，若
的最小正周期是
，且当
时，
，则
= .
参：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线过点
, (1)若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程。
（2）若直线分别与轴、y轴的正半轴相交于
两点，O为坐标原点，记
，求
的最小值，并写出此时直线的方程。 参：
解：（1）若直线过原点，设其方程为：
，又直线过点，则
即
若直线不过原点，设其方程为：，直线过点
，
直线的方程为
；综上，的方程为
或
（2）设的方程为：，直线过点，（1）
当且仅当
即时取等号，将与（1）式联立得，的方程为
综上，
的最小值为9，的方程为
------------10分
19. 在四棱锥A-DBCE中，底面DBCE是等腰梯形,,
是等边三角
形，点F在AC上.且.
（I）证明:AD∥平面BEF;
(Ⅱ)若平面ADE⊥平面BCED,求二面角
的余弦值.
参：
解：（Ⅰ）连接
,交
于点
，连接
.
∵在等腰梯形
D中，
,
,,
,,
,,
又平面
，平面,所以平面.
（Ⅱ）取中点
，取
中点,连接,显然
,
又平面
平面
,平面
平面
,所以，平面
.
4 / 6
由于分别为中点，且在等腰梯形中，,
则
,故以
为原点，以
方向为轴，
方向为
轴，以
方向为轴，建立下图所
示空间直角坐标系. 设
，可求各点坐标分别为
可得
设平面
的一个法向量为
，由
可得
，
令可得
，
，则
.
设平面
的一个法向量为
，由
可得
令，可得
则，
.
从而，
则二面角的余弦值为.
20. （本题满分12分）设
，
（1）求证：；
（2）求证：
.
参：
（1）证明：设，，则，………………4分
（2）证明：
，可见.
再研究
的单调性.
设，则
.
因为
，且，所以
，
，又
，及
，则，即
.………………8分
因此函数在
上单调递增.…………………10分
而
，故.……………………12分
21. （10分）如图是一个二次函数y=f（x）的图象 （1）写出这个二次函数的零点
（2）求这个二次函数的解析式
（3）当实数k在何范围内变化时，函数g（x）=f（x）﹣kx在区间[﹣2，2]上是单调函数？
5 / 6
参：
考点： 二次函数的性质． 专题： 计算题；数形结合．
分析： （1）根据图象，找函数图象与横轴交点的横坐标即可．
（2）由顶点是（﹣1，4）可设函数为：y=a（x+1）2
+4，再代入（﹣3，0）即可． （3）先化简函数g（x）=﹣x2﹣2x+3﹣kx=﹣x2﹣（k+2）x+3易知图象开口向下，对称轴为
，因为是单调，则对称轴在区间的两侧求解即可．
解答： （1）由图可知，此二次函数的零点是﹣3，1 （2）∵顶点是（﹣1，4） ∴设函数为：y=a（x+1）2
+4， ∵（﹣3，0）在图象上 ∴a=﹣1
∴函数为y=﹣x2﹣2x+3
（3）∵g（x）=﹣x2﹣2x+3﹣kx=﹣x2﹣（k+2）x+3
∴图象开口向下，对称轴为
当，即k≥2时，g（x）在[﹣2，2]上是减函数
当，即k≤﹣6时，g（x）在[﹣2，2]上是增函数
综上所述k≤﹣6或k≥2时，g（x）在[﹣2，2]上是单调函数
点评： 本题主要考查二次函数的零点，解析式的求法及单调性的研究． 22. （本小题12分）已知
是一次函数，且
，
，
(1)求函数的解析式。 (2)若
，且
，求
的取值范围
参：
6 / 6
