道路降雪铲除模型及城市主干道降雪清除规划
姓名： 张达 指导老师： 王红权 所属学校：杭州第十四中学 学校所在省份： 浙江 国别： 中国
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摘要：雪是圣洁的化身，大雪纷飞在人们的思想中是充满诗意和浪漫的的场景。但是持续的降雪就会形成雪灾，对人们的生产，生活造成严重的影响，甚至会威胁人们的生命，财产的安全。雪灾在我国尤其是北方地区是一重要的，也是最常见自然灾害之一。雪灾造成严重经济损失和不良社会影响的最重要原因之一是道路积雪不能及时的清除，从而造成道路交通受阻甚至瘫痪。本文就是在持续降雪的情况下，研究了清雪成本与清雪速度的关系，路面积雪厚度与车流量的关系，综合考虑铲雪速度，铲雪成本，铲雪周期及道路积雪造成的经济损失等各因素，将这些因素与经济相联系，构造出一种铲除道路降雪保证道路畅通的通用数学模型，使得其铲雪成本和由于降雪造成的经济损失之和最小，将道路清雪问题转化为最优化问题。在模型的求解过程中，我们研究了求解最优化问题的几种方法，并选择用Lagrange方法进行求解，将最优化问题转化为非线性方程的求解问题。然后我们将常用的求解非线性方程的迭代方法进行了比较，最终确定使用牛顿迭代方法，对非线性方程进行求解，在求解过程中，我们应用MatLab画出函数曲线来确定迭代的初值，这样大大减少了迭代的步数。最后我们将模型应用与实际，并将结果与常识比较来验证模型的可行性。
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1. 引言
2008年初，一场五十年一遇的罕见的特大雪灾袭击了我国南方地区。这场雪灾席卷湖南、湖北、安徽、贵州、云南、广东、河南等十省区，给广大人民的生产，生活及生命财产带来巨大损失。仅交通方面就使这些地区的民航、铁路、高速公路全线受阻，数以千万计的旅客被迫滞留在机场，火车站和汽车站，生产、生活资料均无法正常输送。据不完全统计，这场雪灾造成的直接经济损失就在千亿元以上。其中道路积雪不能及时清除，是造成交通阻塞的一个重要原因。本文就是考虑在持续降雪的条件下，建立一种城市主干道降雪铲除模型，使得降雪造成的经济损失最小，希望能够为以后的抗击雪灾时提供一些参考。
2. 模型的建立与求解
这里我们首先将道路降雪铲雪的问题进行描述，接着对将后面用到的先验知识列出，然后进行一些假设，使得问题可以用数学表达式进行量化，最后用数学知识进行模型求解。
2.1问题的描述
假设我国某地区有持续的降雪，降雪时间很长超过12小时。为保持道路不因降雪太厚受阻，要求对其主要公路干道积雪进行定期清除。综合考虑清雪速度，清雪周期，清雪成本，及路面积雪造成的经济损失，确定清雪速度，清雪周期（也就是清雪方案）使得铲雪成本和经济损失最小。
2.2 先验知识
1) 在我国北方城市，主要使用铲雪机铲雪和人工铲雪两种方式清雪，而我们这里将两
种方式结合使用。由于单个人铲雪相对于铲雪机的清雪速度很小，而可以投入的人力很多，可以弥补使用不同数目的铲雪机造成的铲雪速度的离散，所以我们这里可认为铲雪速度的定义域是一个连续的区间，这样使得模型更具有一般性。 2) 清雪的成本与铲雪机的台数和投入的人数成正比，而铲雪机的台数和投入的人数与
清雪速度单调对应，清雪速度与铲雪机的台数和投入的人数的关系如下：
vlclean=n铲v铲.w车/wl路+n人.v人.w人/wl路 （1）
这里n表示数目，v表示单个清雪速度，w表示单个清雪宽度，wl路表示路宽。 清雪成本与铲雪机的台数和投入的人数的关系如下：
C成本=c铲.n铲+c人.n人 （2）
c表示单个清雪成本，由于c铲.n铲c人.n人且n铲v铲.w车/wl路n人.v人.w人/wl路。
所以C成本≈c.vlclean即清雪的成本与清雪的速度成正比。
3) 由于清雪一次完成后，人需要休息，机器需要维护，所以我们设清雪工作是周期性
的。另外由于人和机器通过休息恢复的时间与工作时间单调对应，所以我们设清雪周期与清雪一次所需要的时间成正比。
4) 雪越厚对车轮的阻力越大，下面我们研究一下雪的厚度与车轮受到的阻力的关系：
具体的受力分析我们省略，直接得到如下表达式：
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车轮 阻力 R h雪层 fz=kz.h其中，kz为形变系
数，h为雪厚度。
2.3 模型假设
