小学数学核心素养的养成路径分析
【摘 要】尽管我们是在普遍性中进行思考，却生活在细节之中，所以数学课堂，要看得见学生“对数学的持久兴趣，对数学思想的融会贯通”。本文通过一节苏州市学科带头人展评课“埃及分数”，还原教学现场中老师的教与学生的学，并试图通过教的可见――表层理解与深层理解的平衡，学的可见――被学生所感知的教学质量，更好地促进落实小学生数学核心素养的养成。
【关键词】核心素养；挑战；数学娱乐；深层理解；表层理解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）16-0059-03
核心素养教育，关乎着培养什么样的人。可是，如果只有理念没有行动，教育就是海市蜃楼。虽然我们是在普遍性中进行思考，却生活在细节之中，所以小学数学课堂，要看得见学生“对数学的持久兴趣，对数学思想的融会贯通”。只有当小学数学核心素养落地，成为学生的自觉，教与学才可谓“君子不器”。
一、可见的教：平衡表层理解与深层理解
表层理解涉及对观念或事实的认知。相反，深层理解的
两个过程――关系加工和精细加工，造成了思维性质的变化。关系加工的问题需要学生把一种组织模式施予既有材料之上；精细加工需要学生超越既定信息、知识观念，提出适用于所有情况的更为普遍的规则或者证明。从这些表层的和深层的认知与理解当中，学生能够建构观念，进而形成他们参与表层和深层学习的方法。
但这并不是说，表层理解必然是劣质的，深层理解则完全是好的。正确的观点是强调在两者之间的平衡，因为学习的过程是一段从观念走向理解再走向建构，并继续往前走的旅程；是一段学习、遗忘学习、融通学习的旅程。 【案例1：认识埃及分数】
师：同学们，今天我们一起来研究一节课本上没有的数学知识，愿不愿意挑战？ 生：愿意。
师：出示大屏幕，研究什么？ 生：埃及分数。
师：对于埃及分数，你有什么提问的吗？ 生：分数还分国度吗？ 生：什么叫做埃及分数？
师：容我卖个关子，先插播一道数学问题：3块同样大小的饼，平均分给4个同学，每人分得多少块饼？ 生：3÷4= （块）
师：懂了，我们五年级时，是这样思考的，对吧？出示下图：
师：可是四五千年前的埃及人可不是这样分饼的，他们先将2块饼都均分成2份，这样每个同学可以取走其中的1份，即 块饼；再将剩下的1块饼均分成4份，每个同学再取走4份中的1份，即 块饼。（老师边动画演示，边叙述。）重点来了哦，谁来回答刚才那位同学的提问：什么叫做埃及分数？
生：分子是1的分数，例如 、 ，等等。
无疑，案例中呈现的“研究什么？”“什么叫做埃及分数？”“每人分得多少块饼？”等问题的思考都是表层理解，但正是这种表层理解，激发着学生学习的欲望――“分数还有国度之分？这倒底是怎么回事？”对过往学习的回忆也是表层理解，纵然过往的学习过程也许是深层理解。这样学生已然熟知的分饼策略，就与古代埃及人的分饼方法发生了冲撞，这种思维的冲撞必然会引起学生的好奇。数学就这样如同孩提的游戏，扣人心弦。当然，教师也要具备一种能够在学生的学习朝着成功目标迈进时适时“抽身”的技巧。 【案例2：研究 】
师：我们先来研究一下 ，谁能将它拆分成两个不同的埃及分数之和？（学生陷入思索之中，不少同学一无所获，两分钟之后，有些许同学有了点眉目。老师一边巡视，一边
与写出正确答案的同学做个别交流。）
生1：我先试着将 的分子、分母同时扩大，得到 = ；这样可有 = + = + 。
生2：我先想到比 小一点的埃及分数 ，再用 - ，结果得到 ，这样刚好凑成了 = + 。
学生明白了埃及分数的定义，但能像古代埃及人那样灵活运用埃及分数吗？我们不比四五千年前的埃及人聪明多少，找出埃及分数的秘密需要认真思考。案例二在老师适时“抽身”之后，学生通过挖掘自己的数学经验，哪怕不少学生没有寻找出答案，但也是在试图平衡表层理解与深层理解，以便成功建构合理的认知和现实的理论。于是，当教师成为他们自己教学的学习者，学生成为他们自己的教师的时候，对于数学的学习就会产生最大的效果。 二、可见的学：被学生所感知的教学质量 1. 可见的挑战
把 拆分成两个不同的埃及分数之和，对于刚刚接触埃及分数的学生来说，无疑是从兴趣上升到了挑战。而这个看似简单但又不能轻松获得答案的问题，反而更加刺激着学生的感官。
随后，课堂中挑战接踵而至。第1步，老师将大家的结果整理并板书： = + ， = + ， = + ；让学生观察这3组算式中的数字，提问“能找到什么秘密吗？”第2步，教师出
示 = + 、 = + ，让学生自己探求答案。第3步，等号右边第一个加数的分母如何确定呢？规律是什么？
每一次历经挑战，学生都能清晰地感受到自己仿佛是在学功夫，又精进了一步。挑战和学习被学生所感知，是数学学习的必要要素，所以张景中院士说：“学习数学的乐趣类似于下棋，是思考之乐，是挑战之乐。”教师可在课堂上不断给学生提问题，让学生花些力气去解决，并品尝到挫折，直到他们亟需一个想法时，再给他们一些技巧，但是不要给太多。学生乐此不彼于其中，并借此不断积累思维的经验。 2. 可见的娱乐
