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利用复合函数求导解应用题
作者：谭爱平
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第02期
一、复合函数求导法则
若y=f(μ),μ=g(x),则函数y=f［g(x)］称为由y=f(μ)与μ=g(x)复合而成的函数.其求导法则为： y′x=y′μ·μ′x.
二、复合函数求导解应用题 例1（课本P
40）水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm
时，圆面积的膨胀率是多少？ 解法一： 设时间为t，r=50t, 当r=250 cm时，t=5, 则S = S′|
πr2 = 2500t = 5
πt2,S′ = 5000
πt,
= 25000π(cm2/s).
解法二： 由S=
πr2得
S′t=2πr·r′t ∴ S′t|
r = 250 = 2π·250·50 = 25000π(cm2/s).
cm2/s.
答：圆面积的膨胀率是25000π
例2（课本P
40）酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以
20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，求水升高的瞬时变化率. 解法一：设时间为t,水的高度为h，对应的底面圆半径为r,则r=38h,
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由13πr2·h=V, ∴h=3V3π,V=20t, 当h=4时，t=3
π20.
π·t
13
,
所以建立h关于t的函数关系式为h=360×9 h′=13360×9π·t 则h′|
解法二：V=π3·9h
3=3
πh3
t = 3
－23,
π20 = 809π(cm/s).
V′t=9πh2·h′t ∴ 20 = 9 ∴ h′t|
π·4h = 4
2·h′t| =809π
h = 4
(cm/s).
答：水升高的瞬时变化率为809π cm/s. 点评：
例1中，S=f(r),r=g(t); 例2中，V=f(h),h=g(t), 于是S′ V′
t=S′
r·r′h·h′
t， t,
t=V′
不同的是，例1通过S′r,r′t求S′t，
例2通过V′t,V′h求h′t，充分体现了方程思想在复合函数求导法则中的灵活运用.
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例3一人以3 m/s
的速度沿地面向高为100 m的建筑物走去，当此人距离建筑物
50 m时，他与建筑物顶部的距离的改变率为多少？
解：如图所示，设AC=50 m，从A又走了x m，则此时他与 建筑物顶部的距离y=100 ∴y′t=12100 ∴ y′t|
2+（50－x）2
2+(50－x)2·2(50－x)·(－1)·x′t,
= 1212500·(-100)·3 = -355(m/s)
x = 0
答：他与建筑物顶部的距离的改变率为－355m/s. 三、小结
上述问题的变化率都是相对于时间t而言的，而解题需要建立的目标函数y与时间t的关系并不直接，有一中间变量μ,即它们的关系y=f(μ), μ=g(t),所以我们要求的y′y′
μ来求μ′
t.
t可以通过y′
μ·μ′
t来求解或通过y′
t，
（作者：谭爱平，江苏省泰兴市第三高级中学)
