第１９卷第４期 ２０１２年８月 工 程设计学报 Ｖ０Ｉ｜１９ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２０１２ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｄｅｓｉｇｎ ＤＯＩ：１０．３７８５／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—７５４Ｘ．２０１２．０４．０１０ 基于负载与啮合特征的ＷＮ齿轮传动接触强度分析 陈殿华，李成超 （大连大学机械工程学院，辽宁大连１１６６２２） 摘 要：为了探求ＷＮ齿轮传动的强度机理和失效原因，依据ＷＮ齿轮负载传动时齿面的三维几何接触特征和弹 性变形理论建立了接触强度分析模型，提出了基于ＷＮ齿轮啮合特征的接触强度分析方法．根据啮合过程中齿面 接触载荷、啮合齿轮副和接触点数的变化，利用有限元分析进行了各种状况下的齿面接触应力计算，明确了ＷＮ齿 轮接触强度设计中的螺旋角、中心距误差、齿宽及重合度对最大接触应力的影响结果．研究发现，当中心距和重合 度及螺旋角等变化时，ＷＮ齿轮与渐开线齿轮呈现出了完全不同的载荷特征和强度机理． 关键词：ＷＮ齿轮；啮合特征；接触强度；齿轮副 中图分类号：ＴＨ １３２．４１６；ＴＨ １１４ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００６—７５４Ｘ（２０１２）０４—０２９４—０４ Ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒ ｄｒｉｖｉｎｇ ｂａｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｌｏａｄ ｂｅａｒｉｎｇ ａｎｄ ｍｅｓｈｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅ ＣＨＥＮ Ｄｉａｎ—ｈｕａ，ＬＩ Ｃｈｅｎｇ—ｃｈａｏ （Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ １１６６２２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ ｆａｉｌｕｒｅ ｃａｕｓｅｓ ｏｆ ＷＮ（Ｗｉｌｄｈａｂｅｒ－Ｎｏｖｉｋｏｖ） ｇｅａｒ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｉｎ ｌｏａｄｉｎｇ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｅａｔｕｒｅ ａｎｄ ｅｌａｓｔｉｃ ｄｅｆｏｒｍ ｏｆ ｍｅｓｈｉｎｇ ｔｏｏｔｈ ｆａｃｅ． Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｅｓｈｉｎｇ ｆｅａ— ｔｕｒｅ．Ｔｈｅ ｔｏｏｔｈ ｆａｃｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｓｓ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒ ｗｉｔｈ ｖａｒｉｏｕｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｗａｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ＦＥＭ ａ— ｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔｉｎｇ ｌｏａｄ，ｍｅｓｈｉｎｇ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｇｅａｒ ｐａｉｒｓ．