3 稳态导热

导热是由微观分子的热运动引起的热量从高温区向低温区或者温度不同的物体间的传递的过程。该过程在固体、液体、气体中都能发生，但在流体中，在发生导热的同时，由于有温差的存在必然伴随有自然对流传热现象，故只有在密实的固体中才能发生单纯的导热。研究导热问题的目的就是要确定不同情况下物体内的温度分布及热通量和热流量的分布。 3.1 平壁一维稳态导热

研究导热问题，首先是通过导热微分方程确定导热物体内部的温度分布，然后根据傅立叶定律确定导热速率，即热通量和热流量。工程实践中存在大量稳态导热问题，如工程热设备的正常工作过程均可认为是稳态导热问题，而且有些问题在一定条件下可以简化为一维问题。无限大平板（壁）、无限大圆筒壁、球体等是典型的一维问题，即长度和高度远大于其厚度（一般是10倍以上），此时温度仅沿厚度方向变化，沿长度和高度的变化可以忽略不计，如加热炉、冷藏设备等的外壁面。 3.1.1 第I类边界条件: 表面温度为常数 ① 单层平壁

设有一厚度为s的无限大平壁，如图3.1所示。已知平壁两个表面分别维持均匀稳定的温度Tw,Tw，假定导热系数为常数，且无内热源。确定平壁内

12的温度分布和通过平壁的导热热通量。

图3.1 单层平壁在第I类边界条件下的稳态导热

该问题为一维、无内热源的稳态导热问题，其定解问题可以写成：

d2T=0dx2Tx0Tw1 TxsTw2(3-1)

对微分方程式连续积分两次，得其通解为：

TC1xC2

式中：C1和C2为积分常数，由边界条件确定。 TwC2 TwC1sC2

12C1Tw2Tw1s C2Tw

1平壁内温度分布为：

TTw1Tw1Tw2sx

(3-2)

上式即为平壁一维稳态导热问题的温度场的表达式，温度呈线性分布，

说明平壁内的温度是一条直线，斜率为常量，即：

TwTw2dT 1dxs 代入傅里叶定律，得：

qTwTw12sTs

(3-3)

若平壁的侧表面积为F，则热流量为：

QqFTwTw12sFsFT (3-4)

式(3-3)和(3-4)就是平壁导热的计算公式，它揭示了q,,s和T四个物理量间的内在关系。同时从公式可以看出，沿导热方向的任意截面上，热流量Q和热通量q处处为一常数，与传热方向x无关，这是平壁一维稳态导热的一个很重要的结论。

例3.1 一窑炉的耐火硅砖炉墙，厚度为250mm。已知内壁面温度，外壁面温度T2=400℃，1.60W/(mC)，试求每平方米炉墙的热T1=1500℃损失。

解：

qs(T1T2)1.60

(1500400)7040(W/m2)0.25② 多层平壁

工程中许多平壁并不是由单一的材料组成的，而是由多种材料组成的复合平壁，如工业炉中的炉墙就是由耐火砖、绝热砖、金属护板等不同的材料组成的多层平壁。在由两种以上材料组成的复合导热系统中，热量传递的复杂程度与多种材料界面的接触情况密切相关。图3.2所示由三层材料

组成的无限大平壁，为了研究方便，假定各个层面接触良好，即界面上两边温度相等，传递的热量也相等，各层的温度、厚度及导热系数如图所示，并且已知n层平壁两个外侧面的温度分别为Tw和Tw。确定通过多层平壁的

1n1热通量以及各层界面温度。

图3.2 多层平壁稳态导热示意图

由单层平壁热通量公式可知每层平壁传递的热通量：

q11Tw1Tw2s1Tw2Tw3s2Tw3Tw4s3

(3-5)

q22q33由于稳态导热，各层传递的热通量相等，即q1q2q3q。将(3-5)写成下列形式：

qs11s2Tw1Tw2 Tw2Tw3

q2qs33Tw3Tw4

相加可得：

qTw1Tw4TwTw413s1s2s3si

123i1i(3-6)

式中分母部分为整个平壁单位面积的总热阻。可知多层平壁的一维稳态导热的热通量取决于总温差和总热阻的相对大小，而总热阻为各层热阻之和，这与串联电路中总电阻等于各部分电阻之和的规律完全相同。其模拟电路图（热路图）为：

