浙江理工大学2011-2012A2期末试卷A

浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A）卷

本人郑重承诺：本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则》，愿意在考试中自觉遵守这些规定，保证按规定的程序和要求参加考试，如有违反，自愿按《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。

承诺人签名： 学号： 班级： 题号 得分 阅卷教师签名 一 二 三 1 2 3 4 5 6 四 五 总分 复核教师签名 （本试卷共四页） 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数fx,y4xyx2y2的极值为（ ）

A.极大值为8 B．极小值为0 C.极小值为8 D.极大值为0

2.二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数

都存在，那么下面关系正确的是（ ）

A．③C. ③

3. 曲线①④

④ B. ③① D. ②

②③

① ①

xyz2在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. 22zxyxeD2 A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设I A.

y2d, D:x2y24, 则I（ ）

4(e1) B. 2(e41) C. (e41) D. e4 25. 设是球面x2y2z2R2，则

dS＝（ ） 222xyz22A. 4R B. 4 C. R D. 

6. 若

a(x1)nn1n在x1处收敛，则此级数在x2处（ ）．

A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定

1

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1. 曲面zxy上点M处的法线垂直于平面2xyz5，则M的坐标是 ; 2. 设u2xyz2，则u在(2,1,1)处的方向导数的最大值为 ; 12yy23. 交换积分顺序，有dy0yfx,ydx______________________ ;

x2y21的周长为l，则(3x2y)2ds ; 4. 设椭圆L：

L435. 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]的定义为f(x)21x0，则

x0x1f(x)的傅里叶级数在x1收敛于 .

三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）

x2yz10xyz1．求过点M（4,-3,1）且与两直线：和都平行的平面方程．

6232xz20

xz2z2. 设zf(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,yxxy

3. 将函数f(x)1展开为x3的幂级数，并求收敛域. x

2

4. 计算

22，其中是由柱面xy1及平面z1,x0,y0所围成且在xydxdydz第一卦限内的区域.

5. 求曲线积分

22(x2y)dx(xsiny)dy，其中L是沿曲线y12xx2由点（0，L1）到点（2，1）的弧段.

6. 计算曲面积分

3

2222，其中是球面xyz4(z0)的上侧. ydzdxzdxdy

四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

1. 验证(3x2y8xy2)dx(x38x2y12yey)dy在整个 xoy平面内是某一函数u(x,y)的全

微分,并求这样的一个u(x,y).

nn1n2. 求幂级数nx的收敛域、和函数以及数项级数n的和.

n15n15

五、证明题（4分）设

an收敛，证明级数2n1an绝对收敛. nn1 4

2011~2012学年第二学期《高等数学A2》期末试题（A）卷参

一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）

1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1. (-1,2,-2); 2. 26; 3.

1dxfx,x01ydydx0111x2fx,1ydy;

4. 12l; 5.

3 2三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）

i1. s1(6,2,3), s21jk21(2,1,4), ………2分 201ijk取平面的法向量为ns1s2623(11,30,2) ………2分 214所以平面方程为：11(x4)30(y3)(z1)0，即11x30yz1350.…2分 2.

z11(f1yf2)0yf1f2, ……………2分 xyy2zx11xxf12(2)]2f2[f21xf22(2)] f1y[f11xyyyyy1x2f23f22. .………4分 f1xyf11yy3.解：f(x)111=, ……………2分

3(x3)31(x3)3因为

(1)nxnn01，x(1,1), 1x1所以31x3n1n1(1)()=(1)n()n1(x3)n, x3333n01()n03其中1x31 ，即0x6. ……………3分 31当x0时，级数为发散；当x6时，级数为

n03

5

(1)nn01发散,故3

11=(1)n()n1(x3)n，x(0,6). ………1分 xn030z1,π4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时:0,20r1,

所以

π20z 1 xydxdydzπ20d0dr0rcosrsinrdz ………3分

11O 1 y =

1π3sin2d1rdrcos22r402=()4401x 01. ………3分 85. 解：令Px22y，Q(xsin2y),则

QP1, ………2分 2,xy 选择BA:y1由B（2，1）到A（0，1）,则由格林公式得 原式LBA(x22y)dx(xsin2y)dy(x22y)dx(xsin2y)dy ………2分

AB(DQP)dxdy(x22y)dx(xsin2y)dy

ABxy2dxdy(x22)dxdxdy(x22)dxD02D084. ………2分 23

6. 解：补上1:z0 (xy4)下侧。

22ydzdxzdxdy21y2dzdxzdxdyy2dzdxzdxdy..............2分1(2y1)dxdydz0............................................3分2ydxdydzdxdydz对称性01616.........................3分33

四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 1. 证明：P3x2y8xy2,Qx38x2y12yey

PQ3x216xy，故PdxQdy是某一函数u(x,y)的全微分． ……3分 yx所以u(x,y)

(x,y)(0,0)(3x2y8xy2)dx(x38x2y12yey)dy

6

0(x38x2y12yey)dyx3y4x2y212yey12ey12

0y…………5分

an151R5, 收敛区间为(-5,5). ………2分

2. limn1limnann5n15nn1n发散; n又当x5时，级数发散；当x5时，级数5n1n15n1所以收敛域为(5,5)； ………2分

nn1nn1xx5 ………2分 s(x)nx(ntdt)[()n]()25555x(5x)n1n10n1x于是s(1)=

5. ……….2分 16

五、证明题（4分）

, ………2分

而与都收敛，由比较法及其性质知：

收敛, 故

绝对收敛。 ………2分

7