Ｔｈｅ ａｆｆｅｃｔａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｈｅｌｉｘ ａｎｇｌｅ，ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｅｒ— ｒｏｒ，ｆａｃｅ ｗｉｄｔｈ ａｎｄ ｏｖｅｒｌａｐ ｒａｔｉｏ ｗｅｒｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｇｅａｒ．Ｉｔ ｉｓ ｄｉｓｃｏｖ— ｅｒｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｏａｄｉｎｇ ｆｅａｔｕｒｅ ａｎｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒｓ ａｎｄ ｉｎｖｏｌｕｔｅ ｇｅａｒｓ ａｒｅ ｃｏｍ— ｐｌｅｔｅｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ ａｎｄ ｏｖｅｒｌａｐ ｒａｔｉｏ ａｎｄ ｈｅｌｉｘ ａｎｇｌｅ ｗｅｒｅ ｃｈａｎｇｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＷＮ ｇｅａｒ；ｍｅｓｈｉｎｇ ｆｅａｔｕｒｅ；ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｎｇｔｈ；ｇｅａｒ ｐａｉｒｓ ＷＮ是空间点多接触啮合传动，比渐开线齿轮 具有更好的承载能力．ＷＮ齿轮传动的强度设计涉 及接触变形、摩擦润滑、系统误差及负载特性等，是 多因素复合产生的损伤失效问题，所以应从ｗＮ齿 齿轮传动的接触强度分析模型． ＷＮ齿轮与渐开线齿轮不同，啮合运动副的接 触点不是沿齿高方向移动而是沿齿宽方向的螺旋线 移动．ＷＮ齿轮通常是双圆弧轮齿，但其齿形构成有 所不同，中国采用的是双阶式，日本和欧美采用的是 无阶式双圆弧．有关上、下两圆弧的衔接方式，基于 对传动和接触的影响，国内外学者和工程技术人员 轮的啮合特征、负载变化、系统误差等的相互影响进 行综合分析研究．为此，本研究在文献Ｉ－１－１ ＷＮ齿轮 啮合仿真接触分析的基础上，参考文献［２—５］的原理 和方法，依据齿轮的接触载荷变化，考虑系统误差及 ＷＮ齿轮啮合特点，运用空间几何分析理论，建立该 收稿日期：２０１２—０２—２１． 进行了深入的研究，其成果都在工程中得到应用． 图１是中国式ＷＮ齿轮啮合传动时齿面接触 基金项目：国家自然科学基金面上项目（５１０７５０４７）． 作者简介：陈殿华（１９５３一），男，辽宁大连人，教授，博士，从事机械设计及理论和ＣＡＤ／ＣＡＥ方面的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｄｉａｎｈｕａ ＠ｄｌｕ．ｅｄｕ．ｃａ． 第４期 陈殿华，等：基于负载与啮合特征的ｗＮ齿轮传动接触强度分析 的三维有限元分析模型．本研究以齿轮传动主动轮 齿一接触副一从动轮齿为研究对象，取凸凹圆弧齿 跑合轮廓上的接触区域几乎没有改变．所以圆弧齿 轮的接触面积要比渐开线齿很多． ＷＮ齿轮的啮合齿轮副分别是２个凸凹圆弧螺 面为三维几何接触模型，针对啮合中各种因素的复合 影响，进行ＷＮ齿轮负载啮合实况和接触强度分析． 图１ ＷＮ齿轮副的啮合接触模型 Ｆｉｇ．１ Ｍｅｓｈｉｎｇ ｃｏｎｔａｃｔ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒ ｐａｉｒ １ 齿面接触特征及其接触应力 ｗＮ齿轮与渐开线齿轮相比，虽有较高的接触 疲劳强度，但是传动性能和接触应力会因系统弹性 变形、中心距微小变化等引起显著的变化．ＷＮ齿轮 与渐开线齿轮不同的是有多个接触点受力，啮合传 动过程中其接触点沿齿宽方向移动，受力方向基本 不变．但其接触点在齿高方向的位置将随中心距增 减而上下移动，接触点在齿高方向移动的时候，受力 方向发生变化对接触压力产生较大影响． １．１ 接触区域和接触压力的分析 图２所示的是ＷＮ齿轮齿面接触区域的示意图． 虽然理论上圆弧齿轮是点接触，但一般情况下齿轮的 啮合接触区域是矩形或椭圆形的，这是接触弹性变形 和跑合后凸凹曲面曲率变化所致．