2019-2020学年山西省高二上学期10月联合考试数学(文)试题(解析版)

试题

一、单选题

1．已知集合A{x|x12}，Bx|x9，则AA.1,3 【答案】D

【解析】先化简集合A,B，再利用交集的定义求解． 【详解】

因为A{x|x12}{x|x1}，Bx|x9{x|3x3}，所以

B.(,1)

C.3,3

2B（ ）

D.3,1

2AIB{x|3x1}.

【点睛】

集合的基本运算是高考命题的热点内容，它常与不等式解法，函数的定义域、值域，及新定义运算问题交汇考查．

2．给出下列命题．①若ab，c0，则ac-2bc-2；②若ab，则

11；③若a2b2abc0，则；

A.①② 【答案】B

bc.其中正确的是（） abacB.①③

C.②③

D.①②③

【解析】逐个选项推导，对①③可直接推理，若能逆推成立则原命题为真，反之②则可举反例证明原不等式错误。 【详解】

对于①由c0知c20，故①正确；对于②，不妨设a1,b2．则②错误；

对于③，因为abc0．所以acab0,又bc0，所以【点睛】

判断不等式是否正确的问题，可带入特殊值取反例判断，也可以直接根据不等式等量逆推，若能推导出正确的表达式则原表达式成立，反之则不成立。

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11，故22ab110． abacbc，故③正确。 abac3．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27π 【答案】B

【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】

设圆柱的底面半径为r．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r．因为该圆柱的体积为54π，πr2h2πr354π，解得r3，所以该圆柱的侧面积为

B.36π

C.54π

D.81π

2πr2r36．

【点睛】

设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积S侧=2rh，体积VShr2h.

，1)，n(2，2)，若(2mn)//(m2n)，则（） 4．已知向量m(1A.-1 【答案】B

【解析】先分别计算向量2mn和m2n，再根据平行公式计算即可。 【详解】

因为2mn=(3λ＋4，4)，m2n=(―λ―3，-3)，且(2mn)//(m2n)， 所以(―3)·(3λ＋4)-4·(―λ―3)=0，λ=0． 【点睛】

根据平行公式设向量ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

5．若各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1a581, a23，则S5（） A.12l 【答案】A

2【解析】根据题意已知a1a581，可用等比数列性质a381算出a3，又由进而算出

B.0 C.1 D.2

B.122 C.123 D.124

a29可算得首项和公比，再利用公式求解S5即可。

【详解】

135因为a1a5a81，所以a39．又a23，所以q3，a11，S5121

1323【点睛】

若an是等比数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq，

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a1(1qn)前n项和公式Sn。

1q6．函数f(x)ln(3x4x)的定义域为（） A.(0，log43) 【答案】C

【解析】由题意知对数括号里面的值应3x4x0，求解不等式即可。 【详解】

B.(0，log34)

0) C.(，) D.(0，3令3x4x，即1，解得x0.

4【点睛】

本题考查对数中真数大于0，以及指数不等式的解法，通过图像单调性求解即可。 7．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A.若n，m，则mn B.若∥，m，则m C.若，xl，ml，则m

D.若mn，m，则n 【答案】B

【解析】选项A由线面垂直的性质定理可得；选项B，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D，找到反例即可. 【详解】

A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得mn；B选项正确，若

∥，则存在a,b,ab，在平面内存在a'∥a,b'∥b,a'b'，由m，

可得ma,mbma',mb' ，由线面垂直的判定定理可得m；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m在平面内或者平行于”这个条件，才能判定m；D选项不正确，直线n可能在平面上． 【点睛】

解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点

(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．

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(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．

8．已知函数fxxx2，则f(x)的单调递减区间为（）

0] A.[2，【答案】C

1] B.[2，1] C.[2，) D.[2，【解析】由fxxx2，故分x2和x2进行分类讨论写出对应的分段函数再求单调递减区间。 【详解】

x22x,x…2由于f(x)xx22，

x2x,x2221]上单调递减； 当x2时，yx＋2x(x1)1.显然，fx在[2，222)上单调递增。 当x2时，yx2x(x1)1，显然，fx在(，1]。 综上可知，fx的单调递减区间是[2，【点睛】

