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第３２卷第２期 南昌大学学报（理科版） Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．２ ２００８年４月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｅｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ａｐｒ．２００８ 文章编号：１００６—０４６４（２００８）０２—０１１１—０４ 关于非线性算子的几个不动点定理 陈眷芳，朱传喜 （南昌大学数学系，江西南昌 ３３００３１） 摘要：运用锥理论和迭代方法，首先讨论混合单调算子不动点的存在唯一性，在此基础上进一步研究一类非线性 算子不动点的存在唯一性定理，得到了几个新的结果。 关键词：不动点；非线性算子；拟弱紧集 中图分类号：０１７７．２ 文献标识码：Ａ １ 预备知识 ≤Ｙ≤Ｙ ，同时，我们有： ＝ｌｉｍｕ ，Ｙ’：ｌｉｍｖ ，其中Ⅱ ＝Ａ（Ⅱ 一１， 设Ｐ是实Ｂａｎａｃｈ空间 中的一个锥，从而在 一１）， ＝Ａ（ ．１，Ⅱ ）（ｎ＝１，２，３…），且满足：Ⅱ０ 中引人了半序，乘积空间Ｅ×Ｅ是一个实Ｂａｎａｃｈ空 ≤Ⅱ１≤…≤Ⅱ ≤…≤ ≤…≤ ｌ≤ ｏ ｏ 间， 其中的范数我们取为：ｌｌ（ ，Ｙ）ｌｌ ＝ 本文的一些相关文献参见［２—９］。 ｍａｘ ｌｌ，ｌ ｌＹ ｌｌ｝，Ｖ（ ，Ｙ）∈Ｅ×Ｅ。首先回顾下 面概念。 ２ 主要结果 设Ｄ ｃ ，于是Ｄ×Ｄ ｃ Ｅ×Ｅ，设算子Ａ：Ｄ×Ｄ 定理１ 设Ⅱｏ， ｏ∈Ｅ，Ⅱｏ＜ ０，并且Ａ：［Ⅱｏ， ｏ］ — ，如果Ａ（ ，Ｙ）关于 增，关于Ｙ减（即 。， ：，Ｙ ， ×［Ⅱ。， 。］一 是一个混合单调算子，使得Ⅱ。≤ Ｙ２∈Ｄ； ｌ≤ ２，Ｙ１≥Ｙｚ＝ Ａ（ ｌ，Ｙ１）≤Ａ（ ２，Ｙ２）），贝０ Ａ（Ⅱ０， ０），Ａ（ｕ０，Ⅱｏ）≤ ｏ。假设Ｐ是正规锥，Ａ｛［Ⅱｏ， 称Ａ是混合单调的。 。］×［Ⅱ。， 。］｝是拟弱紧集，且Ａ是次连续算子，同 女口果（ ，Ｙ ）∈Ｄ×Ｄ满足Ａ（ ，Ｙ ）＝ ， 时存在０＜口＜１，使 Ａ（Ｙ ， ）＝Ｙ ，则称（ ，Ｙ ）是Ａ的耦合不动点。 Ａ（Ⅱ２， ２）一Ａ（Ⅱｌ， １）≤口（Ⅱ２一Ⅱ１），Ⅱｌ，Ⅱ２， ｌ， ２ 如果 ∈Ｄ满足Ａ（ ， ）＝ ，则称 是Ａ的一个 ∈［Ⅱ０，ｕ０］且Ⅱｌ≤Ⅱ２， １≥ｕ２ （１） 不动点。 则算子Ａ在［Ⅱ。， 。］中存在唯一不动点 ，而且迭代 设Ｐ是 中的锥，Ｓ是 中的一个子集，若对Ｓ 序列Ⅱ ：Ａ（ 一１， 一１）， ＝Ａ（ 一１，Ⅱ 一１）（ｎ＝１，２， 中的任一全序序列｛ ｝，都存在｛ ｝的子列｛ ｝ …）都收敛于 。 一 暮 一 及 ∈Ｄ，使 ． ，则称ｓ是 中的拟弱紧集。 证明 由归纳法易证：Ⅱ。≤Ⅱｌ≤…≤Ⅱ ≤… 在实Ｂａｎａｃｈ空问Ｅ中，如果 和ｙ ≤ ≤…≤ １≤ ｏ （２） 毫己 事实上，１。。当ｎ＝１时，由ｕｏ≤Ａ（ｕｏ，１＂３ｏ），ａ（ｖｏ，ｕｏ） Ｙ蕴含有Ａ（ ，Ｙ ） Ａ（ ，ｙ），其中 ，Ｙ ， ，Ｙ均属 ≤ 。及Ａ是混合单调算子可知：Ⅱ０≤Ⅱ１＝Ａ（Ⅱ。， ０） 于 ，那么我们称算子Ａ是弱连续的。 ≤Ａ（ ｏ，Ⅱｏ）＝ １≤ ｏ，即Ⅱｏ≤Ⅱ１≤ １≤ ｏ，从而 引理１ 设Ⅱｏ，ｕ０∈Ｅ，并且Ａ：［Ⅱ０， ０］× （２）式成立。