数学物理学报 ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ 二项分布可靠度Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质 韩明 （宁波工程学院理学院 浙江宁波３１５２１１） 摘要：作者以前提出了一种新的参数估计方法～Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计法，对二项分布的可靠度， 给出了Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的定义、Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计和多层Ｂａｙｅｓ估计公式，但没有给出Ｅ—Ｂａｙｅｓ估 计的性质．该文给出了二项分布可靠度Ｅ．Ｂａｙｅｓ估计的性质． 关键词：二项分布；可靠度； Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计；多层Ｂａｙｅｓ估计． ＭＲ（２０００）主题分类：６２Ｆ１５；６２Ｎ０５ 中图分类号：Ｏ２１３．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—３９９８（２０１３）０１—６２—０９ １ 引言 关于参数估计，近年来用Ｂａｙｅｓ方法取得了一些进展．特别是文献『１］提出了多层先验分 布的想法、文献［２］提出了多层先验分布的构造方法以来，多层Ｂａｙｅｓ方法在参数估计上取 得了一些的进展．但用多层Ｂａｙｅｓ方法得到的结果一般都要涉及积分的计算（有时甚至是一 些高维的复杂积分），虽然有ＭＣＭＣ（Ｍａｒｋｏｖ Ｃｈａｉｎ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ）等计算方法（见文献ｆ３ ５１）， 但在有些问题的应用上还是不太方便，这在一定程度上制约了多层Ｂａｙｅｓ方法的应用．那 么在各种方法比较无甚优劣时，估计方法的易算性就显得尤为重要，这是一个值得重视的问 题．文献［６１中提出了“参数的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计法”，正是为了解决这些问题． 在有些情况下，很难确定产品的寿命分布类型，有时虽然产品的寿命分布类型已知，但 获得的数据仅仅是失效个数，而无精确的失效时间，这时我们可以借助非参数方法来获得可 靠度的估计．设某产品的寿命分布类型是未知的，现从中随机抽取ｎ个样品进行定时截尾 试验，若在截尾时间段内有 个样品失效，又产品的失效与否是互相的，则 是一个 服从二项分布的随机变量，于是有 Ｐ｛Ｘ＝ｒ）＝ Ｒ一 （１一Ｒ） ，＿ｒ＝０，１，…，ｎ． （１） 其中０＜Ｒ＜１，Ｒ为产品的可靠度（ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ）． 本文在第二节中，叙述了文献【６］中的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计；在第三节中，叙述了文献【６］中 的多层Ｂａｙｅｓ估计；在第四节中，给出了Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质；在第五节中，给出了数值算 例． 收稿日期：２０１１—０６—２６；修订日期：２０１２—１０—１１ Ｅ—ｍａｉｌ：ｈａｎｍｉｎｇ６１８＠２ｌｃｎ．ｃｏｍ 基金项目：宁波工程学院科研启动基金资助 Ｎｏ．１ 韩明：二项分布可靠度Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质 ６３ ２ Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计 若Ｒ的先验分布为其共轭分布－－Ｂｅｔａ分布，其密度函数为 ￣（Ｒｌａ，ｂ）＝Ｒ。