另外设计时考虑了 制造误差、安装误差等因素的影响，为了避免轮齿比 较尖锐的区域接触，轮齿凹曲面的曲率半径相比啮合 的轮齿凸曲面的曲率半径要大一些． 图２接触区域图形表示 Ｆｉｇ．２ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｒａｗｉｎｇ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔ ｒｅｇｉｏｎ 经过一段时间运转或跑合后轮齿曲面的曲率半 径将会大小不同变化至使接触区域变成近似矩形． 而渐开线齿轮的接触区域是狭长的矩形，即使运行 旋曲面，根据两接触曲面的空间关系，研究把圆弧齿 轮啮合的凸凹齿面近似地看作是一个橄榄球形体和 一个马鞍形体的曲面接触［２］，如图３所示，与渐开线 斜齿轮接触曲面的２个圆锥体不同，作为赫兹接触 分析模型，用这２个３维曲面来代替两齿啮合齿面． 形凹齿曲面 形凸齿曲面 图３ ＷＮ齿轮啮合齿面的２个近似形体 Ｆｉｇ．３ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｒａｗｉｎｇ ｏｆ ｔｗｏ ｂｏｄｉｅｓ ｆｏｒ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｍｅｓ— ｈｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅｓ ｏｆ ＷＮ Ｇｅａｒｓ 根据上述模型和赫兹接触理论，可推导出其接 触区域的尺寸和最大赫兹压力的计算公式： 口一０．１０５ ３ 一０．１１１ ，１ ｂ一０．００７ ５９ 一０．０８０ １ ，ｌ（１） ＝＝＝寻 一６３ ， Ｊ 式中：口，ｂ——椭圆的长短轴长度，ｍｍ Ｆ ，Ｆ ——啮合齿面的法向力和切向力，Ｎ ——最大的赫兹接触应力，ＭＰａ． 当法面齿廓圆弧半径为ｌＤ 一７．５３ ｍｍ，』Ｄｚ一 ８．２８ ｍｍ，模数ｍ一５．６２ ｍｍ，螺旋角口一２５。，切向 载荷Ｆ 一２ ２５０ Ｎ作用在测试齿轮上时，由方程式 （１）计算得２ａ一２．９１ ｍｍ，２ｂ一２．０９９ ｍｍ， 一 ８２５．５３ ＭＰａ．如果经过运转跑合，当半径比一致时， ＷＮ齿轮的轮齿啮合接触区域形状会发生改变，由 椭圆变成矩形这样的齿轮副的接触计算公式如下所 示： ２・＂ ’］ ｂ一０．０２￣／Ｆ ， （２） 一Ｉ Ｐ…＝８．５￣／Ｆ ．Ｊ 渐开线斜齿轮啮合齿之间的最大接触压力可以 通过考虑２个被截断的圆锥体的接触近似推算出 来．取在等效高度中间的接触宽度为２口，最大接触 压力Ｐ 可以通过公式（３）进行计算： 一Ｈ・２ ｍｍ＇ 一ｂ一０．００１ ７２￣／Ｆ 一０．００１ ８￣／Ｆ ， ］ （３） ———— ｌＰ 一１３．３４￣／Ｆ 一１４．２￣／Ｆ ． Ｊ 工程设计学报 第１９卷 例如：模数ｍ一５．６２ ｍｍ，螺旋角卢一２１．９４。， 切向载荷Ｆ ＝＝：２ ２５０ Ｎ作用在测试齿轮上时，由方 ２．１啮合过程中接触应力变化 程式（３）算得：２ｂ＝０．１７１ ｍｍ，Ｐ 一６７３．５７ ＭＰａ， 则接触区域的长度２ａ一２８．４１ ｍｍ． １．２ ＷＮ齿轮啮合接触载荷分析 首先考察整个啮合过程中接触应力的变化．图 ５是在一定负载转矩作用下ｗＮ齿轮在整个啮合过 程中接触应力的变化曲线．横轴表示啮合齿轮副和 接触点数，纵轴表示接触应力．齿面接触应力的大小 也随着载荷作循环规律变化，最大接触应力出现的 位置及大小测量基本一致． ８００ ７００ 由于ＷＮ齿轮啮合过程中齿轮副接触点数和 同时参与啮合的齿轮对的变化，接触载荷也在急剧 改变，对接触应力的计算带来直接影响．所以本研究 首先参考文献Ｅ６］的动载分析，对齿面接触载荷进行 分析． 图４是ＷＮ齿轮啮合循环过程中载荷波动比 值和轮齿啮合对数倍率变化曲线．由于系统误差和 刚度的影响，实际的载荷的位置有所偏移，但总的趋 势变化是相同的．研究得知，由于接触齿轮副和点数 不同，１对齿啮合的载荷约为３对齿啮合的４．８倍． 枢 圻 面 蜩 Ⅱ 孥 图４啮合过程中载荷波动与齿轮副倍率分析 Ｆｉｇ．