２。．假设ｎ＝ｋ时（２）式也成立，即Ⅱ㈦ ［Ⅱ。， 。］一 是一个混合单调算子，使得Ⅱ。≤Ａ（Ⅱ。， ≤Ⅱ ≤ ≤ 一１，则当ｎ＝ｋ＋１时，由 一１≤ ≤ ），Ａ（ 。，Ⅱ。）≤ ，假设Ｐ是正规的，同时Ａ｛［Ⅱ。， ≤ 一 及Ａ是混合单调算子有 ］×［ ，％］｝是拟弱紧集，且Ａ是次连续算子，那 Ⅱ ：Ａ（ 一１， 一１）≤Ａ（Ⅱ ， ）＝Ⅱ ＋１≤Ａ（ ， 么Ａ有一个耦合不动点（ ，Ｙ ）∈［Ⅱ。， 。］×［Ⅱ。， Ⅱ ）： ＋１≤ａ（ｖ 一１， 一１）＝ 即Ⅱ ≤ ＋１≤ ＋１≤ 。］，其中最大与最小的意义是：对任何Ａ的耦合不 ，这就是说，当ｎ＝ｋ＋１时（２）式成立。 动点（ ， ）￡［ ｏ，型０］ ［Ⅱ０， ０］，有 ≤ ≤Ｙ ， 综合１。，２。可知，不论ｎ为何自然数，（２）式总 收稿日期：２００７—０３—１９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０４６１００７）、（１０７６１００７）；江西省自然科学基金资助项目（０４１１０４３）、 （２００７ＧＺＳ２０５１） 作者简介：陈春芳（１９７１一），女，博士，副教授． 维普资讯 http://www.cqvip.com ・ｌ１２・ 南昌大学学报（理科版） ２００８正 成立。 由（１），（２）式可得 ０≤ 一ｕ ＝ａ（ｖ 一ｌ，ｕ 一１）一Ａ（ｕ 一ｌ， 一１）≤ ０（ 一ｌ—ｕ 一１）≤…≤０ （ ０一ｕ０） （３） 由Ｐ的正规性及（３）式可得 ０≤Ｉ Ｉ一ｕ ＩＩ≤０ ⅣＩ Ｉ０一ｕ０ ＩＩ— ０（ｎ＿＋ ∞），其中Ⅳ为Ｐ的正规常数，而由引理ｌ可得，存在 Ａ的耦合不动点（ ，Ｙ ）∈［ｕ。， 。］Ｘ［ｕ。， 。］且 ｌｉ ｍ ｕ ＝ ，ｌｉ ｍ ＝Ｙ ，所以 Ｙ ，令 ＝ ＝Ｙ ，则 是Ａ的不动点。 下面证 为Ａ的唯一不动点。 为Ａ的任一不动点，由（ ，Ｙ ）的最大最 小性得： ≤ ≤Ｙ ，而已证 ＝Ｙ ＝ ，所以 ＝ 即 为Ａ的唯一不动点。 下面讨论在Ａ的条件更弱情况下的一些结论。 定理２ 设Ｐ是正规锥，Ｐ ｃ Ｅ，ｕ０， ０∈Ｅ，ｕ０＜ 。，同时Ａ：［ｕ。， 。］Ｘ［ｕ。， 。］一Ｅ是次连续的，且存 在非负常数０，ｂ，ｃ（０＜ｃ＜ｌ—ｂ）使 Ａ（ｕ０， ０）≥ｕ０一ｂ（ｕ０一 ０），Ａ（ ０，ｕ０）≤ ０＋ ｂ（ｕ０一 ０） （４） Ａ（ｕ２， ２）一Ａ（ｕｌ， １）≥０（ｕ２一ｕ１）＋ｂ（ｖ２一 １），ｕ２≥ｕｌ， ｌ≥ ２ （５） Ａ（ｕ２， ２）一Ａ（ｕｌ， １）≤ｃ（ｕ２一ｕ１）＋ｂ（ｖ２一 １），ｉｔ，２≥ｕｌ， ｌ≥ ２ （６） 令曰（ｕ， ）＝ —ｌ— 一０—０ ［Ａ（ｕ， ）一０ｕ—ｂｙ］，若 曰｛［ｕ。， 。］Ｘ［ｕ。， 。］｝是一个拟弱紧集，则Ａ在［ｕ。， ］中存在唯一不动点。 证明 由（４）式知： 曰（ＵＯ￣ＵＯ） ｉ ［Ａ（Ｕ０￣ＵＯ）一。ｕ。一６ 。］ ≥ ［ｕ。一６（ｕ。一 。）一。ｕ。一６ 。］＝ｕ。 （７） 曰（ＵＯ￣ＵＯ） ｉ ［Ａ（ＵＯ￣ＵＯ）一。 。一６ｕ。］ ≤ ［ 。＋６（ｕ。一 。）一 一６ｕ。］＝ 。 （８） 下面证明Ｂ（ｕ， ）是混合单调算子。 事实上，设ｕ ≤ｕ ， ≥ ，由（５）式得 曰（１／，２￣Ｖ２）一曰（ｕｔ， ｔ） 丁 ［Ａ（ｕ ， ）一 。ｕ —ｂｖ２］一Ｔ南［Ａ（ｕ ， ）一。ｕ 一６ ］＝ ［Ａ（ｕ ， ）一Ａ（ｕ ， ）＋。（ｕ 一ｕ ）＋６（ 一 ）］≥ 寺 ［。（ｕ —ｕ ）＋６（ ）＋。