一 （１一Ｒ） ～／Ｂ（ａ，６）， 其中０＜Ｒ＜１，Ｂ（ａ，ｂ）＝ ｔ一 （１一ｔ）ｂ－１ｄｔ是Ｂｅｔａ函数， ０＞０和ｂ＞０为超参数 （ｈｙｐｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓ）． 根据文献 选取０和ｂ应使￣（Ｒ Ｌａ，ｂ）是Ｒ的单调增函数，为此求丌（Ｒ ｂ）对Ｒ的 导数 ：Ｒａ－２（１一Ｒ）ｂ－２［（ｎ—１）（１一Ｒ）一（ｂ一１）Ｒ］／Ｂ（ａ，６）． ＞０此时 ，注意到。＞０，ｂ＞０，且０＜Ｒ＜１，当ｎ＞ｌ，０＜ｂ １时，有ｄ』 ￣（Ｒｌａ，ｂ）是Ｒ的单调增函数．当ｂ：１和ａ＞１时，￣（Ｒｌａ，ｂ）仍然是Ｒ的单调增函数，此 时（称为幂分布）其密度函数为 ￣（Ｒ Ｌａ）＝ａＲ一 ， （２） 其中０＜Ｒ＜１，ａ＞１为超参数． 从Ｂａｙｅｓ估计的稳健性的角度看，尾部越细的先验分布常会造成Ｂａｙｅｓ估计的稳健性 越差（文献［７１），因此。不宜过大，应有一个界限．设ｃ为ａ的上限（ｃ＞１为常数），这样可 以确定超参数ａ的范围为１＜ａ＜ｃ（常数ｃ的具体确定，见数值算例）． 文献［６］中给出了参数Ｒ的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的定义和Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计，现在分别叙述在如下 的定义１和定理１中． ２．１ Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的定义 定义１设ａ∈Ｄ，若ＲＢ（ａ）是连续的，称 ＲＥＢ＝／Ｄ ｎ） ）ｄｎ 为Ｒ的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计（ｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ），其中 五Ｂ（ｎ）７ｒ（０）ｄｎ是存在的， Ｄ＝｛０：１＜ ＜ｃ），ｃ＞１为常数， 丌（０）是。在区间Ｄ上的密度函数， 五Ｂ（０）为Ｒ的 Ｂａｙｅｓ估计（用超参数ａ表示）． 从定义１可以看出，Ｒ的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计 ＲＥＢ＝ 。） ）ｄａ＝Ｅ （。）］ 是Ｒ的Ｂａｙｅｓ估计ＲＢ（ａ）对超参数的０数学期望．即Ｒ的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计是Ｒ的Ｂａｙｅｓ估 计对超参数的数学期望（ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）． ２．２ Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计 定理１对二项分布（１）式，若几个样品中有ｒ（ｒ＝０，１，…，ｎ）个失效，兄的先验密度 函数￣（Ｒｌａ）由（２）式给出，则有如下结论 （ｉ）在平方损失下，Ｒ的Ｂａｙｅｓ估计为ＲＢ（ａ）： ａ＋ ｎ－ｒ，． （ｉｉ）若超参数ａ的先验密度函数分别为 （ｃ～１） ，１＜ ＜。 一一 数学物理学报 Ｖｏ１．３３Ａ 丌２（ｎ）＝ １，１＜ｎ＜ｃ， ｎ）＝ ， ＜ｎ＜ｃ， 则Ｒ的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计分别为 ＲＥＢ１￣１一 ｃ ｎ（ ） ＲＥＢ２￣１一 （一ｌ ｌ ｎＣ （＼ ｎ ＋Ｚ ，）， ｓ一 ｛（ｃ－ ｃ州 （ ）） ３多层Ｂａｙｅｓ估计 若Ｒ的先验密度函数ｚｃ（Ｒｌａ）由（２）式给出，超参数ａ的先验密度函数分别由７ｒｌ（ａ），７ｒ２（ａ） 和７ｒ３（ａ）给出，则Ｒ的多层先验密度函数分别为 。＝ ０（ｃ ）０＜Ｒ＜ 丌ｓ（Ｒ）＝ １／１。ｎＲ。一 ｄｎ，。＜Ｒ＜ ， Ｒ）一 ２ 。 一 。