高等传热学复习题答案

黄祯光 12S002002

一、解释概念（数学表达式、物理含义）。

1、粘性耗散效应及耗散函数Φ：粘性应力做功将动能转化为热能的现象即为粘性耗散效应，将引起粘性耗散效应的流体应变关系定义为耗散函数Φ：

iij2j2()() xjxjxi3xjdbbbvi，表示的是固定流体质点的某一特性dxi2、随动导数（物质导数、实体导数）：量变化率。若b代表流速vi ，则式中

dvvvdvi代表流体质点的真实加速度aiiivji，

dxjdvvi表示当地加速度，vji表示对流加速度。

xj3、热边界层：固体壁面附近，在垂直于壁面方向上，存在很大的温度梯度，流体温度发生剧烈变化的薄层。在热边界层内沿壁面法向导热是主要的传热方式，热边界层厚度δt<t5、雷诺应力：ij，通常称为湍流ij，表示因速度脉动而引起的动量传递（扩散性质）

附加应力或雷诺应力。

6、雷诺热流：qtjcpjT，表示因速度脉动与温度脉动所引起的xj方向附加热流，称为湍

流附加热流或雷诺热流。

7、湍流强度J：湍流脉动速度与平均速度的比值，J222112121(v'j)V3V12(uv2w2)，3222V(uvw)。u，v，w是三个方向的脉动速度，当uvw时为各项同性湍

流，否则为各向异性湍流。

1212(uv2w2)，表示单位质量流体速度脉动所具有的动能。 8、湍动能K：K=vk229、湍流耗散项：(vi2)，表示单位质量流体的脉动速度变形引起的粘性耗散。 xj10、湍流动量扩散系数：tvv2vjvivjt，Dijij，与层流的相对应，表xx3xDijijj示由脉动引起的动量扩散系数。 11、湍流热扩散系数：ttT，与层流中分子热运动引起的扩散率类似，表示vjT/cpxj由脉动引起的热扩散程度。 11、湍流普朗特数：Prtt，表示湍流中因脉动引起的动量扩散与热扩散程度相比较。 t12、蒸汽干度：截面上的蒸汽质量流量占截面总质量流量的份额，称为蒸汽干度（或质量含汽率）；

截面含汽率：截面上汽相占整个截面面积的份额，称为空隙率或截面含汽率。 13、滞止温度、滞止焓：流场中每一点都有一个当地的滞止状态，它是假想把任一点处的流体绝能等熵地流入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。滞止状态的温度和焓分别称

u21为滞止温度和滞止焓。定义滞止温度T为T=T，定义滞止焓i*为i*iu2。

2cp2**14、高速流边界层绝热壁温度：高速流绕流物体时，如果暂时认为物体是绝热的，那么所产生的热量可以仅靠分子或涡旋传导的机理从靠近表面的地方逃逸出去。稳态条件下，在粘性耗散和热传导之间建立其一种的平衡态，这些条件下的表面温度称为绝热壁温度：

2u，其中，rcPr12。 TawTrc2c15、沸腾起始点：液体从单相自然对流换热向核态沸腾换热过渡的标志，发生在壁温超过当地液体饱和温度的某些点。

临界点：核态沸腾产生最大热流密度的点。

16、各向异性介质导热系数ij：ij表示j方向上单位温度的变化率在i方向上引起的热流密度大小，反应了材料的定向导热性能，称为导热系数分量。

非傅里叶效应：傅里叶定律假设热量在物体内的传播速度为无限大，即在任何瞬时温度梯度和热流密度都是相互对应的。该假设对于稳态问题是成立的，对于弱瞬态导热也看不出不同。但是对于强瞬态过程中情况有所不同，此时温度梯度与热流密度并不是瞬时对应的。温度梯度的变化要滞后于热流的变化，这说明热量传递速度是有限的，这种情况就是非傅里叶效应。

二、论述问题与数学描述。

1、阐述雷诺输运定理，并写出其数学公式。

答：一个确定的质量系统（微团）的某一物理特性量的变化率等于同一时刻该系统所占据的空间区域（控制体）中同一物理量的变化率与单位时间内由该控制体的边界面流出的同一物理量之和。

(xi,)DBdV(xi,)vnds D()S或者写成： DD()(xi,)dV(xi,)vi(xi,)(xi,)dVdiv(xi,)vdVdVdV xi()()()()式中(xi,)为某一物理特性的强度量，其广延量为B(xi,)，B(xi,)(xi,)dV。

()2、一般形式的Navier-Stokes方程的适用条件是什么？ 答：Navier-Stokes方程（动量方程）为：

iipjBixjxixj23jixjxi23xijxj 适用条件：符合Stokes假设（）、各向同性牛顿流体。 若const，（不必等于常数），N-S方程简化为：