对于模型，我们提出了以下假设并对一些下面要用的变量进行了定义：
1) 在整个下雪时间里，下雪的速度是匀速的，即单位时间降雪的厚度为固定的，我们这里
设为vhfall。
2) 设下雪持续的时间为：Totaltimefall。
3) 设城市主干道的长度为：Lroad,这里我们清除时先清除一半路宽。
4) 我们假设一旦清雪方案确定即铲雪机的台数和投入的人数确定，清雪的速度也就确定
了，并保持匀速。这里设单位时间清除路面的长度为vlclean(实际应用时可用平均铲雪速度代替，这里由于先清除一半路面的速度，而清雪速度换算为整个路宽，所以得出清雪速度应为实际铲雪车速度的一半)。
5) 我们这里设单次清雪成本(Cpclean)与清雪速度(vlclean)的关系为：
Cpclean=a(vlclean)r （3）
其中a为常数，r=1。
6) 我们定义清雪周期为T，清雪时间为Timepc。清雪周期与清雪时间的关系为：
T=k.Timepc （4） 7) 假设在整个降雪清雪过程，不考虑雪融化，和风的影响。
8) 下面我们来研究一下下雪对经济的影响：
［1］ 交通与带来的经济效益(Et)与车流量(Qstream)成正比
Et=ce.Qstream （5） 其中这里ce可看作收费站的单台车收取费用，车流量为一段时间内通过某路段车的数量。
［2］ 车流量与车速(v车)和时间(t)有关，假设每辆车的车速相同，则有
Qstream=
1
L车
∫v
0
t
车
(t).n车dt （6）
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其中：L车表示车长及车间距，n车表示道路可以并排行驶的车辆的数目，我们这里取L车=8m,n车=8台,则上式可以简化为：
Qstream=∫v车(t)dt （7）
0
t
［3］ 车速与雪的厚度有关，我们这里雪厚度取路面雪厚的平均值。
雪厚度可以表示为：
h(t)=vhfall.t （8） 其中：t表示路面落雪的时间，vhfall表示降雪速度。 车的加速度为：
a车(t)=
f车−fz
=a0−a雪.vhfall.t （9） m
其中：f车表示车的牵引力也可表示车刹车产生的阻力（可正可负），m表示车的质量。
车速可以表示为：
v车(t)=v车0+
∫a
0
t
车
(s)ds
2
=v车0+a0t−a雪.vhfall.t （10） 其中:v车0表示没有降雪时的车速，我们这里假设为常数。 这样降雪时车流量可以表示为： Qsstream=
∫
T
0
v车(t)dt=∫(v车0+a0s−a雪.vhfall.s2)dt
0
T
a02T3
（11） =v车0T+T−a雪.vhfall
23
未降雪时的车流量可以表示为：
Qstream=v车0T （12）
在一个铲雪周期内，由于下雪造成的经济损失为：
T3a02
Ect=ce(Qstream−Qsstream)=(a雪.vhfall−T)ce （13）
32
2.4 .模型的建立
根据前面的假设我们可以得到： 清除一次道路所需要的时间为：
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Timepc=
Lroad
（14） vlclean
清除周期与清除一次道路所需要的时间的关系为：
T=k.Timepc （15）
其中k为比例系数。 下雪期间清雪次数为：
n=
Totaltimefall
T
（16）
下雪所造成的总的经济损失可以表示成：
Ecto=(Ect+Cpclean).n （17）
将(1),(2),,(11),(12),(13),(14)代人（15）式得
TotaltimefallT3a0r2
Ecto=(a雪.vhfall.ce.−ce.T+a(vlclean))
T32
Totaltimefalla1
=a雪.vhfall.Totaltimefall.ce.T2−0.Totaltimefall.ce.T+a(vlclean)r.
32T
Totaltimefalla1
=a雪.vhfall.Totaltimefall.ce.(k.Timepc)2−0.Totaltimefall.ce.k.Timepc+a(vlclean)r.32k.Timepc
Totaltimefall1Lroad2a0Lroadr=a雪.vhfall.Totaltimefall.ce.(k.+a(vlclean).)−.Totaltimefall.ce.k.