＜Ｒ＜１． 文献【６］中给出了Ｒ的多层Ｂａｙｅｓ估计，现在叙述在定理２中． 定理２对二项分布（１）式，若ｎ个样品中有ｒ（ｒ＝０，１，…，礼）个失效，Ｒ的多层先验 密度函数分别由丌４（Ｒ），丌５（Ｒ）和７ｒ６（Ｒ）给出，则在平方损失下Ｒ的多层Ｂａｅｙｓ估计分别为 ＲＨＢ１ 鲁 ， ］Ｚ［ＨＢ２＝ ｆｌ ａＢ（ａ＋ｎ—ｒ＋１，ｒ＋１）ｄａ ｆｌａＢ（ａ＋礼一ｒ，ｒ＋１）ｄａ’ ＲＨＢ３－￣ ＇４ Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质 以上在定理１中，在超参数的三个不同先验分布下分别给出了Ｒ的三个Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计， 那么它们之间有什么关系呢？在定理１和定理２中分别给出了冗的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计和多层 Ｂａｙｅｓ估计，那么它们之间又有什么关系呢？以下将要给出的两个定理（定理３和定理４）回 答了这些问题． ４．１ ＲＥＢ１，ＲＥＢ２和ＲＥＢ３的关系 定理３在定理１中，当１＜ｃ＜ｎ＋３时，有以下两个结论 ＮＯ．１ 韩明：二项分布可靠度Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质 ６５ （ｉ） ＲＥＢ１＜ＲＥＢ２＜ＲＥＢ３ （ｉｉ） ｌｉｍ ＲＥＢ１＝ｎ— 。ｏ ｌｉｍ ＲＥＢ２＝ｌｉｍ ＲＥＢ３ ｎ—｝。。 ｎ—｝∞ 证 （ｉ）根据定理１，有 ＲＥＢ３－－ＲＥＢ２－－ …３ （ 芋） ｃ— 。。 ． （３） ＲＥＢ２－ＲＥＢ１－ ｃ２ｎ＋ｃ＋３） ｎ（ ） ｃ一 Ｚ＝Ｊ （４） 由于当一１＜ ＜ｌ时，有ｌｎ（１＋ ）＝ 一 Ｘ２＋了Ｘ３一 Ｘ４＋ ∑（一１） 等，令ｚ＝帛 当１＜ｃ＜几十３时，有０＜精＜１，则 ｃ２… ｎ（ ） （ｎ＋２）＋（ｃ＿１）］ｌｎ（１＋ ） ＝２（ｃ－１）一 礼十 Ｊ＋詈 【 ｎ 十 Ｊ ．． 。２（ｃ一１） ２（ｃ一１） ４（凡＋２）。 ’５（ｎ＋２） ．２（Ｃ一１）。 ＋ ６（ｎ＋２） ：２（。一１）＋『 （ｃ一１）。 １（Ｃ一１）。 １（ｃ一１） １（Ｃ一１） ＋礼＋２ 礼＋２）。 ４（２（ｎ＋２） 。３（ｎ＋２） １（ｃ一１） ３（ｃ一１） ６（礼＋２）０ ６（ｎ＋２）。 ２０（扎＋２） 吉 一 ２（ｃ一１）。 １５（佗＋２） ］＋ （５） 当０＜ ｃ－－１＜１，有 １（Ｃ一１）。 ｌ（Ｃ一１） １（Ｃ一１）。６（ｎ＋２） ６（ｎ＋２）。 ６（ｎ＋２） ＝一一 （ 一 ）＞。 ３（Ｃ一１） ２０（ｎ＋２） 由上式和（５）式，有 ２（Ｃ一１）。 ｌ（Ｃ—１） １５（佗＋２） ６０（Ｔｂ＋２） 『Ｊ ９一 ２］＞。佗＋ Ｊ ， ｃ２ｎ＋ｃ ｎ（ ）一２（ｃ－１）＞。． 根据（６）式，（３）式和（４）式，有五ＥＢ３．＞五ＥＢ。和五ＥＢ２＞五ＥＢ１，所以 ＲＥＢ３＞ＲＥＢ２＞ＲＥＢ１ ㈤ （ｉｉ）当０＜ ｃ－１＜１，有 （ｃ－１）３ １（Ｃ一１） ６ ４－２）０ ３（Ｃ一１） ｌｉｍ Ｉ ２（Ｃ一１）。 ］＝（ｃ ［丢（幂） （ 一 ） （ ） ［９＿８（ ） ｎ－－＋ｏｏ【 ２０（ｎ＋２） １５（ｎ＋２） ｌ＝（ｃ ６６ 根据（３）一（８）式，有 ｌｉｍ（ＲＥＢ３一ＲＥＢ２） ＝ ：数学物理学报 、ｂ１．３３Ａ 一石１ （ｃ－１）ａ］＋ｎｌｉｍ￣［３（ｃ－１）５ 一 ２丽（ｃ－，）６］＋．．．） ３（ｃ－１）５ ０， ｌｉａ（ｒＲＥＢ２一ＲＥＢ１） ＝ （ｃ－１）４ （ｃ－１）３１一石０． ］＋．．・＞ Ｉ ＝所以ｌｉｍ五Ｅ日１：ｌｉｍ矗ＥＢ２：ｌｉａ五ＥＢ３．ｒ ｎ—｝。。 ｎ—÷ｏｏ ｎ—｝。ｏ 定理３的（ｉ）说明，对超参数ａ的三个不同先验分布，相应的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计ＲＥＢｉ（ｉ＝ １，２，３）也不同．