线性代数习题
第⼀章 ⼀、填空题
1. 排列124783695的逆序数为9, 奇偶性为奇.2. 设四阶⾏列式=00000000ab c dD e f g h
，ij a 表⽰⾏列式D 的第i ⾏、第j 列元素，ij
M 为元素ij a 的余⼦式，ij A 为元素ij a 的代数余⼦式，则21M =, 31M =,21A =,22A =, 43A =. 3.若123i 2k 5144a a a a a 是5阶⾏列式中带正号的项, 则i =5; k =3.4.82712549162523451111
=( 12 ) ⼆、计算题1）21111211112111125 2）11230010231101215----363）40627
611597321111-; 4024）设⾏列式3112222203111122D -=
---，ij a 表⽰⾏列式D 的第i ⾏、第j 列元素，ij A 为
元素ij a 的代数余⼦式，求31323334322A A A A +-+. OK 第⼆章1．若75)(?=ij a A ，n m ij b B ?=)(，
1）当m =5，n =7时A B +有意义，A B +是5⾏7列矩阵. 2）当m =7，nAB 有意义，AB 是
. 3）当m=5时BA 有意义，BA 是
. 4）当m =5，n A B T 有意义，A B T是
. 5）当mAB 有意义.
2．若A 是三阶⽅阵，5=A ，则=2A 25，=24A *25. 3.A 为n 阶⽅阵, T A 2=, 则A -=-1n*2. ⼆、计算题 1. 求解矩阵⽅程 ??-2141???
-= -10131102A .2. 设
-=321011324A ,A B A 2B =+，求B .3. 设A =??
2500380000120025,求21, ,A A A-. 第三章
1.求矩阵321315323A ?? ?= ? ???的逆阵。
2. 设矩阵311031003A ?? ?= ? ???
，求矩阵X ，使得2AX X A =+.3. 求矩阵??
------311229211242
3053的秩以及⼀个最⾼阶⾮零⼦式。R(A)=4，最⾼阶⾮零⼦式为|A|。4. 设123123123(2)221,2(5)42,24(5)1,
x x x x x x x x x λλλλ-+-=??+--=??--+-=--?
问λ为何值时此⽅程组有唯⼀解、⽆解或有⽆穷多解？并在有⽆穷多解时求解．110λλ≠≠当且时，⽅程组有唯⼀解；=10λ当时，⽅程组⽆解；
1212=1221100,010x k k k k λ-
=++ ? ? ? ? ? ???????
当时，⽅程组有⽆穷多解，且通解为其中，为任意常数。第四章
1、判定向量组的线性相关性
1(3,2,5)T α=-，2(3,1,3)T α=-，3(3,5,13)T α=-.
2、试证：如果123,,ααα线性⽆关, 则1223312,5,43αααααα+++也线性⽆关.
3、设矩阵1245135614671578A ?? ?= ? ???
,求矩阵A 的秩，并分别给出矩阵A 所对应的列向量组的⼀组极⼤⽆关组.4、求1(1,2,3,4)T α=，2(1,1,1,1)T α=，3(3,4,5,6)T α=， 4(0,1,0,2)Tα= ，5(1,1,0,6)T α=，6(1,1,2,3)T
α=--的秩及⼀组极⼤⽆关组。5. 求λ使=+-+=+-+=++-λ43214321432111472421
2x x x x x x x x x x x x 有解，并在有解情况下求出全部解。
6. 已知4元⾮齐次线性⽅程组的系数矩阵秩为3，123,,ηηη为3个解向量，且11111η?? ? ?= ? ???,2310200ηη?? ? ?+= ? ???， 求通解.第五章 ⼀、填空题
1. 已知向量(1,2,2),(2,2,1),T T =-=-αβ则,αβ的内积为-4。
3. 已知三阶⽅阵A 的三个特征值为1,2,3-，则A =；1A -的特征值为;22A A E ++的特征值为.4. 若矩阵2A A =，则A 的特征值为0/1.
5. ⼆次型222
1122133234424f x x x x x x x x x =+++++⽤矩阵记号可表⽰为_ ___，其⼆次型的秩为_________.
6. 当t 为时, ⼆次型2224222f x y z txy xz =++++为正定⼆次型.⼆、判断下列矩阵是否为正交矩阵184999814;;999447999Q ??-- ? ? ?=-- ? ? ?--
三、求⽅阵A 的特征值与特征向量，其中123213336A ?? ?= ? ???.
四、判断下列⼆次型的正定性222123121323243x x x x x x x x x +++-+。
