第2课时 运用完全平方公式因式分解
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点)
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)
一、情境导入 1．分解因式：
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(1)x－4y； (2)3x－3y；
422
(3)x－1； (4)(x＋3y)－(x－3y).
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2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a＋2ab＋b、a－2ab2
＋b〞的式子分解因式吗？
二、合作探究
探究点：运用完全平方公式分解因式
【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式 以下多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
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(1)a＋ab＋b；(2)a－a＋；(3)9a－24ab＋4b；(4)－a＋8a－16.
4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(1)a＋ab＋b，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a－a＋11222
＝(a－)；(3)9a－24ab＋4b，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－42
2
2
2
a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．应选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项为哪一项这两个数(或式)的积的2倍．
【类型二】 运用完全平方公式分解因式 因式分解：
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(1)－3ax＋24ax－48a；
222
(2)(a＋4)－16a.
解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a，再把另一个因式(x－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a(x－8x＋16)＝－3a(x－4)；
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(2)原式＝(a＋4)－(4a)＝(a＋4＋4a)(a＋4－4a)＝(a＋2)(a－2).
方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
【类型三】 利用完全平方公式求值 2
2
2
22
2
x－4x＋y－10y＋29＝0，求xy＋2xy＋1的值．
解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决．
解：∵x－4x＋y－10y＋29＝0，∴(x－2)＋(y－5)＝0.∵(x－2)≥0，(y－5)≥0，
2222
∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴xy＋2xy＋1＝(xy＋1)＝11＝121.
方法总结：几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0. 【类型四】 运用因式分解进行简便运算 利用因式分解计算： 22
(1)34＋34×32＋16； 22.
解析：利用完全平方公式转化为(a±b)的形式后计算即可． 解：(1)34＋34×32＋16＝(34＋16)＝2500； 222
＝(38.9－48.9)＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键． 【类型五】 利用因式分解判定三角形的形状 222
a，b，c分别是△ABC三边的长，且a＋2b＋c－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的
形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a＋2b＋c－2b(a＋c)＝0，得a－2ab＋b＋b－2bc＋c＝0，即(a－b)＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．
【类型六】 整体代入求值 131322
a＋b＝5，ab＝10，求ab＋ab＋ab的值．
22
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解析：将ab＋ab＋ab分解为ab与(a＋b)的乘积，因此可以运用整体代入的数学
222思想来解答．
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解：ab＋ab＋ab＝ab(a＋2ab＋b)＝ab(a＋b).当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝
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×10×5＝125. 2
方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含代数式的形式，然后整体代入．
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三、板书设计
运用完全平方公式因式分解
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1．完全平方公式：a＋2ab＋b＝(a＋b)，a－2ab＋b＝(a－b). 2．完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)； (2)有两个同号的平方项；
(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在． 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领． 圆周角 教学目标
(1)通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质； (2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。
通过观察、思考实验探索等活动，分情况证明圆周角定理。向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣。 教学重点难点
1.重点 圆周角的概念和圆周角性质；
2.难点 认识圆周角性质需要分三种情况逐一证明的必要性。 教与学互动设计
〔一〕创设情景，导入新课
如下列图，A、B两点为足球球门的两端，现有三名运动锅分别站在C、D、E的位置，且A、B、C、D、E五点在以O点为圆心的同一圆上，请问：运发动完整地看见球门的视角一样大吗？
〔二〕合作交流，解读探究 【思考】
观察下面两组图形： 第一组： 第二组：
让学生指出第一组图中角的两边、第二组图中角的顶点的特点，找一找哪几个图同时具备两组图形的特点。得出结论：像〔2〕、〔6〕中的两条线段所成的角叫做圆周角。 【做一做】〔学生完成〕
C作⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C〔除点A、B〕，连结AC、AB，量出∠ACB的度数，记录下来。
AB观察思考： O∠ACB与直径AB存在什么关系？你还能画出直径AB所对的圆周角吗？一一量出它们的度数，记录下来，你发现了什么？
学生汇报自己的发现，通过全班交流，得出结论：直径或半圆所对的圆周角都相等，都等于090.
在教师的适当指导下，学生分组完成证明过程。
0
【想一想】90的圆周角所对的弦是圆的直径吗？你能找到圆形零件的圆心吗？
【实验探索】对于一般的圆周角，有什么规律呢？ 指导学生按以下步骤进行：
〔1〕观察∠ACB、∠ADB、∠AOB的位置特点，在练习本上画出符合这一位置特点的∠ACB、∠ADB、∠AOB。
〔2〕量一量：每个同学量出自己所画的∠ACB、∠ADB的度数，发现了什么？再把小组内各个同学所发现的综合起来。想一想 ：它们有什么共同特点吗？你发现了什么规律？再量出∠AOB的度数，你又发现了什么？试着把你的发现用文字表述出来。〔圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半〕 〔3〕如何证明这个命题的正确性呢？
教师提示：一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况。请你画出圆周角与圆心角的位置关系。 教师指导分析：①如果圆心角O在∠BAC的一边AC上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。
②如果圆心O在∠BAC内，我们如何证明这个结论成立呢？ ③如果圆心O在∠BAC两边的同侧，我们又如何证明呢？ 学生思考：能否把②、③转化为①的情况呢？
教师引导学生分析得出：只要作出直径AD，将∠BAC转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决。证明过程由学生完成。
〔4〕小组派代表讲述证明方法，全班交流，教师作出评价。
“同一圆〞改为“等圆〞成立吗？假设去掉这一条件，还成立吗？ 2.阅读教材第50页和第51页的两个性质，想想情境导入题如何答复。 〔三〕应用迁移，稳固提高 例1 求图中∠x的度数。
0
例2 如图，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，假设∠BOC＝120，那么∠BAD等于〔 〕 Ａ.300 Ｂ.600 Ｃ.750 Ｄ.900
例3 如下列图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D。 求证：BD＝CD
〔四〕总结反思，拓展升华
【小结】1.这节课主要学习了两个知识点： 〔１〕什么是圆周角？
〔２〕圆周角的性质及其作用。
2.方法上主要学习了圆周角性质的证明，渗透了“特殊到一般〞的思想方法和分类讨论的思想。
【拓展】1.如下列图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，
０
∠D＝130，
那么∠BAC的度数是 。
2．如下列图是一个图案，点A、B、C、D、E五等分圆，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是〔 〕
００００
A．180 B．150 C．135 D．120 课堂跟踪反响 夯实根底 ０
，那么它所对的圆心角是 ；
０
假设圆心角是100，那么它所对的弧所对的圆周角是 。
，直径所对的圆周角是 。 3．以下说法正确的选项是〔 〕
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．等弦所对的圆周角相等 C．等弧所对的圆周角相等 D．90度的角所对的弦是直径
4.圆的一条弦等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是〔 〕 A.30０ B.60０ C.150０ D.30０或150０ 提升能力
０
5.：如下列图，∠APC＝∠CPB＝60， 求证：△ABC是等边三角形。 A6.：如下列图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是AC上的一点，PA＝AB，连结PB分别交DAD、AC于点E、F。
AP求证：AE＝BE
F开放探究 CBE7.如下列图，足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到ACBDO点时，乙已跟随冲到点B，此时甲是直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好呢？