图3.3 3层平壁稳态导热模拟电路图

由第1章可知，利用热阻的概念可以分析复杂平板的导热问题。根据以上分析，借用比较熟悉的串联、并联电路电阻的计算公式来计算导热过程的总热阻。将串联电阻叠加得到总电阻的原则应用到串联导热热阻的计算上，从而可以方便的导出多层平壁的导热公式。对于n层平壁的导热，热通量计算公式为：

qTw1Twn1ni1sii

(3-7)

解得热通量后，层与层界面处温度可利用下式计算：

Twi1Tw1qisjj1j

(3-8)

通过以上计算式可知，多层平壁稳态导热时，各层导热系数为常数时，每一层内温度分布均呈直线，但由于各层材料不同，其导热系数不同，温度变化率也不相同，所以整个多层平壁内部温度分布是多折直线。各层内直线斜率不一样，由于稳态导热时各热通量都相等，因此各段直线的斜率仅取决于各层材料的导热系数。值大的段内温度线斜率就小、线就平坦；反之，值小斜率大，温度线陡。另一方面，从热阻的概念出发，多层平壁稳态导热时，热阻大的环节对应的温度降也大；热阻小的环节对应温度降就小。这一结论对分析传热问题，以及为强化传热所采取的改进措施的分析很有用。

例3.2 某加热炉炉墙由厚460mm的GZ-94硅砖、厚230mm的QN-1.0轻质粘土砖和厚5mm的钢板组成，炉墙内表面的温度为1600℃，外表面的温度为80℃。三层材料的导热系数分别为1.85W/(m·℃)、0.45 W/(m·℃)和40 W/(m·℃)。已知QN-1.0轻质粘土砖最高使用温度为1300℃，求炉墙散热的热流通量，并确定QN-1.0轻质粘土砖是否在安全使用温度范围内。 解：（1）热流量 由式(3-6)可得：

qTw1Tw41600802000（W/m2) 0.4600.2300.005s1s2s31.850.4540123 （2）界面温度

由式(3-8)计算界面温度为：

Tw2Tw1qs11160020000.460 1600497.31102.71300℃

1.85 可见，QN-1.0轻质粘土砖的最高温度小于它的最高允许温度，即在安全使用温度范围内。

对于稳态无内热源导热时，按式(3-7)计算多层平壁导热通量时，如果各层材料导热系数为变量，就应代入各层的平均导热系数。但确定各层的平均导热系数时又需要知道各层的界面温度。此时，仅用上式计算是不够的，可采用逐步逼近的计算法，是一种迭代法。 迭代法的具体步骤为：

1）根据经验假定一个界面温度，查出此温度下的导热系数值； 2）据已知条件，求出q或Q的值； 3）据单层平壁的公式反算出界面温度；

4）比较两个界面温度的大小，若相差不大（相对误差≯4%）说明假定正确，否则以算出的温度作为第2次计算的假定值，重复计算至符合要求为止。

例3.3 某加热炉炉墙由两层组成，内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们厚度分别为s1=460mm,s2=230mm，导热系数分别为10.70.103T、，Tw100℃，求20.140.12103T，炉墙两侧表面温度分别为Tw1500℃

13稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖界面处温度。

解：按试算法，首先假定中间界面温度为Tw900℃，计算每层砖的导

2热系数：

10.70.10314009001.436Wm℃ 220.140.121039001000.2Wm℃ 2 根据式(3-7)，通过炉墙的热通量为：

qTw1Tw32i1sii1400-100884.2W/m2

0.460.231.4360.2 再按式(3-8)计算界面温度为：

s10.46Tw2Tw1q1400884.21116.8℃ 1.4361 将求出的Tw与原假设的Tw相比较，两者相差较大，需要重新计算，重

22新假设Tw1120℃，则：

210.70.103140011201.51Wm℃ 211201000.213Wm℃ 220.140.12103qTw1Tw314001002 939Wm20.460.23si1.510.213i1is10.46Tw2Tw1q14009391114℃ 1.511 新算出的Tw与第2次假设的Tw相近（相差0.54%），故新算出的导热通

22量和界面温度即为所求的计算结果。

3.1.2 第III类边界条件 （对流边界，已知介质的温度及换热系数） 现在讨论第III类边界条件下，单层平壁的一维稳态导热。设一常物性无限大平壁，无内热源，平壁的两侧与周围的介质进行对流传热，如图3.4所示。两侧流体的温度分别为Tf和Tf，流体与壁面的对流传热系数分别为112和2，平壁厚度为s，导热系数为，且为常数。

