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(高二理科数学试卷合集)广州市2018年高二理科数学上学期期中14份试卷合集含答案

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高二上学期理科数学期中考试试卷

一：选择题（本大题共一项是符合题目要求的）1、【原创】已知全集12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

Z，集合A3,1,0,1,2，Bx|x2k1,kN

，则A

∩B（）

0,1,2 B. {-3,-1,1} C.

1,0,2 D.

3,0,2

2、【原创】集合

A={-1,0,1,2}

的真子集的个数为（

）

A．13 B．14 C．15 D．16

3、【原创】下列函数中，在（-∞，0）内单调递减，并且是偶函数的是（A．

B．y

x1C．y

lg|x|

D．

4、运行下面程序：当输入168， 72时，输出的结果是（）

A. 168 B. 72 C. 36 D.

5、1337与382的最大公约数是( ) A. 201 B. 191 C. 382 D. 3

6、下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4

M B．MM

C．B

A3D．xy0

）

7、对于简单随机抽样,下列说法中正确的命题为（）

①它要求被抽取样本的总体的个数有限②它是从总体中逐个地进行抽取③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样

,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；

,以便在抽取实践中进行操作；

,不仅每次从总体中抽取一个个体时

,各个个体被抽取的概率也相等

,各个个体被抽取的概率相等,从而保证了这种方法抽样的公

而且在整个抽样检查过程中平性．

A．①②③ B

．①②④ C．①③④ D．①②③④）

8、执行如图所示的程序框图，则输出的

S值为（

A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008 9、已知菱形

ABCD的边长为4，

1的概率（

ABC

）

150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的

四个顶点的距离大于A.

10、[原创]某班有男生18人，女生36人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为12的样本，则抽取的女生人数为（（A）8

（B）4

（C）6

（D）2

3333333

0000”4”或

）

11、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“到“3333333

9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“

(

)

“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A．2000个C．5904个12、1A.

B．4096个D．8320个

x2x的展开式中x的系数为( ) 40 C.

15 D.

40 B.

第II卷（非选择题共90分）

5分，满分20分.）

______

二、填空题：（本大题共4小题，每小题

13、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

14、【原创】}八进制数2017（8）转化为10进制为__________（10）15、【原创】}将某高二年级的方法抽取一个容量为__________．16、两位同学约定下午

5：30-6：00在图书馆见面，且他们在

5：30-6：00之间到达的时

600名学生编号为：01，02，03，,，600，采用系统抽样

04，则剩下的四个号码依次是

50的样本，且随机抽得的一个号码为

刻是等可能的，先到的同学须等待，率是__________．

15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本大题满分等差数列（1）求数列（2）求

10分）

，已知

的前项和记为

的通项公式；

的最大值.

12分）

18．（本小题满分

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：

零件的个数x(个) 加工的时间y(小时)

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

2 2.5

3 3

4 4

5 4.5

(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少小时？19．（本题满分12分）

某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成

.观察图形的信息,

六段[40,50)、[50,60)、,、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图回答下列问题:

(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表分;

(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取

2人,抽到的学生成绩在

;

,据此估计本次考试的平均

[40,60)记0分,在[60,80)记1分,

在[80,100)记2分,求抽取结束后的总记分至少为2分的概率.

20．（本题满分12分）

有甲、乙、丙、丁、戊

5位同学，求：

（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？

（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将

5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？

21、（本小题满分12分）

已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．22.（本小题满分已知

12分）

acosxsinx,sinx，bfx的最小正周期；

cosxsinx,2cosx，设fxab.

（1）求函数（2）由y

sinx的图象经过怎样变换得到yfx的图象？试写出变换过程；

（3）当x0,

时，求函数

fx的最大值及最小值.