（ｕ 一ｕ２）＋ｂ（ｖｌ一 ２）］：０ 所以Ｂ（ｕ， ）为混合单调算子。 设ｕｌ≤ｕ２， ｌ≥ ２，由（６）式可得 曰（ｕ ， ）一曰（ｕ ， ｔ） 丁 ［Ａ（Ｕ２￣Ｕ２）一 Ａ（ｕｌ， １） ＋ ０（ｕｌ — ｕ２） ＋ ｂ（ｖｌ 一 ２）］ ≤ ［ｃ（ｕｚ—ｕ ）＋６（ ｚ一 ）＋。（ｕ 一ｕ ）＋ ６（ 一 ）］＝ （ｕ —ｕｔ）＝ｙ（ｕ —ｕ ）（０ ＜ｙ ＜１） 由Ａ：［ｕ。， 。］Ｘ［ｕ。， 。］一Ｅ是次连续的，易证 Ｂ：［ｕ０， ０］Ｘ［ｕ０， ０］一Ｅ也是次连续的。 事实上，设ｕ ＿＋ｕ， ＿＋ ，因为Ａ：［ｕ０， ０］Ｘ ［Ｕｏ， 。］一Ｅ是次连续的，所以ａ（ｕ ， ） Ａ（ｕ， ），从而曰（ ｎ） 寺 ＥＡ（ ｎ）一 一 ｂｙ．三Ｆｌ＿［Ａ（ｕ， ）… ］＝曰（ ）， 因而曰：［ｕ。， 。］Ｘ［ｕ。， 。］一Ｅ也是次连续的。 由定理１可知曰（ｕ， ） ［Ａ（ｕ， ）一 伽一ｂｙ］在［ｕ。， 。］中存在唯一不动点，不妨设为 ， 即曰（ ， ） ＝ ， 贝０曰（ ， ） ＝ 南［Ａ（ ， ）一。 一６ ］＝ 从而 ａ（ｘ ， ）＝ ，所以Ａ在［ｕ。， 。］中存在唯一不动 点。 定理３ 设Ｅ是实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ是Ｅ中的正 规锥，算子Ａ：［ｕ。， 。］Ｘ［ｕ。， 。］一Ｅ满足下列条件： 存在非负常数０，ｂ，ｄ满足０＋ｂ＜１，ｄ＜１—２ｂ，ｄ＋ ｂ一０＞０使（４）一（５）式成立，且有 Ａ（ｕ２，ｕ１）一Ａ（ｕｌ，Ｍ２）≤ｄ（Ｉｔ，２一Ｍ１） （ｕｌ≤ ｕ ） （９） 则Ａ在［ｕ。， 。］中存在唯一不动点。 证明设曰（ｕ， ） 南［Ａ（ ）一。ｕ一 幻１ 由（４）式知 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 陈春芳等：关于非线性算子的几个不动点定理 Ｂ（ ０， ０）＝ 南［ （ＵＯ￣ＵＯ）一。 。一６ 。］ （ 一１一 一１）≤…≤ “（ ０）（ｎ＝１，２，…） （１２） ≥南［ 。一６（ 。 ）一 一６ ］＝ 。 Ｂ（ｕ０￣ｕ０）＝ ［ （ＵＯ￣Ｕ０）一。 。一６ 。］ ≤南［％＋６（ 。一％）一。 一ｂｕｏ］＝ 下面证明Ｂ（“， ）是混合单调算子。 设 。≤ ２， ｌ≥ ２，由（５）式得 （ ， ）一Ｂ（Ｕｌ￣ｕＩ）＝南 ［ （ ２， ２）一 。 一ｂｖ２］一南［ （ 。， 。）一。 。一ｂｙ１］＝ 南［ （Ｕ２￣Ｕ２）一 （Ｕ１￣ＵＩ）＋。（ 。一 ）＋６（ 。 一 ］≥南［。（ ）＋ ）＋。（ 。 一 １）＋ｂ（ １一 ２）］＝０ 所以 （ ， ）为混合单调算子。 由（９）式知 Ｂ（ｕ２，ｕ１）一Ｂ（ｕＩ￣ｕ２）＝南［ （／１＂２￣Ｕ１）一 。 一６ 。］一南［ （Ｕｌ￣／１＂２）一。 。一ｂｕ２在 ］＝ ● 南［ （Ｕ２￣Ｕ１）一 （Ｕ１￣Ｕ２）＋。（ 。一 ）＋∈ ｂ（ ２一 。）］≤ 南［ｄ（ 一 ，）一。（ 一Ｅ ● 。） ∈ ＋６（ 一 ，）］＝ ／Ｌ／Ｌ （ 一 ，）＝卢（ 一 使 。）（０＜ ＝ ＜１） （１０） 令 ＝Ｂ（ 一１， 一１）， ＝Ｂ（ 一１， 一１） 易证 一ｌ≤ ≤ ≤ 一１ （１ 事实上，已证明 ０≤Ｂ（ ０， ），Ｂ（ ， ０）≤ ，即 Ｕ０≤ １， ｌ≤ 而 ｌ＝Ｂ（ ０，Ｕ０）≤Ｂ（ ， ０）＝ ｌ， 从 而 ０≤ １≤ １≤ ，所以（１１）式成立。 