2i1iipj2Bixxjixj3xijxj 对不可压缩流体，

jxj0，N-S方程可进一步简化为：

ii2ip jBi2xxxjij这就是一般形式的N-S方程，即不可压缩、牛顿流体、定粘度、三维非稳态流动的动量方程。 3、边界层的几何特征及其动量和热量传递的特征有哪些？ 答：几何特征：

1、流动边界层：绕流固体壁面的粘性流体流场可分为边界层区、主流区两个特征不同的流动区域：

a、壁面附近的边界层，在垂直于壁面方向，速度变化剧烈，存在很大的速度梯度，粘性应力起重要作用；b、离壁面较远的主流区，速度梯度很小，可以忽略粘性应力，视为理想流体的流动；c、边界层厚度δ远比流过的距离L小得多，即δ<2、热边界层：

a、壁面附近的热边界层，在垂直于壁面方向，存在很大的温度梯度，沿壁面法向的导热起主要作用；b、离壁面稍远的主流区，混合剧烈，温度梯度很小，可忽略导热；c、热边界厚度δt<动量传递：边界层流动中，下游速度对上游速度的分布没有影响，y向的动量变化很小。 热量传递：在热边界层内y方向的导热作用与对流作用的数量级相同，而x向的导热很小，可以忽略。由于边界层对流换热中，流体沿x方向流动，下游的温度变化对上游的影响只能通过导热（扩散）来实现，若x方向导热可以忽略，那么下游温度变化对上游无影响，就像一个一维非稳态导热问题一样。

4、常物性、不可压缩牛顿流体绕流等温平壁的层流边界层对流换热数学描述。 答：二维稳态、不考虑粘性耗散效应、内热源、及辐射换热。基本控制方程组为：

u0xxuu1p2u2uu(22)xyxxy1p22u(22)xyyxyTT2T2Tua(22)xyxy

应用边界层理论，借助于数量级分析，可简化得到边界层对流换热微分方程组：

u0xy2uuuu2 xyyTT2Tua2xyy入口处：xx0,0y,uu(y),TT(y)相应的边界条件为：壁面处：y0,xx0,u0,TTw

主流：y,xx,uu,TT05、阐述层流边界层对流换热的特点，并指出其微分方程的数学和物理性质与一般微分方程相比发生了哪些变化？

答：层流边界层对流换热的特点包括两个方面：(1)流动边界层；(2)热边界层。

流动边界层：a、壁面附近的边界层，在垂直于壁面方向，速度变化剧烈，存在很大的速度梯度，粘性应力起总要作用；b、离壁面较远的主流区，速度梯度很小，可以忽略粘性应力，视为理想流体的流动；c、边界层厚度δ远比流过的距离L小得多，即δ<热边界层：a、壁面附近的热边界层，在垂直于壁面方向，存在很大的温度梯度，沿壁面法向的导热起主要作用；b、离壁面稍远的主流区，混合剧烈，温度梯度很小，可忽略导热；c、热边界厚度δt<物理特性分析：

2u2uA、动量方程：x向动量方程中2而被忽略，说明在层流边界层流动中，下游

xy2的速度变化对上游的速度分布没有影响，也就是说边界层流动在主流方向上呈现出步进性。y向动量方程中对流项、扩散项均比x方向动量方程中小得多而被忽略。即y向动量变化很小，此时边界层方程简化为：

p0，这说明在边界层内压力p沿y方向几乎无变化，而仅y是x的函数。在任何x截面处，各点压力相等，等于边界层外主流压力。在主流区，按理想流体伯努利方程计算：dudpu。 dxdx2T2TB、能量方程：2而被忽略，说明在热边界层内y方向导热作用与对流作用的

xy2数量级相同，而x方向的导热很小，可忽略。

C、概述：由于边界层流动和换热的特点，使动量方程和能量方程由原来的平衡问题或稳态问题描述形式转变为步进问题或非稳态问题描述形式，而沿主流流动方向的坐标成为与时间坐标τ类似的单向坐标。

数学性质：边界层动量方程和能量方程都有原来的椭圆型方程转化为抛物型方程，所描述问题由边值问题转化为初值问题。

6、简述定热流、定壁温下管内层流热起始段、充分发展流的流动与换热特点。 答：流动特点：

当流体以均匀的截面流速u0进入管道后，由于粘性作用，会在管壁上形成边界层。将管入口截面至边界层汇合截面间的流动区域称为入口段（起始段、未充分发展流）。特点是该区域内，速度分布不断变化，uu(x,r)，同时存在径向速度v(x,r)。

