函数的不动点(高考题)

来源：华拓科技网

例对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数f(x)ax2(b1)x(b1)(a0)，（1）当a1,b2时，求函数f(x)的不动点；

（2）对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若yf(x)的图象上A,B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A,B两点关于直线ykx12a122对称，求b的最小值解：（1）f(x)xx3，x0是f(x)的不动点，则f(x)x0x03x0，得x01或x03，函数f(x)的不动点为1和3

2（2）∵函数f(x)恒有两个相异的不动点，

∴f(x)xax2bx(b1)0恒有两个不等的实根，

b24a(b1)b24ab4a0对bR恒成立，

∴(4a)16a0，得a的取值范围为(0,1) 2（3）由axbx(b1)0得由题知k1，yx2x1x2b， 22a，

12a12设A,B中点为E，则E的横坐标为(∴bb1,2)， 2a2a2a1bb12， 2a2a2a1∴ba2a2112a1a2， 4当且仅当2a12(0a1)，即a时等号成立， a2∴b的最小值为2 4

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