４ Ｒａｔｉｏ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｌｏａｄｉｎｇ ｗａｖｅｆｏｒｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅａｒ ｐａｉｒｓ ｉｎ ｍｅｓｈｉｎｇ ２ 啮合过程中齿面接触强度分析 如上述由于传动过程中同时啮合的齿轮副对数 和齿面接触点数有规律地发生变化，所以齿面接触 载荷的大小必然随之作循环规律变化．ＷＮ齿轮啮 合传动的任意时刻的载荷与运动状况分析为其强度 设计提供了实际的计算依据．为验证上述理论方法 的有效与实用性，将进行强度的实例计算，所取得的 计算数据如表１所示． 表１齿轮系传动参数 Ｔａｂｌｅ １ Ｇｅａｒ ｔｒａｉｎｓ ｄｒｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ 参数名称 量值 小齿轮 大齿轮 ６ｏ０ 蠢５００ ４ 蟠 １ 接触点和啮合齿轮副数 图５啮合位置对接触应力的影响 Ｆｉｇ．５ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｍｅｓｈｉｎｇ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｎ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｓｓ 如图５下部所示，黑点表示接触点数，横线表示 接触齿轮副数．当啮合由４点３副进入２点２副时 接触应力突然大幅度增大，Ｏ＇Ｈ一／ａ ｉ ≈１．５．载荷的 急剧变化会带来振动和冲击，因此建议轮齿面修形 以减缓载荷的突变，改进传动性能． ２．２螺旋角对最大接触应力的影响 在ＷＮ齿轮传动设计中，螺旋角的选择关系到 传动性能和接触载荷的变化．图６是螺旋角对齿面 最大接触应力影响的关系曲线．纵轴表示最大接触 应力 ｎ ，横轴是螺旋角 随着螺旋角增大，ＷＮ 齿轮的接触应力较快地减小．而渐开线齿轮则相反， 为缓慢增大．则当螺旋角 一３Ｏ。时，２种齿轮的最大 接触应力相等． 日 目 摇 蝎 图６螺旋角对齿面接触应力的影响 Ｆｉｇ．６ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｈｅｌｉｃａｌ ａｎｇｌｅ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｓｓ ２．３ 中心距对最大接触应力的影响 图７是ＷＮ齿轮啮合时的最大接触应力和中 心距微小变化的关系曲线．纵轴表示中心距变化时 第４期 陈殿华，等：基于负载与啮合特征的ＷＮ齿轮传动接触强度分析 的最大接触应力，横坐标是取各齿轮对的标准中心 距的变化量 ．因为ＷＮ齿轮允许的中心距变化范 围比较小，所以取△ｎ的变化范围为一０．０７５～Ｏ．１２ ｍｍ．而渐开线齿轮具有传动的可分性，对中心距变 化不敏感，所以取 的变化范围为一０．２～０．２ ３ 结 论 本文针对ＷＮ齿轮啮合特征，结合该齿轮啮合 原理及其齿面几何形状与接触方式的特点，依据空 间曲面接触及赫兹弹性接触理论，成功创建了该齿 重 蜒 图７ 中心距变化对齿面接触应力的影响 Ｆｉｇ．７ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｏｎ ｃｏｎｔａｃｔ ｓｔｒｅｓｓ 图７的结果是在载荷不变情况下计算的．ｗＮ 齿轮随Ａａ增加 ｎ有减小的趋势，变化的速度比渐 开线齿轮要快，渐开线齿轮的 随着△ｎ增加而增 大，从中可见渐开线齿轮的 对于Ａａ变化比ＷＮ 齿轮要平缓．这是２种齿轮接触时相对曲率半径随 着Ａａ的增减不同所致．可见渐开线齿轮传动的可 分性． ２．４齿宽和重合度对接触应力的影响 图８是齿面接触应力随齿宽和重合度变化曲线． 以主动齿为例，开始进人啮合时是上圆弧齿面接触， 此时前一对轮齿还未脱离啮合，齿面的接触载荷并不 大，随着啮合的进行，由于齿宽和重合度的关系，前一 对轮齿脱离啮合，接触应力达到峰值，然后迅速下降． 最大接触应力变化如图８所示，随着啮合的进行，齿 面接触点数和齿轮副数呈规律性变化，接触载荷波动 下降，可见齿面接触应力变化与载荷波动相似． 