边界层汇合截面以后的流动速度不再变化，uu(r)，这段流动区域称为充分发展流或充分发展段。充分发展流又分为：简单充分发展流、复杂充分发展流两种。简单充分发展流是指只存在轴向速度分量，而其他方向速度分量为零的充分发展流动。复杂充分发展流是指在垂直于流动方向的截面上，速度分量不为零，但是不随x变化。简单充分发展流动的主要特征：a、沿流动方向的速度分布不变：

u0；b、横截面内速度分量为零：vr0；c、沿xdp流动方向的压力梯度为常数：const；d、局部摩擦系数cf不随x变化，即cfReconst；

dxe、速度分布呈抛物线状（Poiseullie分布）。

换热特点：边界层内温度由Tw向T0过渡，中心势流区维持入口温度T0，当热边界层汇合后，整个截面上的温度都开始发生变化。将热边界层汇合前的区域称为热起始段，主要特点：由于热边界层正在形成发展，且横截面内存在径向流动使其换热强度高，对流换热系数由入口开始逐渐下降。

将热边界层汇合后的区域称为热充分发展流，主要特点：由于热边界层已充分发展，各截面内无量纲温度分布相同，即截面内各点的温度保持按一定规律同步变化，这导致流体与壁面的换热强度不变化。数学表示：

TTw0，hxconst。 xxTTw7、论述层流边界层相似解法的基本思想、存在相似解的条件及相似变量一般形式。 答：以常物性、不可压牛顿流体绕流一般曲壁面的二维层流边界层为例，设来流速度为u∞，边界层内速度为u(x,y)，主流速度为U(x)，x是沿曲面的坐标。

一般来说，不同x处截面上的无量纲速度分布

f(y)u(x,y)随y的变化规律不同，若存在一个函数h(x)，U(x)u(x,y)的分布对所有的x截面U(x)当以yh(x)为横坐标时，

都相同，即与x无关。那么，这个边界层内的速度分布存在相似性。

yh(x)称为相似变量，h(x)是不同截面速度分布的伸缩因子。显然，若一个边界层内

的速度分布存在相似性，那么其无量纲速度分布仅取决于相似变量。这样，以x、y为自变量的描述边界层内速度分布的偏微分方程，应可变换为一个关于的常微分方程，使求解变得容易起来。这即是相似解法的基本思想。

存在相似解的条件：主流区的速度分布呈幂函数规律或指数函数规律变，即

U(x)U(x)c1xm 或 c2enx，实际上，主流区的速度分布U(x)的变化规律取决于所绕过壁uu面的几何形状。

相似变量一般形式：一般情况下，y并不唯一。如对平壁绕流边界层：

yu1u 或 y 均可。 2xxm1U(x)，但对同一边界层流动，相似变量2x8、试论述湍流的基本结构及产生原因，并列举几个导致湍流的因素。

答：湍流是连续介质中一种多尺度、随机的、非稳态、三维、有旋运动。湍流的随机性并非是完全不规则的运动，而是有结构的不规则运动，存在大尺度的拟序结构。湍流的基本结构是：尺度大小、旋转方向、旋转强度不同的涡旋。涡旋的生成地点、范围和周期是随机的，在大涡中还包含有大量的小涡旋。一方面，随着流动，涡旋从主流中获得能量，彼此间进行能量和动量传递，大尺度的涡旋由于变形可以破碎为小尺度的涡旋，而小尺度的涡

旋由于粘性耗散而消失，使机械能转变为热能。另一方面，扰动与速度梯度又会导致新涡旋产生，如此周而复始。一般来说，湍流中涡旋的尺度远大于分子的平均自由行程，所以每个涡旋仍可视为连续介质。

产生原因：扰动是湍流产生的原因，若没有扰动就不会出现流态的转变，也就不会产生湍流。微小的扰动在一定条件下会被放大，而引起层流结构的稳定性丧失，最终导致湍流。

导致湍流的因素：a、来流速度的不均匀性；b、壁面的粗糙度和不平整度；c、流体中杂质、气泡等引起的物性突变（,,,cp等），以及换热引起的物性不均匀性都会产生扰动；d、压力梯度。