定理３的（ｉｉ）说明，五ＥＢｔ（ｉ＝ｌ，２，３）是渐近相等的；或当ｎ较大时， 氲ＥＢｉ（ｉ＝１，２，３）是比较接近的． ４．２ 五ＥＢｔ和矗Ｈｊ日ｔ的关系 定理４在定理１和定理２中，五ＥＢ 和五日Ｂｔ（ｉ＝１，２，３）满足 ｌｉｍ五ＥＢｔ＝ｌｉａ五日Ｂ （ｒｉ＝１，２，３）． 证若超参数ａ的先验密度函数为７１－１（０），根据定义１和定理１的（ｉ），有 ＲＥＢ１￣－ 咖 ＝ 。 当１＜ｎ＜ｃ时， 丽ａ＋ｎ－－ｒ是连续的，且有ｃ一０＞０，根据积分中值定理的推广，至少有 一个ａｌ∈（１，ｃ），使 。 ＝ ｄｎ ＝ ａｌ ｎ ＋ ＋１【（一１） ｃ、 ｃ ｄｎ）Ｊ Ｃ Ｊｌ厂。一０１＋礼＋１‘ ± 二！ 在上式的两边取极限，得 ｌｉｍ五ＥＢ１：ｌｉｍ 根据Ｂｅｔａ函数和Ｇａｍｍａ函数的关系，有 ：１． （９） ＋ ｎ－ ｒ ＋１ ）ｒ（ｒ＋１） Ｂ（ａ＋ｎ－ｒ＋１，ｒ＋１）＝—ｒ（ａ一—．ａ ＋（．．．—ｒ（ａ＋ｎｒｒｒ＋ｉ ））（）（ａ＋ｎ＋１）ｒ（ａ＋ｎ＋１） ｎ．．－ｒ－．．．．———．．．．．．．． ————．—．．．．．．． —．．．．．．．．．．————＝ Ｂ（ａ＋ｎ－ｒ，ｒ＋１）． （１０） ＮＯ．１ 韩明：二项分布可靠度Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质 ６７ 根据定理２和（１０）式，有 Ｉ￣ＨＢ１ 二竺 皇 ± 二二± ！：± ０（ｃ—ａ）Ｂ（ａ＋几一ｒ，ｒ＋１）ｄａ （ａ干＋丽ｎ－ｒ）ｎ（ｃ—ａ）Ｂ（ａ＋ｎ—ｒ，ｒ＋１）ｄａ ｊ；ａ（ｃ—ａ）Ｂ（ａ＋札一－ｒ， 当１＜ａ＜Ｃ时， —ａ＋ｎ—＋ｌ疋Ｊｒ是连续的，土 日 ， 且有ａ（ｃ ａ）Ｂ（ａ＋ｎ ｒ，ｒ＋１）＞０，根据积分中值 定理的推广和（１１）式， 至少有一个ａ２∈ （１，ｃ），使 ａ＋ｎ—（ａ＋ｎ－－ｒ）。（ｃ ａ）Ｂ（ａ＋礼一ｒ． ＲＨＢ１ ａ２＋ｎ—ｒ １ ａ（ｃ—ａ）Ｂ（ａ＋ｎ一｜ｒ，ｒ＋１）ｄａ ．ｎ２＋ｎ＋１ 在（１２）式的两边取极限，得 ｌｉｍ ＲＨＢ１ ｌｌ・ｍ—兰 —二！：１ ｌ ｎ一。。０２＋ｎ＋１ 根据（９）式和（１３）式，有ｌｉｍ］￣ＥＢ１＝ｌｉａ ＲＨＢ１．ｒ 同理，可以证明ｌｉｍ ＲＥＢｔ＝ｌｉｍ ＲＨＢｉ（ｉ＝２，３）． Ｉ 定理４说明， 五 Ｂ 和五日Ｂｉ（ｉ＝１，２，３）是渐进相等的，或当ｎ较大时， 朋｛和 Ｒ日Ｂ （ｉ＝１，２，３）是比较接近的． ５数值算例 当ｎ＝１０，１００，１０００和ｃ：２，３，４，５，６时，根据定理１和定理２可以得到五耶ｉ和 五日Ｂ （ ＝１，２，３）．五 Ｂ 和五日Ｂｉ（ ＝１，２，３）的计算结果（ｒ：０，１），ｒ＝０时，见表１一表３； ｒ＝１时，见表４一表６． 表１ 五ＥＢ 和五日Ｂ 的计算结果（ｒ：ｏ） 注： 五ｉ一＝ｌ五打Ｂ。一五ＥＢ《『（１＝１，２，３），２．７２Ｅ一０７＝２．７２￣１０一 ６８ 数学物理学报 Ｖｌ０１．３３Ａ 表２ Ｉ￣ＥＢ２和ＲＨＢ２的计算结果（ｒ＝０） 从表１～表３我们发现，对相同的ｃ（ｃ＝２，３，４，５，６），ＲＥＢ 和ＲＨＢ （ｉ＝１，２，３）非常接 近，并且ＲＥＢ。和ＲＨＢ。（ｉ＝ｌ，２，３）满足定理４，ＲＥＢ （ｉ＝１，２，３）满足定理３．对不同的 ｃ（ｃ＝２，３，４，５，６），五ＥＢ 和五日 （ ＝１，２，３）都是比较稳健的． 表４ ＲＥＢ１和－￣ＨＢ１的计算结果（ ＝１） Ｎｏ．１ 韩明：二项分布可靠度Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质 ６９ 表５ 矗ＥＢ 和五ＨＢ 的计算结果（ｒ＝１） 从表４表６我们发现，对相同的ｃ（ｃ＝２，３，４，５，６）， ＥＢ。和 日Ｂ。（ｉ：１，２，３）非常接 近，并且五Ｅ甄和五 （ ＝１，２，３）满足定理４，五Ｅ鼠（ ：ｌ，２，３）满足定理３．对不同的ｃ （ｃ＝２，３，４，５，６），五朋 和五日Ｂ （ ＝１，２，３）都是比较稳健的． 