带绝对值的表达式，一般可根据绝对值内的正负分情况进行去绝对值，将函数写成分段函数进行运用。

9．设x，y为实数，满足1x3，0y1，则（）

4] A.xy的取值范围是[1，3] ? C.xy的取值范围是(0，【答案】C

3] B.xy的取值范围是(0，D.

x的取值范围是[3,) y【解析】因为x,y无直接关系，故直接根据每个选项进行分析即可。A选项中xy分别代入x,y的最小最大值求得xy的最值，B选项中x取最大值，y取最小值时取

xy最大值，反之取最大值。C选项中同取x,y最小最大值得出xy最小最大值，D选

x项中在x取最小值，y取最大值时取最小值。

y【详解】

4]，xy的取值范围是[0，3)，xy的取值范围是由已知可得，xy的取值范围是(1，(0，3]。

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x的取值范围是[1,)。 y【点睛】

对两未知数求之和之差之积之商求范围，若两未知数无直接关系，直接分别代入两数的最值即可求之和之差之积之商的最值。 10．函数fxsin(x)1(0，向右平移

2)的部分图像如图所示，将fx的图像

个单位长度后得函数gx的图像，则gx（） 4

A.sin2x23 B.sin2x 3C.sin2x【答案】D

1 3D.sin2x1 3【解析】由图像可知，代入点3,2和0,则可计算出fx表达式，再根据平移62知识点左加右减即可得出gx表达式。 【详解】

由函数f(x)sin(x)10,||3的部分图象知1sin，即22sin1. 2因为||π，所以。所以f(x)sinx1.

626sin,2fx因为点1.所以在的图象上。所以666662k2(kZ)。

因为0，结合图象可知2，所以f(x)sin2x第 5 页 共 16 页

1. 6将fx的图象向右平移

个单位长度后得到函数gx的图象。则4g(x)sin2x1sin2x1.

463【点睛】

根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算。函数平移左加右减，注意平移的时候是x整体变化，如果有系数记得加括号。 11．已知a,b(0,)，且1A．1,9 【答案】B

29，则ab的取值范围是（ ） ababC．8,

D．9,

B．1,8

ab【解析】通过基本不等式的变形可得ab，再将表达式转化成关于ab整体…2的二次不等式，求出相应范围 【详解】

2141ab…∵a,b0,，∴ab，可得，当且仅当或2ab…abab222298291…，∴ab4时取等号. ∵12，化为

abababababab2ab8，则ab的取值范围是1,8. 9ab8„0，解得1剟答案选B 【点睛】

本题考查的是根据基本不等式求取值范围问题，代换中一定要注意等号是否成立，题中

14…将这一步代换出来至关重要 abab2{an}中的部分项ak1,ak2ak3,...akn...成等比数列．12．已知等差数列{an}的公差不为0，若k11，k29，k349，则k2019（）

A.2520181 C.2520201 【答案】A

B.2520191 D.2520211

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【解析】由题意ak1,ak2ak3,...akn...成等比数列，故ak2ak1ak3，即可用基本量法算出a1与公差d的关系，进而算出数列anakn的公比与通项公式，最后再利用通项公式列出关于k2019的表达式求解即可。 【详解】

设等差数列{an}的公差为d，则d0.

2由已知ak2ak1ak3，所以a9a1a49，

22即a18da1a148d，得a12d. 于是，在等比数列ak1,ak2ak3,...akn...中，公比q由akn，为数列{akn}的第n项，知akn2d5n12a95. a1；

由akn为数列{an}的第kn项，知akna1kn1ddkn1， 所以2d5【点睛】

本题在等差数列里面穿插等比，需要理清其中的关系，找关系列式求出等差等比的公差和公比，进而求出通项公式再进行分析，属于难题。

二、填空题

13．已知sin2acosa,an1dkn1，故kn25n11，所以k20192520181.

k，kZ，则cos2a_____ 2【答案】

1 21，再用二倍角公式 2【解析】根据二倍角公式sin22sincos可求得sincos212sin2带入即可。

【详解】

由sin2cos．则2sincoscos， 因为1k1,kZ，故sin，所以cos212sin2.