轮传动过程中接触强度分析模型．利用３维有限元 及其接触应力分析方法，进行了啮合过程中载荷作 用不同位置时齿轮的强度特性分析，在考虑中心距 误差、螺旋角和齿宽变化的综合影响情况下，精确计 算分析了齿轮的齿面接触载荷、齿面接触应力．通过 实例应用分析及与实验结果的比较证实了本方法正 确有效，具有实用价值，为ｗＮ齿轮传动的工程设 计提供了应用基础． 参考文献： Ｅ１］陈殿华，田中道彦，商桂芝，基于有限元方法的ＷＮ齿 轮啮合仿真接触分析［Ｊ］．机械科学与技术，２００６，２５ （１）：１１９－１２２． ＣＨＥＮ Ｄｉａｎ－ｈｕａ，ＴＡＮＡＫＡ Ｍｉｃｈｉｈｉｋｏ。ＳＨＡＮＧ Ｇｕｉ— ｚｈｉ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｓｈｉｎｇ ａｎｄ ｃｏｎｔａｃｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅ— ｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００６，２５（１）：ｌ１９－１２２． ［２］ＩＳＨＩＢＡＳＨＩ Ａ．ＹＯＳＨＩＮＯ Ｈ．Ｐｏｗｅｒ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｅｆｆｉ— ｃｉｅｎｃｉｅｓ ａｎｄ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｔ ｔｅｅｔｈ ｏｆ Ｎｏｖｉｋｏｖ－ Ｗｉｄｈａｂｅｒ ａｎｄ ｉｎｖｏｌｕｔｅ ｇｅａｒｓ［Ｊ］．ＡｓＭＥ Ｊ Ｍｅｃｈ Ｄｅｓ， １９８５，１０７（３）：７４－８１． ｒ３］ＧＡＢＩＣＣＩＮＩ Ｍ，ＢＲＡＣＣＩ Ａ，ＧＵＩＧＧＩＡＮＩ Ｍ．Ｒｏｂｕｓｔ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏａｄｅｄ ｃｏｎｔａｃｔ ｐａｔｔｅｒｎ ｉｎ ｈｙｐｏｉｄ ｇｅａｒｓ ｗｉｔｈ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｍｉｓａｌｉｇｎｍｅｎｔｓ［Ｊ］．ＡＳＭＥ Ｊ Ｍｅｃｈ Ｄｅｓ， ２Ｏ１０，１３２（４）：０４１０１０—１—８． ［４］陈殿华，李玉光．基于弹流润滑与动力学耦合的ＷＮ齿轮传 动的强度设计［Ｊ］．工程设计学报，２００９，１６（５）：３６４－３７１． ＣＨＥＮ Ｄｉａｎ—ｈｕａ，Ｌｉ Ｙｕ—ｇｕａｎｇ．Ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｅｌａｓｔｏｈｙｄｒｏｄｙａｍｉｃ ｌｕｂｒｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ Ｄｅ— ｓｉｇｎ，２００９，１６（５）：３６４—３７１． ［５］ＣＨＥＮ Ｄｉａｎ－ｈｕａ，ＺＨＡＮＧ Ｚｈｏｎｇ—ｗｅｉ。Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎａＩｙ— ｓｉｓ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔ ｐａｔｔｅｒｎ ａｎｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ ＷＮ ｇｅａｒｓ ｈａｖｉｎｇ ｔｏｏｔｈ ｓｕｒｆａｃｅ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｄｅ— ｓｉｇｎ，２０１２，４７９—４８１（１３）：９４４—９４８． ［６３ ＴＡＭＭＩＮＡＮＡＶ Ｋ，ＫＡＨＲＡＭＡＮ Ａ．Ａ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｆａｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｓｐｕｒ ｇｅａｒ ｐａｉｒｓ［Ｊ］．ＡＳＭＥ Ｊ Ｍｅｅｈ Ｄｅｓ，２００７，１２９（１）：７７—８３．