9、简述湍流边界层的结构特点，并写出冯·卡门的三层结构模型和通用速度分布。 答：外掠平壁湍流边界层结构特点：a、由于受壁面束缚作用，壁面附近的脉动速度很小，时均速度梯度很大（分子粘性应力占主导）；b、随着离开壁面距离的增加，脉动速度增大，达到最大值后又减小，而时均速度分布趋于平坦（雷诺应力增大又减小）；c、在沿壁面的法线方向上，湍流边界层可大致分为内层区和外层区两个区域，又称壁区和尾迹区；d、内层区约占边界层厚度的20%，内层区的大部分处于湍流状态，时均速度梯度较大。在靠壁面处，因受壁面影响，湍流脉动速度减小，雷诺应力大大减弱，粘性应力占主要作用，把壁区内紧靠壁面的这一薄层称为粘性底层；e、在外层区，脉动受壁面影响较弱，湍流应力仍处主要作用，但由于时均速度梯度比内层区小，使外层区的湍流生成项所占比例也减小；f、外层区与边界层外主流区的界面并不整齐，存在着间歇的湍流脉动，随着接近主流，湍流脉动逐渐减小。g、实验还表明：在内层区，流线基本上平行于壁面，流动近似具有剪切流的特性，即沿x方向，u几乎不变，

u0。 x冯·卡门三层模型认为湍流边界层内层区是由粘性底层、过渡层和湍流核心三层构成，无量纲速度分布：

tuy 0y5wuyuuu，式中、、摩擦/剪切速度。 yu5lny3.055y30tuu2.5lny5.530y350t10、论述K-ε模型的基本思想，并简要导出用K、ε表达的t计算关系式。 答：K-ε模型是通过求解K方程和ε方程来确定t。K方程、方程分别如下：

KKjxjxji2jxjxk2tKKiijcDK3/2/l +txjxjxjxi2iP22xixkxkxjikjjxkxixjxj2

2i2xxjkii2iji22()jjxxxxxxxkkjjkjk

K方程中，右边最后一项为湍流耗散项。

icDK3/2/l

xj2K1/2l 而tcK1/2cDK3/2/ 若用K、ε来表示t，则可消去湍流尺度l，即：tcKK这时，将K方程表示为：jxjxjtKKiij +txxxxjjji将耗散方程进一步模式化： （1）方程右边第一项近似表示为：

2ixkikjjxkxixjxjc1tiKxkikxkxi （2）方程右边第二项，经推导，发现包含时均参数的高阶导数，与其它项相比，可略去，即：

2xiiP0 xxkk（3）方程右边第四项、第五项，在高Ret时可认为与无关，而模式化为：

2i22xxjki2ji2c2 xxxKkkj2这里，湍流雷诺数RetKx，以当地脉动速度K定义的Re数。

（4）第六项是脉动引起的ε扩散，可表示为：

jxjxjt xj这里，与k一样，可视为ε的Pr数。

（5）最后项可转化为时均流动参数的一阶导数和二阶导数的乘积，也可忽略。 经上述模式化后，得到了ε方程形式为：

c1tijxjKxkikxkxixjtxj2 c2K将K方程与ε方程联立求解，得到了K和ε，再由tcK2/求出t。

11、试说明自然对流产生的条件及Boussinesq假设。

答：产生条件：当流体内部的温度分布或浓度分布不均匀时，会造成密度分布的不均匀，在体积力场的作用下，形成浮升力，而引起流体的流动或换热。

Boussinesq假设：

简化条件：a、温度不均匀引起的容积膨胀较小，即(TwT)1；

b、压力不均匀引起的体积力做功很小，即gx1。 pT在上述条件下，进行如下简化：a、除浮升力项外，方程中其它各项的密度可视为常数，即忽略ρ变化对惯性力、连续性及对流热量传递的影响。同时忽略其它物性随温度的变化；b、密度变化仅为温度的函数，即d=dT。

Tp12、试说明过热液体中汽化成核机制与加热壁面汽化成核机制的异同。

答：A、过热液体中汽化成核机制（均相成核机制）：根据分子运动论，液体中每个分子的能量不相等，而按一定的规律分布。液体分子能量分布的不均匀性，使得液体各部分的密度不均匀。由于能量较大的活化分子随机聚集，形成暂时的局部微小、低密度区，这些低密度区被认为是具有一定半径和分子数的微小气泡，这就是液相中微小气泡核心形成过程的机制。 B、加热壁面上的汽化成核理论（非均相成核）：在实际工程问题中，液体加热面上的沸腾所需的过热度只有几度到几十度，这与均质核化所需的上百度过热度有很大差别。其原因是由于加热表面的存在，特别是壁面上存在贮气的凹坑起到了气泡核心的作用。加热壁面上的气泡核心是那些预先贮存有气体或蒸汽的凹坑。由于这些凹坑的尺寸比由于分子密度起伏所形成的气泡核心要大的多，所需要的过热度小得多。

相同点：均需要一定的过热度；均是由于密度不均，由气泡核心引起气泡生成。

不同点：二者需要的过热度不同，加热壁面小于过热液体成核；加热壁面需要有凹坑这样的气泡核心的存在，凹坑的存在是有条件的，过热液体不需要，同时凹坑的尺寸远大于由于分子密度起伏而引起的气泡核心；一个是均相成核，一个是非均相成核。 13、试说明均温过热液体中气泡成长的过程机制与特点。 答：气泡的成长过程可分为控制机制不同的两个阶段。