高二数学理科试题答案1、 B 2、 C 3、 A 4、 D 5、 B 6、 B 7、 D 8、 B 9、 D 10、 A 11、 C 12、 A 13、

14、1039 15、16,28,40,52

16、417、【答案】(1)

;(2)

试题分析：（1）由题意布列首项与公差的方程组，从而易得数列通项公式；

，易得

试题解析：

（1）由题意，

故；

（2）

2）根据

（18、【答案】(1)散点图如图：

(2)由表中数据得：

yi＝52.5，

＝3.5，∴∴∴

＝0.7，

＝3.5，＝54，

＝1.05，＝0.7x＋1.05，

回归直线如图所示：

(3)将x＝10代入回归直线方程，得

＝0.7310＋1.05＝8.05，

8.05小时．

∴预测加工10个零件需要

19、

20、【答案】（1）120（2）24（3）150 试题分析：（1）5位同学站成一排，全排列即可；组（3，1，1），（2，2，1）两组，计算即可试题解析：（1）A＝120.

（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻故有AAA

（2）利用捆绑和插空法排列即可；（3）分

24．

311有C5A3

（3）人数分配方式有①

60种方法

②221有

C5C3A

90种方法

所以，所有方法总数为考点：排列组合问题

6090150种方法

21、【答案】（1）（﹣1，1）（2）奇函数（3）（0，1）

试题分析：（Ⅰ）由

1x1x

，求得x的范围，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据函数的定义

域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；（Ⅲ）由f（x）＞0，可得

loga（1+x）＞loga（1-x），分当0＜a＜1和a＞1时两种情况，分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集试题解析：函数

f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．

（1）∵﹣1＜x＜1

∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）

（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，

∴求解得出：0＜x＜1

故x的取值范围：（0，1）

【考点】函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断22、【答案】（1）T

；（2）见解析；（3）

fx有最大值

2，最小值

2sin2x

试题分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算可求得

，,，于是

可求函数f（x）的最小正周期；

（2）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程；

（3）当x0,

，故

，利用正弦函数的单调性及可求得答案．

试题解析：（1）解：∵

fxab

2sinxcosx

sin2x

cosxsinxcosxsinx

cosxsinx2sinxcosxcso2x

2sin2x

∴

fx的最小正周期T

（2）把ysinx的图象上所有点向左平移

个单位得到ysinx

的图象；再把

ysinx

的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

，纵坐标不变得到

ysin2x

的图象；再把

sin2x

的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的

2倍，横坐标不变得到

（3）∵0∴当2x当2x

y2sin2x

，∴

482

时，

454

，即xfx有最大值fx有最小值

2，

，即x

时，

点睛：形如

ysin

的性质可以利用，得到y

sinx的性质，将

看作一个整体，

通过换元，令t

sint，只需研究关于

t的函数的取值即可

高二上学期理科数学期中考试试卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。）

1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，

则k＝ ( A．2

)

B．－4

C．4

D．－2

)

2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－2)<0}；命题q：0∈?. 下列判断正确的是 (

A．p假q真3．a∈R，| a |<4

A．a<4 <3

4．若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点

7A．

5B．

B．“p∨ｑ为真”成立的一个必要不充分条件是B．| a |<3

C．“p∧ｑ为真”(

)

C．a<16

D．p假q假

D．0< a

(3，－4)，则此双曲线的离心率为4C．

5D．

( )

5．在如下图所示的正方体

余弦值为(

)

A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的

A．

1010120

B．

120

1010

(

)

C．D．

6．在抛物线y＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是

A．x－4y－3＝0 C．4x＋y－3＝0

B．x＋4y＋3＝0 D．4x＋y＋3＝0

→→→

7．已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，

→→

b，c表示MN，则MN等于 ( 1

A．(c－a－b)

)

B．(a＋b－c)

C．(a－b＋c)

D．(b＋c－a)

8．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，

|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( A．

B．3

)

D．

C．2

9．如图所示，在长方体1D1中，AD1＝1，ABABCD－A1B1C＝AA＝2，点E是棱AB的中点，

1的距离为 ( 则点E到平面ACD

) 2

B．

1A．

21C．

1D．

10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点

→→则 OP2FP的最大值为( A．6 11．已知二面角

B．3

)

C．2

P为椭圆上的任意一点，

D．8

α-l-β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，

) C．

β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( A．

2 D．

B．2

12．已知抛物线y=2px(p>0)与双曲线

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点

A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为A．3

B．6

F.若双曲线的离心率为

C．12

2,|AF|=7,则p=( D．42

)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知a，b，c都是实数，则在命题“若

逆否命题这四个命题中，真命题的个数是

a＞b，则ac＞bc”与它的逆命题、否命题、________.