假设当ｎ＝ ｋ时（１１）式成立，即 ≤ ≤ ≤ 一。成立。当ｎ ＝ｋ＋１时，因为 ＝Ｂ（ ， ）≥Ｂ（ ， 一１）＝ ， ＋１＝ （ ， ）≤Ｂ（ 一１， ）＝ 而 ＝ Ｂ（ ， ）≤Ｂ（ ， ）＝ ＋ｌ，则 ≤ ＋１≤ ＋１≤ ０ 综上可知：（１１）式，即 ≤ ≤ ≤ 一１成 立。 由（１Ｏ）、（１１）式可知： ０≤ 一 ＝Ｂ（ ～ｌ， 一１）一Ｂ（ 一１， 一１）≤ 于是，对任意自然数ｍ有 ０≤ ＋ 一 ≤ 一 ＝ “（ ０一 ０） １３、 ０≤ 一 ＋ ≤ 一 ≤ “（ ０一 ０） １４） 由（１２）、（１３）、（１４）及Ｐ的正规性可得 ｌ Ｉ一 ｌＩ≤Ａ ｌ ＩＵ０一 ｏ ｌＩ （１５） ｌＩ“ 一 ＩＩ≤＾ “ｌ １一 。ｌＩ （１６） ｌ ｛一 ＋ ｌ｛≤＾ “ｌ｛ 一 ０ ｌ ｛（１７） 由（１ ６）、（１７）式可知｛ ｝，｛ ｝为Ｅ中的柯 西列， 又由Ｅ的完备性可知，存 ｌｉ ｍ ＝ ，ｌｉ ｍ ： ，卜＋∞，卜＋∞ 且 ≤ ≤ ≤ ，由（１５）式可知“ ＝ 记 ’＝ ： ∈［ ０， ］ ＝Ｂ（ ， ）≤Ｂ（ｘ ， ）≤Ｂ（ ， ）＝ ｎ 由（１８）式及Ｐ 的正规性可知， （ ， ）＝ ’，且ｐ 为 （ ， ） 在［ 。， ］中的不动点。 下面证明 为 Ｂ（ ， ）在［ 。， ］中的唯一不 动点： 设Ｙ 为Ｂ（ ， ）在［ 。， ］中的任一不动点，则 （）， ，Ｙ ）＝Ｙ’，且 ０≤Ｙ ≤ ｌ＝Ｂ（ ０， ）≤ （）， ，Ｙ ）＝Ｙ ≤Ｂ（ ， ０）＝ ｌ 类似地 ≤Ｙ ≤ ，由数学归纳法可证 ≤Ｙ’≤ （ｎ＝０，１，２，…） （１９） 由（１８）、（１９）式及Ｐ的正规性可知 ＝Ｙ’， 则 为Ｂ（ ， ）在［‰，Ｕ０］中唯一的不动点。而 （ ， ）＝南［ （ ， ）一。 一６ ］，则 （ ， ）＝Ｆ ［Ａ（ ， ）一０ 一６ ］＝ ， 从 ‘‘ 。 。 而 （ ， ）＝ 。所以 在［ 。， ］中存在唯一不 动点。 参考文献 李国祯，朱传喜．关于混合单调算子的耦合不动点定 理［Ｊ］．工程数学学报，１９９３，ｌ０（１）：９—１６． 孙经先，刘立山．非线性算子方程的迭代求解及其应 用［Ｊ］．数学物理学报，１９９３，１３（３）：１４１—１４５． 宋光兴．Ｂａｎａｃｈ空间二元非线性算子方程的迭代解 ［Ｊ］．工程数学学报，１９９８，１５（２）：１０３—１０７． 张克梅．非线性非单调算子方程的解［Ｊ］．数学物理学 报，１９９８，１８（２）：１６４—１６８． 维普资讯 http://www.cqvip.com
・ｌ１４・ 南昌大学学报（理科版） ２００８焦 ［５］ 郭大钧．非线性分析［Ｍ］．济南：山东科学技术出版 社，２００３． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ［６］ Ｚｈｕ Ｃｈｕａｎｘｉ．Ｓｅｖｅｒａｌｔｅｒｓ，２００６，１９（７）：６２８—６３２． ［８］ Ｚｈｕ Ｃｈｕａｎｘｉ，Ｘｕ Ｚｏｎｇｂｅｎ．Ｒａｎｄｏｍ Ａｍｂｉｇｕｏｕｓ Ｐｏｉｎｔ ｏｆ Ｒａｎｄｏｍ Ｋ（∞）一ｓｅｔ—ｃｏｎｔｒａｃｔｉｖｅ Ｏｐｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００７，３２８（１）：２—６． Ｍｅｎｇｅｒ ＰＮ Ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００６，６５（７）： １ ２８１—１ ２８４． ［９］ Ｚｈｕ Ｃｈｕａｎｘｉ，Ｈｕａｎｇ Ｘｉａｏｑｉｎ．