A、初期成长阶段（等温成长阶段）：气泡形成后的最初几毫秒内，气泡内蒸汽压力远大于外部液体压力。表面张力平衡不了气泡内外的压力差，使气泡迅速成长。该阶段的特征：等温成长，气泡的长大受液体惯性力和气液界面的表面张力控制。因此又称为等温成长阶段或动力学控制阶段。这个阶段虽然时间很短，但成长速率很大。

B、后期成长阶段（等压成长阶段）：当气泡在最初的几毫秒内迅速成长到一定体积后，气泡内外压力接近相等。气泡在接近等压的条件下成长。该阶段的特征：等压成长，气泡的成长主要受过热液体向气泡传热过程的支配，又称为传热控制阶段。这段的成长速率较低，但持续时间较长。

14、试说明核态池内沸腾过程中热量传递的主要途径。

答：A、液体与加热面之间的非稳态导热过程。这个过程发生在气泡刚脱离壁面后，温度较低的液体进入原气泡所占据的加热面及附近空间，与加热面直接接触的一段时间。

B、气泡底部的液体薄层从加热面的吸热汽化过程。这个过程发生在气泡长大过程中。 C、液体与加热面之间的自然对流换热过程。这个过程在整个核态沸腾中都存在，但加热面上气泡的成长和脱离，引起液体的扰动而使之大大强化。 15、解释流动沸腾中的环状流与反环状流的流型成因与传热特点。

答：一般来说，当流动饱和沸腾液体中的含汽量增加到一定程度时，总会导致环状流型。因为，随汽泡流中含汽率的增加，根据伯努利效应，在加速的两相流中，在同样的压力梯度作用下，密度小的一相可获得较高的流速，所以汽泡慢慢集中到中心高速区，而形成环状流。 区别和成因：

a、环状流多发生在两相流干度（质量含汽率x大）较高的条件（汽多），核心区以蒸汽夹带液滴为主。

b、反环状流则发生在高热负荷低干度（质量含汽率x小）的条件下，在壁面上形成一层气膜，主流核心区则是液体。 传热特点：

a、环状流在壁面为液膜，且受壁面加热影响，不断蒸发，产生气泡，类似于加热表面的沸腾换热。产生的气泡又流入核心区，促进形成环状流，同时增强了换热。

b、反环状流在壁面为气膜，与壁面的换热以对流为主，获得高过热度的蒸汽，然后又将热量传递给核心区液体，促使液体蒸发沸腾以及形成气泡。 16、试说明如何表示各向异性介质的导热系数？

答：在直角坐标系x1,x2,x3中，沿三个坐标轴方向的热流密度一般的可表示为：

q111q221q331ttt1213 x1x2x3ttt2223 x1x2x3ttt3233 x1x2x3概括为：qiijj13txji1,2,3

式中，ij表示j方向上的单位温度变化率在i方向上引起的热流密度的大小，反映了材料的定向导热性能，称为导热系数分量。写成矩阵形式：

qt/X

111213q1t/x1tqt/x式中，成为导热系数矩阵，且q，，22122232 Xq3t/x3313233三、推导分析。

2T(x,r)1、圆管内层流热充分发展段的局部换热系数hxconst，且qwconst时有0。

x2TTw答：无量纲温度，

TTw（1）hx于是hx所以

rTTTwr，式中

rRT(TTw)TTw(TTw) rrTTwrr，对于热充分发展流，

rR0，即f(r)。 xconst。

rRconst，从而证明hxrRr（2）由TTw得：T(x,r)Tw(x)[T(x)Tw(x)] TTw对上式求导得：又

TdTwdTdTw ()(TTw)xdxdxdxxTdTwdTdTw0，所以() xxdxdxdxqwconst， hx当qwconst时，qwhx(TwT)TwT对上式求导得：

dTwdTT(x,r)dTwdT0，则常数 dxdxxdxdx考虑如右图所示的微元段： qw2RdxR2ucpdTdx dx可得：

2qwdT dxRucp2qwT(x,r)dTwdT xdxdxRucp因为：

2T(x,r)所以：0，得证。

x22、简述普朗特混合长度模型的基本思想，并推导出湍流热扩散系数的表达式tL2du。 dy答：普朗特认为，流体微团的湍流脉动过程与分子的热运动相似。分子运动论的观点认为，某个流体分子从一处运动到

另一处与另一个分子碰撞而实现动量传递。在连续（相继）的两次碰撞期间，分子所经过的平均距离成为分子平均自由行程。在碰撞发生前的自由行程运动中，分子保持原来的运动状态不变。类似地，流体微团从某处脉动到另一处，与新位置的流体相结合，实现动量转移。微团在脉动过程中也得保持原来的运动状态不变。