图3.4 第III类边界条件下单层平壁一维稳态导热示意图

定解问题可以写成：

d2T02dxdT1Tf1T dxdTxs2TTf2dxx0(3-9)

积分可得：TC1xC2，

1dTC1 dx当x0时， C11TfC2 当xs时，C12C1sC2Tf

2解方程组可得：

C1Tf2Tf111s12 C2Tf1Tf2Tf1111s12

平壁内温度分布：

1xTf2Tf1TTf1

1s112(3-10)

上式表明，平壁在第III类边界条件下壁内的温度亦是x的线性函数。 根据式(3-10)，可得通过平壁的热通量为：

Tf1Tf2dTqC11s1dx

12(3-11)

平壁两侧温度：

Tw1Tf1q1Tw2Tw1qs

(3-12) 式中，

11s12表示单位面积平壁的总热阻。其中

s11和

12是平壁两侧面

与流体之间的单位面积的对流换热热阻；是单位面积的导热热阻。整个热量传输过程可以看成时对流换热-导热-对流换热3部分的串联，其模拟电路如图3.5所示。

图3.5 单层平壁第III类边界条件下一维稳态导热模拟电路图 如果平壁是由n层不同的材料组成的多层平壁，按照热阻串联的概念，可直接得到多层平壁在第III类边界条件下的稳态导热热通量的计算式为：

qTf1Tf211i1nsii1

2(3-13)

层与层界面处温度可利用下式计算：

Tw1Tf1q1 TwTwqi11isjj1j

(3-14)

3.2 圆筒壁的一维稳态导热

通过圆筒壁的传热同样是工程中常见的问题，如冶金工业中通过热风管道、蒸汽管道管壁在稳定工况时的导热均属这种情况。此类问题属于柱坐标问题，一般当管的长度远大于管的外径（通常L / d ≥10）时，沿管长和圆周方向的温度不发生变化，仅沿管的径向发生变化，即TTr，等温面都是同心圆柱面，此时的导热过程即可认为是一维导热问题。 3.2.1 第I类边界条件

①单层圆筒壁

对于无内热源，长度为L，内外半径分别为r1和r2的圆筒壁，圆筒内外壁温度分别为Tw和Tw。确定当圆筒传热稳定后的温度、热流量和热通量分

12布。

定解问题可以写成：

ddTr0drdrrr1TTw1rr2TTw2

(3-15)

积分可得：

TC1lnrC2

代入边界条件可得：

Tw1C1lnr1C2 Tw2C1lnr2C2

解方程组可得：

CTw1w12w211Tw2 CTlnrTlnr2 lnr2rlnr21r1(3-16)

圆筒壁内的温度分布为：

TTw2Tw1lnrTw1lnr2Tw2lnr1TTw1Tw2rw1ln lnr2rlnr2rr1rln211r1热通量：

qdTTw1Tw2dr1lnr2rr1(3-18)

可以看出，对于圆筒壁一维稳态导热，热通量与半径成反比，不再是常量。

热流量：

Qq2rLdTTwTw2Tw1Tw2dr12L lnr21lnr2r12Lr1通过单位长度圆筒壁的热流量：

(3-17)

(3-19)

QTw1Tw2QLr1Lln22r1

(3-20)

②多层圆筒壁

对于由n层不同材料组成的多层圆筒壁一维稳态导热问题，通过圆筒壁的热流量为：

QTw1Twn1ri11lnrii12Lin

(3-21)

通过单位长度圆筒壁的热流量

QLTw1Twn1ri1lnrii12in1

(3-22)

可以看出，通过圆筒壁的热流量和单位长度的热流量都是常量。 对于第i层和第i+1层接触面的温度为：

Twi1Tw1QLj1i12jlnrj1rj

(3-23)