Lroadvlcleanvlclean32k.
vlclean
=
c1vlclean2
−
c2
+c3(vlclean)r+1 vlclean
（18） 其中c1=
a1
a雪.vhfall.Totaltimefall.ce.k2.Lroad2，c2=0.Totaltimefall.ce.k.Lroad，
23
c3=a
Totaltimefallk.Lroad
。
这样模型简化为最优化问题，即选择适当的清雪速度（也就是清雪方案），使得由降雪造成
的经济损失最小。
2.5 模型的求解
对于最优化问题，常用的解决方法有：最陡梯度下降法，牛顿迭代法，共轭梯度法，Lagrange算法，最新的方法有模拟退火算法，Tabu搜索算法及遗传算法。在可供选择的清雪方案较少的情况下也可用穷举法，找出经济损失最小的清雪方案。这里由于使得模型更具
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有一般性，我们设清雪速度是个连续值，所以采用Lagrange算法来求最优解。
Lagrange算法的思想就是，对函数求导，根据函数的导数找到函数的极值点，也就是最优解。这里我们对经济损失函数求关于清雪速度的导数并令其为0得：
−
上面的方程可以化简为：
2c1c2
++c3.(r+1).(vlclean)r=0 （19） 32
vlcleanvlclean
x3[b1x4+b2x−b3]=0 (20) 其中x=vlclean，b1=2c3/Totaltimefall，b2=c2/Totaltimefall，b3=2c1/Totaltimefall。由于x≠0，这样模型可以转化为：
b1x4+b2x−b3=0 (21)
这样变为一元四次方程求解问题。
对于非线性方程的求解常用的方法有：二分法，弦割法，抛物线法及牛顿迭代法。由于牛顿迭代算法实现简单且迭代次数较少，所以我们使用牛顿迭代算法进行求解。
算法过程如下：
1) 选择迭代初值：xk=x0 2) 迭代计算xk+1：xk+1=xk−
求导运算。 3) 如果xk+1−xk
2
f(xk)4'
，其中f(x)=10x−200x−17.6，f(x)为'
f(xk)
<ε，则迭代终止；否则返回（2）.
由于算法的收敛情况及迭代步数与初值的选取有很大的关系，所以我们先用MatLab软 件画出函数的曲线，然后根据曲线确定迭代初值。
3. 模型结果的验证
下面我们通过查资料和一些经验，对上面的变量进行赋值，并将得出的结论与现实相比较，从而验证模型的合理性。我们这里取：降雪的速度为：
vhfall=0.01mm/s （22）
城市主干道的长度为：
Lroad=10km （23）
清雪周期为清雪时间的3倍即：
k=4 （24）
单次清雪成本(Cpclean)与清雪速度(vlclean)的关系为：
Cpclean=2×105.vlclean （25）
−3
设a雪=1.65×10,a0=−10,ce=10。将其代人得：
−4
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a2*2*105
b1===10
k.Lroad4*104
1
*a0*ce*k*Lroad 21
=*(−103)*10*4*104 2=−200 2
b3=*a雪.vhfall.ce.k2.Lroad2
32
=*1.65*10−4*10−5*10*16*108
3 =17.6 b2=
这样方程变为：
10x4−200x−17.6=0
我们令f(x)=10x−200x−17.6，用MatLab画出其函数图如下：
4
10x4−200x−17.6
800函数曲线600400f(x)2000-200-4000.511.52x2.533.5从图中可以看出，函数的零点在x=2.75附近。
为了更精确的确定零点位置，我们用牛顿迭代法进行求解，迭代初值取x0=2.75，迭代求得方程的解为：
x=2.7431,迭代误差为： e=2.2187*10−10。 清除道路的最佳速度为： vlclean≈2.74m/s
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我们查阅了吉林省北欧除雪机械制造有限公司的铲雪机的铲雪速度CZ—2420—I 多功能型除雪机的铲雪速度为0-15 km/h ≈0−5m/s，所以我们计算的结果与实际很接近。 清除道路所需要的时间为： Timepc=清雪的周期为：
Lroad10000
=≈1.01h≈1h
vlclean2.74
T=4.Timepc≈4h
及清雪约1h，剩余3h进行维护和休整。
在一个周期内积雪的厚度可达：
hmax=vhfall.T=13.2cm
通常路面积雪不得超过30cm，这也满足要求。 单次清雪成本(Cpclean)为：
Cpclean=2×105.vlclean=54.8w
在一个周期内，交通经济损失可以表示成：
T3a02
Ect=(a雪.vhfall−T)ce=105.32w
32
下雪所造成的总的经济损失为：
Ec≈480.36w
以上数据与实际情况十分接近，从而证明了模型的合理性。
4. 模型优化
如果资料充足，这里我们可以通过查资料得到一些数据，然后利用数据拟合得到表达式，对一些参数进行幅值，这将和实际更接近，更具有实用价值。
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