设y处平面的时均速度、温度分别为u(y),T(y)。从y面下方a点处，一流体微团以v向上脉动到a点处，产生温度脉动T，则：

uLuyuT222uL2L于是得到：qytcpvTcpcL vcLucLyyyTLTT(a)T(a)y同样，y面上方某处b点流体微团向下脉动，造成y面u，T。则：

uLuyuT222uL2L于是得到：qytcpvTcpcL vcLucLyyyTLTT(b)T(a)y2L2则：tcpcLu y于是：ttuL2，其中，LcLL，为普朗特混合长度。 cpy3、推导圆柱坐标系下，不可压缩牛顿流体在流速不很高条件下的二维（轴向、径向）对流换热能量方程。

答：取如图所示的微元体。不可压缩流体，流体的容积膨胀系数0，能量方程中压力能项为0。流速不高，可忽略粘性耗散。则微元体体积为：dV2rdrdx。 单位时间内：

由x方向进入微元体的能量：x=cput2rdr由x+dx方向流出微元体的能量：xdx=xxdx xt2rdx rt2rdr x由r方向进入微元体的能量：r=cpvt2rdx由r+dr方向进入微元体的能量：rdr=r微元体内的热力学能增加量为：cprdr rt2rdrdx 由能量守恒：cp因为：

t2rdrdxxx+dxrrdrxdxrdr (1) xrx(ut)tcp2rdr()2rdr (2) xxxxr(vrt)tcp2dx(r)2dx (3) rrrr将(2)和(3)代入(1)式，然后两边同时除以2rdrdx，有：

cpcp(vrt)1t(ut)ttcp()(r) xxxrrrrrt(ut)1(vrt)t1t]()(r) xrrxxrrrtutvtvttttuvvtutv)cp[uvt()] xxrrrxrxrru1(vr)uvv00 xrrxrrcp[将左边式展开得：

cp(由连续性方程得：因此，有：cp(utttt1tv)()(r)。 xrxxrrr4、试从边界层微分方程出发，推导纵向绕流平板的对流换热边界层动量积分和能量积分方程。

uu2u2 ， 动量方程uxyy答：微分方程 2TTTua2 ， 能量方程xyy对边界层能量微分方程，对任意一个x截面作y0的积分有：

0TT2Tudydya2dy（1）

00xyyTT2T0,20，则（1）式简化为： 根据边界层的概念，yt 时，TT，因而有：0,xyytttTT2Tudydya2dy（2）

00xyyttTdyT0tTdytTTdy（3）

00yyy0其中，0t为导出仅包括速度u的方程，把式（3）中的

项即t项通过连续性方程进行转换： yt0tuttudydy,tdydy（4）

0x0y0xyttutuTdyTdyTdy（5）

0x0xy将（4）代入（3）得：0对（2）中的扩散项积分：t02TTa2dyayytta[(0TTT)yt()y0]a()y0（6） yyy将（5）（6）式代入（2）得：0u等号左端的三项进一步简化为：

ttTuuTdyTdyTdya()y0

00xxxyt(uT)tTudt+T)dydy(uTuT)dy(uTuT)dy 0xx0x0xdx0dtT最后得能量积分方程为：0(uTuT)dya()y0

dxyt(u同样，根据边界层动量方程，可得动量积分方程为：

duu(uu)dy()y0。 dx0y2u2T5、证明对主流速度uconst的平板绕流边界层，在壁面处（y=0）有20和20，

yy并说明其物理意义。

证明：由于主流速度uconst，根据理想流体的伯努利方程得：

ududp0（1） dxdxux0（2）

y0在层流边界层内，满足剪切流特征，即：

由于连续性方程

u0，所以0，又y=0处，0，所以0（3） xyyuu2u1dp2根据边界层内的动量方程：u

xydxy2u将（1）（2）（3）式代入上式可得：2y0，

y0上式表明：在壁面处，动量扩散的影响为零。 TT2Ta2 根据边界层内的能量方程：uxyy2TT根据y0,0，且在壁面处变化较小，可以忽略，所以2yx0。

y0上式表明：在壁面处，热扩散的影响为零。

6、写出均匀壁面热流作用下，圆管内层流对流换热入口段的完整数学描述。 答：假设是常物性、不可压、牛顿流体、稳态的圆管二维层流对流换热。

连续方程为：

u1(rr)0， xrruu1dpur(r)， xrdxrrr动量方程为：uTT2T1T能量方程为：ura[2(r)]，

xrrrrxx0,TT0,uu0Tu边界条件：r0,0,0rrr0r0TrR,qw,u0,r0,rrR

2T0x27、某常物性流体低速流过一短圆管被加热，已知管壁加热热流密度qw=常数、管内径为D、质量流量为G、入口温度为T0。

(1)试推导描述该对流换热问题的能量方程；

(2)写出求解其对流换热系数所需的各控制方程与边界条件。

答：（1）因为是短圆管流动，又由于温度分布依赖于速度分布，一般不可能出现温度分布已充分发展，而速度分布仍在发展的情况，所以假定流动已充分发展，热边界层正在发展。

能量方程为（柱坐标系下）：

TT2T1Tcp[ur][2(r)]