3.2.2 第III类边界条件

图3.6 单层圆筒壁导热示意图

圆筒壁的内外层半径分别为r1和r2，长度为L（长度远大于外径），无内热源，导热系数为常数，圆筒壁内侧的流体温度为Tf，与壁面间的对流换

1热系数为1，外侧的流体温度为Tf，与壁面间的对流换热系数为2。确定

2圆筒壁内的温度分布、热通量和热流量。

该问题可看作无限长圆筒壁，无内热源、常物性、对流换热边界条件下的一维稳态导热问题，其定解问题可以写成：

ddTr0drdrdTrr11(Tf1T)drdTrr22(TTf2)dr

(3-24) 积分可得：

TC1lnrC2

代入边界条件可得：

-C1C1(Tf1C1lnr1C2) -12(C1lnr2C2Tf2)

r2r1解方程组可得：

C1Tf2Tf1Tf2Tf1 C2Tf1( lnr1)r2r1r1lnln21r1r12r21r1r12r2圆筒壁内的温度分布为：

TTf2Tf1rln21r12r2r1lnrTf1(TfTflnr1)r1r1ln21r1r12r221 (3-25)

TTf2Tf1rf1(rlnr2ln)1r1r111r12r2热通量和热流量：

qdTdrTf1Tf211 11lnr 2r1r12r2r1(3-26)

QqFq2rLTf1Tf212L12Llnr2r11r1122r2LTf1Tf211dln211d1L2Ld12d2L(3-27)

式中

11L和分别为圆筒内侧和外侧的对流换热热阻，1d12d2L1d2Lln2d为圆筒壁导热热阻。 1通过单位长度圆筒壁的热流量

QQTf1Tf2LL11d1ln2d1d1212d2(3-28)

圆筒壁内外侧温度：

Tw1Tf1QL1d1

Tw2Tw1QLrln2 2r1(3-29)

通过以上分析可知，该传热过程如图3.7所示。

图3.7 圆筒壁一维稳态导热的热阻分析

如果圆筒壁是由n层不同材料组成的多层圆筒壁，与单层相比，总热阻中多了导热热阻，有几层就加几个导热热阻，即：

Tf1Tf2QLnd111lni11d1i12idi2dn1

(3-30)

圆筒壁各层温度：

QTw1Tf1L1d1

Twi1Tw1QLi1j12jlndj1dj

(3-31)

例3.4某加热炉炉墙由三层组成：最内层为粘土砖、中间为硅藻土砖，外层为钢板。它们的厚度分别为(mm):s1=115; s2=230; s3=10;，导热系数分别为(W/(m℃)): 11.3,20.18,30.22,炉墙的面积为3m*5m，炉墙两侧分别与温度为1000℃炉气和温度为20℃的空气相接触，与炉气的给热系数与空气的给热系数为210.5W/(m2℃)，试求通过炉墙的热131W/(m2℃)，通量和总的热损失。

解：

Tf1=1000 CTf2=20 C

d11md2d12s110.231.23md3d22s21.230.461.69md4d32s31.690.021.71mTf1Tf2QLnd111lni11d1i12idi2dn13.14(100020)

111.2311.6911.711lnlnln31121.3120.181.2320.221.6910.51.712857.73(W/m)

例3.5 蒸汽直管道的外径d1=30mm，准备包两层厚度都是15mm 的不同材料的绝热层，第一种材料的热导率10.04W/mC，第二种材料的热导率 20.1W/mC，若温差一定，试问从减少热损失的观点看下列两种方案：1）1 在里层，2 在外层；

2）2 在里层，1 在外层，哪一种好？为什么？ 解：方案（1）单位管长的热损失为：

QL1TTT 11601903.4dd1112lnlnlnln323.140.04300.16021d12d2方案（2）单位管长的热损失为：

QL2TTT 11601902.711d21d3lnlnlnln23.140.1300.046022d11d2比较两种方案的热损失

QL23.41.26 QL12.7由于QL2QL1 ，故从减小热损失的观点来看方案1好。

3.3 球壁一维稳态导热

在工程应用上常常遇到球形容器，如球形储气罐，储液罐等。本节只讨论在第一类边界条件下的球壁沿半径方向进行的一维稳态导热。 3.3.1 第I类边界条件

图3.8给出了内外半径分别为r1和r2的空心单层球壁。球壁的导热系数为常数，无内热源，球壁的内、外侧分别维持均匀稳定的温度Tw和Tw，且

12Tw1Tw2。采用球坐标系，该导热问题可看作是一个在第I类边界条件下的

无内热源的球壁沿径向的一维稳态导热问题。定解问题可以写成以下形式：

d2rdrrr1rr2dT0drTTw1TTw2

(3-32)