Ｔｈｅ Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ Ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ［７］ Ｚｈｕ Ｃｈｕａｎｘｉ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ Ａ—Ｐｒｏｐｅｒ Ｍａｐｐｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ Ｍｅｎｇｅｒ ＰＮ Ｓｐａｃｅ（１Ｉ）［Ｊ］． Ｂｕｌｌ Ａｕｓｔｒａｌ Ｍａｔｈ Ｓｃｏ，２００６，７３（２）：１６９—１７３． ａｎｄ Ｐｅｔｒｙｓｈｙｎ’Ｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔ－ Ｓｏｍｅ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｎ Ｆｉｘｅｄ Ｐｏｉｎｔ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｏｐｅｒａｔｏｒ ＣＨＥＮ Ｃｈｕｎ－ｆａｎｇ，ＺＨＵ Ｃｈｕａｎ—ｘｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｃｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ ３３００３ １，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｆｏｒ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｓｕｃｃｅｓｓｉｏｎ ｓｋｉｌｌｓ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒ’ ａｔｏｒ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｑｕａｓｉ—ｗｅａｋｌｙ ｃｏｍｐａｃｔ ｓｅｔ （上接第１１０页） Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ：ｃｏｎｖｅｒａｇｅｎｃｅ ｏｆｔｈｅ Ａｕｘｉｌｉａｒｙ Ｐｒｏｂ－ ｓｅａｒｃｈ，２００３（１４４）：５０１—５１２． １ｅｍ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉ－ ［９］Ｘｕ Ｂ，Ｚｈｕ Ｄ Ｌ．Ｎｅｗ Ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｉｎｖｅｘ Ｍｏｎｏｔｏ’ ｃａｔｉｏｎｓ，２００１（１１１）：３０５—３２６． 『７］Ｈａｎｓｏｎ Ｍ Ａ．Ｏｎ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ Ｃｏｎｄｉ— ｎｉｃｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２００６， Ａｒｔｉｃｌｅ ＩＤ ５７０７１：１—１９． ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａ１ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａ－ ［１０］Ｐａｒｉｄａ Ｊ，Ｓａｈｏｏ Ｍ，Ｋｕｍａｒ Ａ．Ａ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ—ｌｉｋｅ Ｉｎｅｑｕａｌ＿ ｔｉｏｎｓ，１９８１，８０：５４５—５５０． 『８］ Ｇａｒｚｏｎ Ｇ Ｒ，Ｇｏｍｅｚ Ｒ Ｏ，Ｌｉｚａｎａ Ａ Ｒ．Ｇｅｎｅｒｌｉａｚｅｄ Ｉｎｖｅｘ Ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｆ Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅ— ｉｔｙ Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｂｕｌｌｅｔｉｎ ｏｆｔｈｅ Ａｕｓｔｒａｌｉａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏ ｃｉｅｔｙ，１９８９（３９）：２２５—２３１． Ａｎ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ——Ｌｉｋｅ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ＸＵ Ｂｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｃｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ ３３００３ １，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｏｆ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ—ｌｉｋｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ（ｐｓｅｕｄｏ） ｉｎｖｅｘ ｃｏｃｏｅｒｃｉｖｅ ｍａｐｐｉｎｇ，ａｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ—ｌｉｋｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ，ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｃ０ｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｏｆ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｅｘｉｓｔｅｄ ｉｎ ｐａｐｅｒｓ ｏｆ Ｚｈｕ，ｅｔ ａｌ（１ ９９６） ａｎｄ Ｆａｒｏｕｑ（２００１）． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ—ｌｉｋｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ；（ｐｓｅｕｄｏ）ｉｎｖｅｘ ｃｏｃｏｅｒｃｉｖｅ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