xrrrrx对充分发展流：r0，有：

T2T1Tua[2(r)] xrrrx忽略圆管轴向导热，所以能量方程可变为：u的能量方程形式相同，但是

TaT(r)，此方程与热充分发展段xrrr0，使其求解难度增加。 xTT0rx，，， qwR/RRPe对于qwconst的情况，定义无量纲温度为：21(12)所以能量方程变为：2 r（2）控制方程：hx，Gu，u2u[1]

4TwTRqwD22边界条件：0,0；0,0； 1,u0。 11,8、稳定流动时，圆形管道内层流充分发展段的切应力和速度u随半径r的分布。 答：常物性、不可压牛顿流体在圆管内作轴对称稳态层流充分发展流动，其动量方程为：述

uudpu](r) xrdxrrr[u对简单充分发展流：

u0、=0， x于是动量方程可变为：

rr(rudp )rdx上式表示管内简单充分发展流中，惯性力为零，粘性力和压力平衡，压力降用以克服粘性摩擦力。

边界条件：r=R，u=0（壁面无滑移）；

r=0，

u=0（轴对称性）； rR2dpr2dpdp[()1]，这里积分得出：u(r)0,且 =const。 4dxRdxdx切应力：urdp。 r2dx9、常物性不可压缩牛顿流体纵向绕流平壁，如果不考虑体积力、无内热源与辐射换热、并忽略粘性耗散效应。

（1）试写出其湍流边界层对流换热的时均化微分方程组（动量方程只需给出应力形式）。 （2）在边界层内层区，流动近似于剪切流，即（采用壁面剪切速度无量纲化）。

（3）根据Prandtl二层结构模型和Prandtl混合长度理论，求出其通用速度分布（k=0.4，两层结构分界位置y+=A）。 答：（1）连续方程：

vj(vj)(vj)0； 0不可压则变成：xjxjxju0，试推导求解其无量纲速度控制方程x动量方程：[vivpmvji][ji(vivj)]； xjxixjTTTvj][cp(vjT)]。 xjxjxjuvvu0可得到：0， 0，由连续性方程xyyx能量方程：cp[（2）在边界层内层区，有

则：v0yuuvdyv0。于是，动量方程：[uv]可化简为：

xyyy0w y即：在内层区，湍流总应力与离开壁面的距离无关，等于壁面处的切应力w。则：

(t)duw y令uw/，称为剪切速度或摩擦速度。

uuuy，y utdu则动量方程的无量纲形式为：(1)1，

dy由上式可见，只要给出t的表达式，对上式积分就可获得内层区的无量纲速度分布。 （3）Prandtl将湍流边界层内层区划分为湍流核心与粘性底层（层流底层）两层结构。在粘

性底层，湍流脉动很弱，湍流附加应力可忽略不计，（即t、t0）；在湍流核心

区，雷诺应力占主导，（即t、t1）。

则内层区动量方程式，在两层结构中，可分别化简为： du粘性底层：1uy；

dytdu湍流核心：1（1）；

dyduduK2y2，则代入（1）式，得到湍流核心的无dydy由Prandtl混合长度理论：tL2量纲分布：

u11lnyAlnA KK其中，A是粘性底层与湍流核心的分界面位置。 若取K0.4，得到湍流核心的无量纲速度分布：

u2.5lnyA2.5lnA

10、推导湍流对流换热的时均化能量方程。

答：常物性、不可压缩牛顿流体的能量方程瞬时量形式为：

qrjTTT cp[vj]()Qxjxjxjxj耗散函数：(vi2vivj)（不可压缩流体） xjxjxiv时均化：方程左侧cp[TvjTvjT]，（由于Tj0）

xjxjxjTT(vjT)vj] xjxjcp[qrjT 方程右侧()Qxjxjxj其中：(vi2vivjvvvjvvvj )(i)2i(i)2ixjxjxixjxjxixjxjxi前两项是时均速度场中，时均速度梯度引起的空间应变（导致耗散）；后两项是脉动速度梯度引起的应变（导致耗散）。