对上式进行积分可得：

TC1C2 r通过边界条件可以求得：

Tw2Tw1Tw2Tw11C1 C2Tw1

1111r1r1r2r1r2球壁内的温度分布为：

TTw1Tw2Tw11111r1rr1r2

(3-33)

可见，球壁的温度分布为双曲线。

根据傅里叶定律，求得通过球壁的热通量为：

qTwTw21dT111r2drr1r2

(3-34)

上式表明通过球壁的导热通量是变化的，与半径r的平方成反比。而通过球壁内任一球面的热流量为：

4(Tw1Tw2)Tw1Tw2QqF11111r1r24r1r2

(3-35)

多层球壁情况，通过球壁的热流量为： QTw1Twn1111rr4i1iii1n

(3-36)

各层壁面温度：

Twi1111Tw1QLrj1j14jrji

(3-37)

3.3.2 第III类边界条件

球壁的内外层半径分别为r1和r2，无内热源，导热系数为常数，球壁内侧的流体温度为Tf，外侧流体温度Tf，与壁面间的对流换热系数分别为1和

122。确定球壁内的温度分布、热通量和热流量。

定解问题可以写成：

d2dTr0drdrdTrr11(Tf1T)drdTrr22(TTf2)dr

(3-38) 积分可得：

TC1C2 r代入边界条件可得：

C1C1-(TC2)1f1r2r11 -C1(C1CT)22f22rr22解方程组可得：

C1Tf2Tf1Tf2Tf11 C2Tf1(2)

11111r1r1()()221r1r1r22r21r12r1r22r22球圆筒壁内的温度分布为：

Tf2Tf1Tf2Tf111TT()11rf11r12r111()()1r12r1r22r221r12r1r22r22Tf1(TfTf11)1r1r1r(11)1r12r1r22r2221

(3-39)

热通量和热流量：

qTf1Tf2dT1 211111drr()221r1r1r22r2(3-40)

QqFq4r2Tf1Tf211111()41r124r1r242r22

(3-41) 式中

141r12和

142r2分别为圆筒内侧和外侧的对流换热热阻，211()4r1r21为圆筒壁导热热阻。模拟电路如图3.8所示。 球壁内外侧温度：

Tw1Tf1Q41r12

Tw2Tw1Q11() 4r1r2(3-42)

图3.8 球壁处于第III类边界条件下的电路模拟图

如果球壁是由n层不同材料组成，即：

Tf1Tf2Qn11111()41r12i14iriri142rn21

(3-43)

球壁各层温度：

Tw1Tf1Q41r12

Twi1Tw1Q11) rj1j14jrj(i1(3-44)

一维稳态情况下几种导热问题的温度、热通量和热流量结果汇总于表3-1中。

表3-1 一维稳态导热汇总表

第 单I 层 类边多界层 平 条 件 第 单TTw1Tw1Tw2sx qTwTw12sT sQsFT Twi1Tw1qj1isjj qTw1Twn1i1nsii QTw1Twn1i1nsiiF 壁 III层 类边界条件 多1xTf2Tf1TTf1 1s1q121Tf1Tf2 1s1Q21Tf1Tf2F 1s12Tw1Tf1q层 1，TwTwqi11isjj1j qTf1Tf211i1nsii1 QTf1Tf2121i1nsii1F 2第 单I 层 类边多界圆 条 件 筒 壁 层 Tw1Tw2rTTw1ln rr1ln2r1Tw1Tw21 qr2rlnr1QTw1Tw2TT，QLw1w2 rr11ln2ln22Lr12r1Twi1Tw1QLj1i12jlnrj1rj QLTw1Twn1ri1lnrii12in1 QTw1Twn1ri11lnrii12Lin 第 单TTf1III层 类边界条件 多层 Tf2Tf1Tf1Tf2rdT1(ln) q r1r1111rr1drln2ln2r1r1r12r21r12r2r1Tf1Tf2Q d2111ln1d1L2Ld12d2LTw1Tf1QL1d1iTwi1Tw1QLj112jlndj1dj Tf1Tf2QLnd111lni11d1i12idi2dn1 Tf1Tf2 Qnd111lni11d1Li12Lidi2dn1L第 单I 层 类边多界层 球 条 件 第 单Tw2Tw111 TTw111r1rr1r2TwTw21dT q1211drrr1r24(Tw1Tw2)Tw1Tw2 QqF11111r1r24r1r2Twi1111 Tw1QLrj1j14jrji QTw1Twn1111ri1i14irin 壁 III类边TfTf11TTf()1r1r1r(11)1r12r1r22r22层 211 Tf1Tf2dT1 q11111r2dr()1r12r1r22r22QTf1Tf2 11111()41r124r1r242r22多界层 条件 Tw1Tf1Twi1Q41r12i11Tw1Q()4rrj1jjj11 QTf1Tf2 n11111()241r1i14iriri142rn21

