２０１０年第６期 金色年华 数学教学 分类讨论思想在等腰三角形中的运用 谭利民 ｆ南江赤中学，四川南江６３５６０３） ［摘要１在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。 【关键词】等腰三角形；分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种 情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。 数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数 学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对数学学习的兴趣，培 养学生思维的条理性、缜密性、科学性，下面就以等腰三角形为例 谈谈分类讨论思想的运用。 等腰三角形是一种特殊的三角形，就边而言，有两种边，即腰 和底边；就角而言，有两种角，即顶角和底角。因此，在研究等腰 三角形的问题时，比较常用的思想当属于分类讨论思想。 一、当顶角或底角不能确定时。必须进行分类讨论 例１：在等腰三角形中，已知一个内角等于４Ｏ。，求另外两个角 的度数。 分析：由于４０。没有告诉是底角还是顶角，因此需分两种情况 讨论。 解：（１）当４０。为底角时，那么顶角为１８００－４０。×２＝１００。，所以另 外两个角分别是４００、１００。。 （２）当４０。为顶角时，那么底角为（１８０￣－４０。）÷２＝７００，所以另外 两个角分别是７００、７０。。 综上所述，另外两个角为４０ 、１００。或７Ｏ。、７ｏ０。 例２：等腰三角形的一个内角是另一个内角的４倍，求它的各 个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的４倍”，还是“底角是顶角 的４倍”因此必须进行分类讨论。 解：（１）当底角是顶角的４倍时，设顶角为ｘ，则底角为４ｘ， ・．．４ｘ＋４ｘ＋ｘ＝１８００，．・．ｘ＝２００， ．・．４ｘ＝８０。， 于是三角形的各个内角的度数为：２００，８００，８００。 （２）当顶角是底角的４倍时，设底角为ｘ，则顶角为４ｘ， ・．．ｘ＋ｘ＋４ｘ＝１８００，．・．ｘ＝３０ｏ， ．‘．４ｘ＝１２００， 于是三角形的各个内角的度数为：３０。，３００，１２０。。 综上所述．三角形各个内角的度数为２０。，８００，８００或３００，３００， １２ｏ０。 反思：如果题中没有明确这个角是顶角还是底角，那么需要 分两种情况讨论，要注意符合三角形内角和为１８０ｏ。 二、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨 论 例３：在等腰三角形中，若一边长为４，另一边长为５，求它的周 长。 分析：由于没告诉腰的长度为４还是底边的长度为４，因此需 分两种情况讨论。 解：（１）若底边的长度为４时，则两腰的长皆为５，这时三边长 满足任意两边之和大于第三边，所以它的周长为４＋５＋５＝１４。 （２）若腰的长度为４时，则底边的长为５，这时三边长满足任意 两边之和大于第三边，所以它的周长为４＋４＋５＝１３。 综上所述，这个三角形的周长等于１４或ｌ３。 反思：如果题目中没有明确说明哪条边是“腰”或“底”，那么 需要分类讨论。三角形的三边长必须满足：任意两边之和大于第 三边；任意两边之差小于第三边。 三、当高的位置关系不确定时。必须分类讨论 例４：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是４ＪＤ。，求顶 角的度数。 分析：题目中没指明是什么三角形，应分类讨论。 解：（１）如图１所示，若ＡＡＢＣ是锐角三角形，且ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ上 ＡＣ于Ｄ，由已知 ＡＢＤ＝４０。，所以ＬＡ＝５０ 。 （２）如图２所示，若ＡＡＢＣ是钝角三角形，且ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是ＡＣ 边上的高，则 Ｄ＝９０。，由已知／＿ＡＢＤ＝４０。，所以 ＢＡＣ＝ Ｄ＋ ＡＢＤ＝１３０ｏ Ｂ Ｂ ｃ 图ｌ 综上所述，顶角是１３０。或５００。 反思：当遇到三角形边上的高而题目中没有明确是什么三角 形时，要分类讨论，否则容易造成漏解。 四、由腰上的中线引起的分类讨论 例５：等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成ｌ５和ｌ８两部 分，求它的腰长和底边长。 分析：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是ＡＣ边上的中线，所以ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ ２ＡＤ，周长两部分为ＡＤ＋ＡＢ和ＢＣ＋ＣＤ。分两种情况求解即可。 Ａ 图３ 解：如图３，在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是ＡＣ边上的中 线，且ＢＤ把三角形的周长分成１５和ｌ８两部分。 若ＡＢ＋ＡＤ＝１５，ＢＣ＋ＣＤ＝１８，由ＡＢ＝２ＡＤ，知ＡＤ＝５，则ＡＢ＝１０， ＢＣ＝１３。 （下转第１０２页） ⑦ 收入超过１万的健身频率最低 但是健身意愿景为强烈 碧体上 看，在各个收入段女性情况都要好于男性。 月收入，元 很经常 ３０００以下 １４５／】８．０ ３０００—５０ｏ０ ３１．∽４．９ ５０００－１００００ ３６ ７，４５．５ 担不足主要影响因素；女性则最看重“服务指导与质量”和需要健 身伙伴陪同，家庭负担也是她们要考虑的因素之一，由于大多数 会员的收入水平比较好，所以这一项的选择率很低。 意愿（男，女） 频度（男／女） 比较经常 ４３ ５１４３ ３ ３９．１／３７．６ ３８．３，３４５ 很少 尽量抽时间去 有空才去 看心情而定 ４２ ０／３８．８ ２９．９／２７ ５ ２５ ０／２００ ２１ ７，４２．７ ５ｌ ７『４８ ６ ５００，６５．５ ５０．７／３９．９ ２７ ５／１８ ０ ３３ ３／３２１ ３５。，１２．７ 工作繁忙 场所硬件 服务指导 缺少健身 经济收人 家庭负担 其它因素 条件 与质量 伙伴 原因 排序／比例 男 １／３７ ５ ２，２５．１ ３／１５．６ ４，ｌ０．５ ∞．７ ３ ．３ １５ ０／１９．３ １５ Ｑ，２ｌ ８ 女 ４，１６．８ ５／１００ １，２３ ５ ２，２２．１ ．６ ３１１８－６ ６，６－４ １００００以上 １３．３，８０．０ ２００，２０．０ ６６ 翘 ８０，８０ １３ ３／０ ６ ７／２０．０ 三、小结 六城市的健身俱乐部会员年龄主要分布在２３－４ｌ岁之间，他 们是城市体育健身消费的中坚力量。调查应证了体育消费市场 的休闲化、娱乐化趋势，会员体育消费的动机趋向多元。会员收 （二）体育消费结构 被调查者的体育消费结构比较合理，消费较为理性。体育消 费总额男女分别为１１１０元和１４９０元，占可支配收入的６．６３％和 ８．９１％。（据公开数据，２００７年和２００８年福建省城镇居民人均可支 配收人分别为１５５０５元和１７９６０元，两年平均是１６７３２元。）会员的 体育消费以参与型和实物型体育消费为主，主要是参加各项有偿 健身娱乐、培训班，购买运动服装、健身器材等，女性在参与型消 入高低与其健身频率大致呈倒Ｕ型相关，而与健身意愿呈现正相 关。工作繁忙、硬件条件、服务指导与质量是影响男性会员的三 个主要因素，女性则最看重“服务指导与质量”和需要伙伴陪同。 会员的体育消费以参与型和实物型体育消费为主，女性在参与型 费上高出男性近１２％，男性在实物型消费上略高于女性；观赏型 体育消费的男、女只占到５．２％和１．２％，比例偏低的主要原因是福 建省的体育比赛和体育表演等比较匮乏，难以满足人们观赏的需 消费上高出男性，男性在实物型消费上略高于女性。“娱乐休闲” 和“保持健康”是会员健身的主要目的，女性参与的动机较之于男 性更为宽泛。同时，女性对于完美自身体型和体育健身过程中社 交活动的需要高于男性。 求；博弈型体育消费占比很小，主要是用于购买体育彩票。 表４经常性体育消费结构统计表 消费类别 观赏性体育消费 实物性体育消费 参与性体育消费 信息类体育消费 博弈性体育消费 总额 俱乐部经营模式大同小异，形式普遍较为单一，大部分健身 男性 ５８．５ ３７６０６ ５６２２ ３５．５ ７８ ｌｌ１Ｏ＿８ 女性 ５．２ ３３ ９ ５０ ６ ３．２ ７ Ｏ １７ ６ ４５４１ ９２３ ４ ５０ ６ ４．５ ｌ４９０．７ 场所经营者的宣传广告投入不多，大多依赖简单的传单式分发形 式，或者通过会员介绍，经营上比较被动。俱乐部场所大多位于 城市较为繁华的地段，会员人数较少，难以形成规模优势，因此经 １ ２ ３０ ５ ６１ ９ ３４ ３ ０ 人年均消费额，元 占体育消费比例，％ 人年均消费额／元 占体育消费比例，％ 营成本较高，体育消费价格比较昂贵。同时，城市女性的体育消 费能力和发展潜力巨大，尚亟待于进一步开发。 【参考文献】 ［１】马渝，欧阳柳青．我国居民体育消费水平的现状调查与分析Ⅱ】．武汉 体育学院学报，２００２，３６（３）． 注：表中数据位被调查者近２年的消费平均数 （三）影响会员体育消费的主要因素 调查显示，在影响会员消费的主要因素中，男性选择列前三 位的分别是工作繁忙、硬件条件、服务指导与质量，收入和家庭负 ［２】李新．青海省城镇居民体育消费现状调查及对策研究ｏ１．北京体育 大学学报，２００５，２８（５）． （上接第８７页） 即腰长为１０，底为ｌ３。 若ＡＢ＋ＡＤ＝１８，ＢＣ＋ＣＤ＝１５，由ＡＢ＝２ＡＤ，知ＡＤ＝６，则ＡＢ＝１２， ＢＣ＝９。 即腰长为１２，底为９。 综上所述，该三角形的腰长与底边长分别为１Ｏ，ｌ３和１２，９。 反思：此类题目一定要分两种情况来讨论求解。 论解题的一般步骤是：（１）确定讨论对象；（２）合理进行分类；（３） 逐类讨论解答；（４）归纳得出结论。 ｆ参考文献】 ［１】卫东．如何运用分类讨论思想解题盯】．中学数学．１９９７，（５）． ． ［２】王燕春．学会分类方法。提高分类意识Ｕ】冲学生数学，１９９８，（５）． ［３】彭林、卫东．中考数学命题热点与规律探折Ⅱ】．中小学数学，２００１专 由此可见，数学中的分类讨论思想是一种重要的数学思想， 解答分类讨论题应首先按本质属性分类，然后逐类求解，分类讨 刊’ 本刊声明 稿件凡经本刊使用，即视作作者同意授权本刊代理其作品电子版信息有线和无线互联网络传播 权；并且本刊有权授权第三方龙源期刊网进行电子版信息有线和无线互联网络传播；本刊支付的稿费 已包括上述使用方式的稿费。 Ｏ