令m(vi2vivjvvv)和t(i)2ij，则有mt。 xjxjxixjxjxi则常物性、不可压缩牛顿流体的时均化能量方程为：

qrjTTT cp[vj](cpvjT)[mt]Qxjxjxjxj若无内热源、无辐射，常物性、不可压缩牛顿流体的时均化能量方程为： cp[TTTvj](cpvjT)[mt] xjxjxj11、推导均温液体中平衡汽泡半径与过热度的关系式。

答：在汽液相平衡时，一个微小汽泡存在应满足以下三种平衡条件：

a、力平衡：pvpl2r； (Laplace方程)（1）

b、热平衡：TvTl0（2）；

c、自由焓平衡：v(Tv,Pv)l(Tl,Pl)（3）。

在汽液相平衡下，气泡内的蒸汽压力、温度关系遵从Clausius-Clapeyron方程：

hfgdPs（4） dTsTs(vv)因为(vv)，所以上式可简化为：

TsTs（5） Pshfgv将（2）代入（5）得：(PPvPsPvPL)

Ts2Ts（6）

hfgvr所以：TlTLTsTvTsTs2Ts（7）

hfgvr即在过热度Tl一定的条件下，过热液体中能够存在的平衡气泡半径为：

re2Ts（8）

hfgvTl或者说，为了维持半径为re的气泡存在，液体须具备式（8）规定的过热度。 若液体过热度大于该值，气泡会进一步长大；相反，在一定Tl下，若rre则气泡不可能存在。

12、已知厚大平板，初始温度为t0，双侧加热，环境温度为t，表面传热系数h，常物性，说明利用分离变量法求该平板内温度分布ttx,的步骤。

解：根据对称性，板内温度分布必以其中心截面为对称面，因此研究厚度为/2的半块平板的情况即可。将x轴的原点置于板的中心截面上，对于x0的半块平板，可以列出导热微分方程式及定解条件。

1、数学描述：

t2ta0x,022xtx,0t00x2 tx,0xx0ht,ttx,x2x2引入过余温度：x,tx,t

2a20x,02xx,000x2 x,0xx0h(,)x,02xx22、将偏微分方程分解为2个常微分方程；

设有变量分离形式的解x,UxV，代回方程，可得：

dVd2UUaV2 ddx1dV1d2U令2，可得两个常微分方程： 2aVdUdxd2U22U0dxdVU和02aV dxx0U0hU()2xx/23、求解这两个常微分方程（特征值问题）；

4、得到变量分离形式的特解：mx,UmxVm； 5、叠加原理得解：x,UmxVmt；

m6、利用非齐次条件求解待定系数。

13、已知厚度为δ的大平板，导热系数0(1bt)，b为小量；平板两侧面温度均匀恒定，分别为t1和t2（t1>t2）。试分析给出利用摄动法求大平板内温度分布的步骤。

答：（1）确定摄动量，变导热系数平板导热方程为：

dtd((t))0，其中，0(1bt) dxdxx0,tt1,x,tt2引入无量纲数：

tx，，b(t1t2)， t1t2则有0(1bt)0(1)， 无量纲化得：

dtdt1t2d，其中，x (t1t2)dxdxd(tt)dddtd ((t))0122(1)dxdxdddd(1)0ddt则方程变为：0,11，为小量。

tt12t1,22t1t2（2）确定摄动量与解的关系：

最后的解必含，设解为f()，则有f()ann。

n0（3）确定an：

将f()代回方程，整理——将具有相同冥次的项合并，最后方程将变为：bnn0。

n0如果该方程对任意皆成立，则要求bn0(n0,1,2,)，而bnf(a0,a1,,an)，从而联立求解an，从而可得：f()。

14、如图一等截面直肋，肋高L，肋厚度b，肋片内无内热源，材料为常物性。假设肋片纵向无限长。已知：肋基温度t0，环境温度tf，壁面与环境的对流换热系数h。试用分离变量法求肋片内的温度分布tf(x,y)。

解：根据对称性，肋片的温度分布必以x轴对称，因此研究厚度为b/2的半块肋片的情况即可。取y0的半块平板，可以列出导热微分方程式及定解条件。

1、数学描述：

2t2tb2200xL,0y2yxbt0,yt0y02tx,y 0yy0htL,yttx,yfxxLbtx,yhtx,tfyb2y2引入过余温度：x,ytx,ytf，可得：

2

2

b

00xL,0yx2y2

2

b

0,yt0tf0y

2

 0

yy0

h(L,y)0xxL

h(x,b)02yyb2

2、将上式偏微分方程分解为2个常微分方程；

设有变量分离形式的解x,yUxVy，代回方程，可以得到两个常微分方程； 3、求解这两个常微分方程（特征值问题）；

4、得到变量分离形式的特解：mx,UmxVmy； 5、叠加原理得解：x,UmxVmy；

m6、利用非齐次条件求解待定系数。