3.4 具有内热源的一维稳态导热

在前面讨论的导热问题中，体系中的温度分布只由边界条件控制。现在我们来考虑体系内部发生的变化对温度分布的影响，即具有内热源的导热问题，如导电体通电发热、混凝土凝固、核电站核燃料元件的释热等。 3.4.1 平壁

对于厚度为2s的无限大平壁，具有均匀稳定的内热源，记为qv。平壁的导热系数为常数，平壁两侧为均匀温度Tw。由前述分析可知，这是具有内热源的一维稳态导热问题，考虑到两侧对称，只取其中的一半进行处理，则相应的定解问题为：

d2Tqv02dxdTx00dxxsTTw

(3-45)

对上式积分可得：

Tqv2xC1xC2 2代入边界条件可得：

C10 C2Twqv2s 2平壁内温度分布为：

TTwqv2(sx2)2

(3-46)

利用傅里叶定律可确定平壁中任一点处的导热通量为：

qqdT(v2x)qvxdx2

(3-47)

上式说明平壁内导热的热通量不是常量，而随x线性变化。

对于第III类边界条件，平壁两侧同时与温度为Tf的流体进行对流换热，换热系数为，则平壁以中心平面为对称面进行传热，在对称面上通过的热通量为零，即温度梯度等于零。

定解问题可以写成：

d2Tqv0dx2x0dT0dxdTxsTTfdx

(3-48)

Tqv2xC1xC2 2代入边界条件可得：

C10 C2qv2qsTfvs 2平壁内温度分布：

Tqv2q(sx2)Tfvs2

(3-49)

按照傅里叶定律，平壁内任意位置处的热通量为：

qqdT(v2x)qvxdx2

(3-50)

可见，有内热源存在时，平壁内热通量随x的增大而增加。 3.4.2长圆柱体

半径为R的实心长圆柱体，具有均匀稳定的内热源，导热系数为常量，一维稳态导热情况下，圆柱体中的温度分布。

定解问题：

qv1ddTrrdrdrdTr00drrRTTw

(3-51)

上式积分：

qddTrvr drdrrqdTvr2C1 dr2dT0 C10 drr0qdTvr dr2再次积分：

Tqv2rC2 4qv2R 4rRTTw C2Twqv2Rr24TTw

(3-52)

对于第III类边界条件：

dT0drdTrRTTfdrr0

(3-53)

C10 C2qv2qRRTfv 42TTfqvRqv2Rr224

(3-54)

qdTqvrdr2

(3-55) 3.4.3球体

半径为R的实心球体，具有均匀稳定的内热源，导热系数为常量，一维稳态导热情况下，球体中的温度分布。该导热问题的微分方程为：

qv1d2dTrr2drdrdTr00drrRTTw

(3-56)

上式积分：

qv2d2dTrr drdrr2qdTvr3C1 dr3r0dT0 C10 drqdTvr dr3再次积分：

Tqv2rC2 6qv2R 6rRTTw C2Twqv2Rr26TTw

(3-57)

对于第III类边界条件：

dT0dr dTrRTTfdrr0C10 C2qv2qRRTfv 63TTfqvRqv2Rr236

(3-58)

qdTqvrdr3

(3-59)

三种情况汇总如表3-2所示。可以看出，三种坐标情况下，温度分布都是抛物线分布，热通量与长度（半径）均成正比关系。

表3-2 有内热源稳态导热汇总表

平 第I类边界条件 壁 第III类边界条TTfTTwqv2sx22 qqv件 sqv2(sx2) 2dTqvx dx球 第I类边界条件 体 第III类边界条TTwqv2Rr2 4qTTf件 qvRqv2Rr2 24dTqvr dr2球 第I类边界条件 体

第III类边界条TTwqv2Rr2 6qTTfqvRqv2Rr2 36dTqvr dr3件