222【点睛】

三角函数恒等变换的问题，首先看角度的关系再确定所用公式，本题明显用二倍角公式。

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14．如图，PA平面ABCD，ABCD为正方形，且PAAD，E，F分别是线段PA，

CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为______．

【答案】

3

6【解析】作BD的平行线FG,即可证明ÐEFG （或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角，计算出EF,EG,FG的长度，在△EFG中，利用余弦定理即可求解. 【详解】

如图，取BC的中点G，连接FG，EG，AG,则BDFG，通过异面直线所成角的

性质可知ÐEFG （或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角． 设AD2，则EFEA2AF26，同理可得EG=6．

1EF2FG2EG23又FGBD2，所以在EFG中，cosEFG， 22EFFG6故异面直线EF与BD所成角的余弦值为3

．6

【点睛】

用平移法求异面直线所成角的3个步骤

(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，

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且bacosCcsinA，则

bsinB_________. c【答案】2 2【解析】利用正弦公式将bacosCcsinA代换，求出A，再用a，b，c成等比数列表示出

bsinBba，分析特点，再次采用正弦定理即可求得

ccb【详解】

由正弦定理可知，sinBsinACsinAcosCsinCcosA，易得ccosAcsinA，

A4，又a，b，c成等比数列，所以

babsinBasinB2. ，sinAcbcb2则

bsinB2 c2【点睛】

本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑

16．在四面体PABC中，PCPA，PCPB，APBPAB2PC2，则四面体PABC外接球的表面积是_______． 【答案】

19π 3【解析】由△PAB为等边三角形，且PC平面PAB可知，OH∥PC，即可找到球心所在的位置，列出等量关系即可求出半径. 【详解】

∵PCPA，PCPB，∴PC平面PAB．设O是外接球球心，H是△ABP的中心，OH 平面PAB，则OH113223PC，PH2，则22233R2OP2OH2PH21919π2，故四面体外接球的表面积是S4πR． 123

【点睛】

“切”“接”问题处理的注意事项

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(1)“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作 截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 17．已知正方体

，是底

对角线的交点求证：

面面

； ．

【答案】见解析。 【解析】试题分析：（1）取行四边形，得

的边

的中线

，由证四边形

是平

，由线面平行的判定定理可得结论；（2）由 证得

面 连结

是正方体

，可得面，

面

。

(I)连结，设

四边形 又∴四边形

,

是平行四边形 ． ∴A1C1∥AC且

分别是且

的中点， ,,,

是平行四边形 ． 面

，

面

,

．

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∴∥面 ．

（II）在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，

平面A1B1C1D1，

在平面A1B1C1D1内，

， ，

,

,

．

． ,

面A1C⊥面AB1D1 ．

点睛：处理直线、平面平行问题时应注意的事项(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误。(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行。(3)两个平面平行，两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线、异面直线。

三、解答题 18．已知函数（1）求解不等式（2）若

，求

或，；

的最小值. （2）

，

.

【答案】（1）

【解析】（1）对x分类讨论解不等式得解；（2）由题得再利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】 解：（1）当当

时，

或

时，

，解得.

，

，即

时取等号.

，解得.

.

所以不等式解集为（2）当且仅当

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【点睛】

本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 19．已知函数fxxm1xm．

2（1）当m3时，求不等式fx0的解集；

（2）若函数fx的图象与x轴有两个交点，且两交点之间的距离不超过5，求m的取值范围．

【答案】（1）,13,（2）4m1或1m6．

【解析】(1)将m=3代入转化为二次不等式求解即可；（2）由题意分析可得方程

x2m1xm0有两个不同实根，利用根与系数的关系及x1x2(x1x2)24x1x2求解即可，注意.

【详解】

解：（1）当m3时，fxx4x3，

2则fx0等价于x24x30， 解得x1或x3，

故不等式fx0的解集为,13,．

（2）设fx的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程

x2m1xm0的两个根，由根与系数的关系得x1x2m1，x1x2m．

2mx1x25,2m240, 由题意可得即20,m10,解得4m1或1m6． 故m的取值范围为4,11,6. 【点睛】

在求解含参二次方程的问题时，要注意判别式的情况. 20．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，AB平面ABC.