在文献［６］中，作者建议Ｃ在２，３，４，５，６中居中取值，即Ｃ＝４；并建议超参数ａ的先 验分布取均匀分布（即超参数。的先验密度函数取７１＂２（ａ））． ６结束语 本文在文献［６］的基础上，给出了二项分布可靠度Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计的性质（定理３和定理 ４）．在定理１中，参数Ｒ的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计ＲＥＢｉ（ｉ＝１，２，３）可以不用积分表示（见定理１的 表述），也可以用积分表示（见定理４的证明过程）．在定理２中，参数Ｒ的多层Ｂａｙｅｓ估计 ＲＨＢｉ（ｉ：１，２，３）只能用积分表示，并且还要依赖Ｂｅｔａ函数（而Ｂｅｔａ函数本身还是用积分 表示的）．因此，从计算复杂性上看，参数Ｒ的Ｅ．Ｂａｙｅｓ估计比多层Ｂａｙｅｓ估计简单（从实际 计算中也可以体会到）． 从以上数值算例中可以看出，虽然矗ＥＢ｛与五日Ｂ （ｉ＝１，２，３）有所不同，但随着样本容 量ｎ的增加（１０— １００—一１０００），Ｊ￣ＥＢｉ与ＲＨＢｉ（ｉ：ｌ，２，３）越来越接近，并且五雎｝ 和 ７０ 数学物理学报 Ｖｏ１．３３Ａ 五ＨＢ （ ＝１，２，３）满足定理４，五朋 （ ＝１，２，３）满足定理３．从以上数值算例中还可以看出， 圳 五Ｅ 比五刖 （ ＝１，２，３）的‘‘极差’’小，因此Ｅ－Ｂａｙｅｓ估计比多层Ｂａｙｅｓ估计的稳健性好． 关于参数的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计法的研究，见文献［８—１１］． 参考文献 １］Ｌｉｎｄｌｅｙ Ｄ Ｖ，Ｓｍｉｔｈ Ａ Ｆ Ｍ．Ｂａｙｅｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅ１．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ （Ｓｅｒｉｅｓ Ｂ），１９７２，３４：ｌ＿４１ 韩明．多层先验分布的构造及其应用．运筹与管理， １９９７，６（３）：３１—４０ Ｂｒｏｏｋｓ Ｓ Ｐ．Ｍａｒｋｏｖ ｃｈａｉｎ ｍｏｎｔｅ ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｉａｎ，１９９８，４７（１）：６９一ｉ００ Ａｎｄｏ Ｔ，Ｚｅｌｌｎｅｒ Ａ．Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｂａｙｅｓｉａｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｅｍｉｎｇｌｙ ｕｎｒｅｌａｔｅｄ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｍｏｄｅｌｓ ｕｓｉｎｇ ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔ ｍｏｎｔｅ ｃａｒｌｏ ａｎｄ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．Ｂａｙｅｓｉａｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１０，５（１）：６５ ９６ Ａｎｄｒｉｅｕ Ｃ，Ｔｈｏｍｓ Ｊ．Ａ ｔｕｔｏｒｉａｌ ｏｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ＭｃＭＣ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２００８，１８（４）：３４３—３７３ Ｈａｎ Ｍ．Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｏｒｍ Ｂｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２０１ｌ，３５：２４１９ ２４２４ Ｂｅｒｇｅｒ Ｊ Ｏ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９８５ 韩明，耀．失效率的综合Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计．数学物理学报，２００５，２５Ａ（５）：６７８～６８４ 韩明．只有一个失效数据情形失效概率的Ｅ—Ｂａｙｅｓ估计．数学物理学报，２０１１，３１Ａ（２）：５７７－５８３ Ｈａｎ Ｍ．Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｆａｉｌｕｒｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２００７，４５：１２７２—１２７９ Ｈａｎ Ｍ．Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｆａｉｌｕｒｅ ｒａｔｅ．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２００９，３３：１９１５—１９２２ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ Ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｃＩｒｍ Ｂｉｎｏｍｉａｌ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｈａｎ Ｍｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｉｎｇｂｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆ ｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｉｎｇｂｏ ３１５２１１） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｒｅｖｉｏｕｓｌｙ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ａ ｎｅｗ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ－－Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｏｒｍ Ｂｉｎｏｍｉａ１ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉ— ｔｉｏｎ ｏｆ Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ；ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａ１ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ａｒｅ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｉｄｅｄ，ｂｕｔ ｔｈｅ ａｕ— ｔｈｏｒ ｄｉｄ ｎｏｔ ｐｒｏｖｉｄｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｙ ｏｆ Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ；Ｅ—Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ． ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：６２Ｆ１５；６２Ｎ０５