数学不在“”里，而是在“搜寻”的经历之中，而是在“创造”的过程之中。学生能够从“无”当中创造出简单的纯粹的美丽，并且在这个过程中丰盈了自己的思维，这不正是至上的娱乐吗？一如数学家保罗?拉克哈特的兴奋之词：“我纯粹就是在玩。这就是数学――想知道、游戏、用自己的想象力来娱乐自己。”
【案例3：归纳公式】 师：你们获得 = + ， = + 花了5分钟，而你们考我，我一拍脑袋，答出 = + 不到5秒钟，不觉得我的头上有什么“机关”吗？
生：后一个加数的分母是前两个分母的乘积。 师：对的。那等号右边第一个加数的分母如何确定呢？ 生：……
师：看，3，2；5，3；15，8。规律是什么？ 生：先将所要拆分的分母+1，再将结果除以2，商就是第一个埃及分数的分母。 师：棒极了！那 =？ 生： = + 。 师： =？ 生： = + 。
这就是数学的外貌和感觉：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意而又美丽的解释。没有其他事物能够达到如此纯粹的概念世界，令人着迷、充满趣味。
3. 可见的改进
再回过头来，审视案例2和案例3的学习。面对问题，学生们并不是总能立即给出答案，甚至在获得答案的过程中常常伴随着错误。例如有学生写出 = + ，可是这不符合两个不同的埃及分数的要求。然而，面对错误，学生没有气馁，尝试着将一个加数 的分母调整为3，眼睛豁然一亮，另一个埃及分数不就是 - = 吗？再例如，学生对 = + 、 = + 、 = + 所内含的规律产生了困窘，只能判定等号右边第二个埃及分数的分母，是这个埃及分数的前面两个分数分母的乘积；不过，一旦老师提醒大家聚焦分母“3，2；5，3；15，8”，思路顿时打开了。所以说，学习是可错的，更是能够被改进的，
每个学生都能看得见这种改进。
还有，数学学习并非总是大声的、兴奋的，但是又很少有沉郁、压抑的时候，常常是紧凑的、富有活力和冒险的。一旦学生进入了数学冒险，兴奋，还有些许的不确定的紧张，甚至走弯路，乃至错误出现。然而，就像上文的两个案例，哪一次错误不是下一次数学成功的基石？ 4. 可见的思想
【案例4：特殊到普通】
生：老师，你教我们体验的都是比较特殊的分数，其他分数都可以写成几个埃及分数的和吗？例如 。 生： = = + = + 。
师：但是问题又来了，古埃及人可不懂这样将分子、分母同时乘一个数再去拆分，他们只会实物操作。我们再以分饼为例， 可以变成什么样的问题？
生：5块饼平均分给6位同学，每人分得多少块？ 师：那我们穿越到四千多年前，像古埃及人那样实际操作一下如何？
生：先取出3块饼，每块平均分成2份，每人取1份，即得 块；
再将剩下的2块饼平均分成3份，每人取1份，即得 块。 所以 = + 。
在课程设计好、内容确定好、课堂被组织起来以后，就
出现了教学成果的完整概念。在案例4中，学生习得了同样的经验，可以通过分数的基本性质将分子、分母同乘一个数，将 改写成 ，从而发现需要的埃及分数。毋庸置疑，学生掌握了类比推理的数学思想。
同时，用画草图的方式，将数学知识形象化，又有数形结合的意思。更重要的是，这些方法虽然呈现了一定的推理与模型思想，可是所得的推理与模型并不能解决所有的分数如何转化为埃及分数的问题。那古老的埃及人是怎样得到 = + + 的呢？
是的，学生历经重重挑战与挫折，通过改正自己的错误，探究出了分子是1和分子是2的分数，拆分成不同的两个埃及分数的一般表达式： = + 和 = + 。不过，分子是3、4、5……的分数呢？
因为分子的不同，都有一个不同的表达式吗？有没有一个统一的表达式？
这就是数学思想的力量，既能解决问题，又是下一个问题的孵化器。当然，下一个问题还得依靠数学抽象思想、推理思想、模型思想。学生的解题策略吻合上了数学家的问题解决方式。吸引了几千年来的数学家们的埃及分数问题，竟成了学生需要直面的问题。于是就有了接下来的场面：尽管下课了，学生还在关心着斐波那契的贪心求法。
综上所述，教师是学生学的促进者以及审慎的引领者。
但学习终归需要内化成学生的素养。小学数学核心素养的三要素是：数学人文、数学意识、数学思想。三要素中每个要素都是必要的，但是单独哪一个要素对于有效学习来说又都是不够的。缺少某一个要素，哪怕是缺少很小一部分，学生也可能什么都没学到。 参考文献：
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[2] John Hattie.可见的学习[M].彭正梅，邓莉等译，北京，教育科学出版社，2015：28-36.
[3] 张景中.怎样才能快乐地学数学[J].中学生数理化，2008，（3）：3.
[4] 保罗?拉克哈特.一个数学家的叹息[M].高翠霜译，台北：经济新潮社，2013. （编辑： 张 婕）