2，B1C1，B1C第 12 页 共 16 页

（1）证明：AC平面BCC1B1； （2）求点C到平面ABB1A1的距离. 【答案】（1）见解析；（2）3 3【解析】（1）先根据B1C平面ABC得到B1CAC，再根据ACB为等腰直角三角形得到ACBC，从而AC平面BCC1B1. （2）利用VCABB1A12VB1ABC可得所求距离. 【详解】

（1）证明：因为B1C平面ABC，AC平面ABC，所以B1CAC. 因为ACBC1，AB2，所以ACBC，

又BCB1C，所以AC平面BCC1B1. （2）设点C到平面ABB1A1的距离为h，

因为B1C平面ABC，所以B1CAC，B1CBC. 则AB12，BB12，又AB故SABB12，所以ABB1是等边三角形，

33. (2)24211VCABB1A12VCABB12VB1ABC2B1CSABC，

331133VCABB1A1SABB1A1h2hh.

3323所以h33.

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【点睛】

线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.点到平面的距离的计算可利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.

21．某电子产品生产企业生产一种产品，原计划每天可以生产x(5x10)吨产品，每吨产品可以获得净利润w(x)万元，其中wx3x51600(5x10)，由于受xm(m25)吨产品，3x5市场低迷的影响，该企业的净利润出现较大幅度下滑．为提升利润，该企业决定每天投入20万元作为奖金刺激生产．在此方案影响下预计每天可增产

但是受原材料数量，增产量不会超过原计划每天产量的四分之一．试求在每天投入20万元奖金的情况下，该企业每天至少可获得多少利润(假定每天生产出来的产品都能销售出去)．

【答案】企业每天至少可获得2005万元的利润．

【解析】根据题意，利用增产量不会超过原计划每天产量的四分之一列出表达式

mx，再根据x(5x10)可算出m25，又m25，所以m25，再根据

3x54题意可设每天可获得利润为f(x)万元，列出f(x)的表达式，再根据x(5x10)则可利用不等式求范围问题求得f(x)的最小值，即每天至少获得的利润。 【详解】

解：由题意得，每天投入20万元奖金后．每天增产产品吨数

mx，

3x542x13525因为3x50．所以m(3x5)3x25xx，

44464835253525因为5x10，所以x525，即m25.

46484648第 14 页 共 16 页

22又因为m25，所以m25．

设每天投入20万元奖金后，该企业每天可获得利润为f(x)万元，则

25251600f(x)xw(x)20x3x520，

3x53x5x整理得f(x)x(3x5)400001605,x[5,10]

x(3x5)10]上为增函数，从而t[100，350]． 令tx3x5，可得t3x25x在x[5，又f(x)x(3x5)400001605可转化为

x(3x5)400001605(100t350) t400001605…24000016052005 所以g(t)tt40000当且仅当t，即t200时，gt有最小值2005，

tg(t)t即fx有最小值2005万元，故该企业每天至少可获得2005万元的利润． 【点睛】

本题中的m是未知量，但题目中给了关于m的不等式，有意识地去讨论m的范围，则可得m为定值，此题便可迎刃而解。

22．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，ABAD，

PA平面ABCD，E是棱PC上一点．

（1）证明：平面ADE平面PAB．

（2）若PE4EC，O为点E在平面PAB上的投影，AD3，ABAP2CD2，求四棱锥PADEO的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）VPADEO123 25【解析】（1）利用线面垂直的判定定理可得AD平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）取AB中点F，由平面的基本性质可得C,E,O,F确定一个平面，且

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点O在PF上，利用相似比可得PO4OF，由SAOED9AS△OE5，将四棱锥PADEO的体积转化为求解三棱锥D-AOP的体积，利用等体积转化法即可求解. 【详解】

（1）证明：因为PA平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD． 又ABAD，PAABA，所以AD平面PAB．

又AD平面ADE，所以平面ADE平面PAB． （2）解：取AB的中点F，所以CFAD，则CFAB．

又PACF，PA则EOABA，所以CF平面PAB，

CF，即O点在线段PF上．

又PE4EC，所以PO4OF，OE则VPADEOVPAODVDAOP，

44CFAD， 559595SPAO4S5PAF4， 5AOPVDAOP1ADS343123，VPADEO． 1525【点睛】

空间几何体体积问题的3种类型及解题策略

(1)求简单几何体的体积． 若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．

(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

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