14．与双曲线x

是

．

1有共同的渐近线，且过点

(2，2)的双曲线的标准方程

15．过抛物线y＝8x的焦点，作倾斜角为

为

．

45°的直线，则被抛物线截得的弦长

16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM=AB1，

BN=BC则下列结论：①AA；②Ａ；③MN∥平面A1B1C1D1；1，1⊥MN1C1∥MN

④BD1⊥MN.其中正确

命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号

)

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤）

17．(本小题满分10分) 如图,在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD

中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角. 求证：（1）CM∥平面PAD；

（2）平面PAB⊥平面PAD.

18．(本小题满分12分) 若F1、F2分别是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是

该椭圆上的一个动点，且（1）求出这个椭圆的方程；（2）是否存在过定点

N(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点

→→

A、B，使OA⊥OB(其

|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝23.

中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由．

19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

侧面PDC是正三角形，平面为PB的中点．

（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角 D－MC－B的余弦值．

PDC⊥平面ABCD，CD＝2，M

20．(本小题满分12分) 设P是圆x＋y＝25上的动点，点

为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

5（1）当P在圆上运动时，求点

M的轨迹C的方程；

D是P在x轴上的投影，M

（2）求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

21．(本小题满分12分) 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，

AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；

（2）求二面角B1－CE－C1的正弦值；（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面

1A1所成角的正弦值为ADD

，求线段AM 6

的长．

22．(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系

抛物线C：y＝2px(p>0)．

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线（2）已知抛物线C上存在关于直线

P和Q.

xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，

C的方程；

l对称的相异两点

①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．

高二年级数学(理科)段考试题参

第Ⅰ卷（选择题，共

60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

题号答案

1 C

2 B

3 A

4 D

5 D

6 C

7 A

8 D

9 C

10 A

11 B

12 B

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．2

14．

312

15．16 16．①③

三、解答题（本大题共6小题，满分70分）

17．证明：如图建立空间直角坐标系

因为PC⊥平面ABCD，

所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，,,所以∠PBC=30°，因为PC=2，所以BC=2所以D(0，1，0)，B(2

1分

C-xyz.

3，PB=4，

3，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，

,,,,,,,,,,,,,,,,,

,0,

，

,2分

所以

DP(0,1,2),DA(23,3,0),CM

,0,

（1）设n=(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，

所以即

y23x

2z3y

令y=2，得n=(-

3，2，

1). ,,,,,,,,,4分

因为n2

CM=-33

332

+230+13

=0，

所以n⊥

CM. 又CM

?平面PAD，所以CM∥平面

PAD.

,,,,,,,,,,

（2）如图，取AP的中点E，连接BE，

则E(

3，2，1)，BE=(-3，2，1).

因为PB=AB，所以BE⊥PA.

又因为BE2DA=(-3，2，1)2(23，3，0)=0，

,,,,,,,,

8分

所以BE⊥DA.所以BE⊥DA. 又PA∩DA=A，所以

BE⊥平面PAD.

又因为BE?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

,,,,,,

18．解：（1）依题意，得2a＝4，2c＝23，所以a＝2，c＝

3，

∴b＝

－c2

＝1.

∴椭圆的方程为x4

＋y2

＝

,,,,,,,,,,,,

4分

（2）显然当直线的斜率不存在，即

x＝0时，不满足条件．

分

设l的方程为y＝kx＋2，

由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交设

A(x1，y1)，B(x2，x2

由4

＋y2

＝1，消去y并整理，得

y＝kx＋2，

(1＋4k2

)x2＋16kx＋12＝

,,,,,,,,,,,,

7分

∴Δ＝(16k)2

－4(1＋4k2

)312＝16(4k2

－3)＞0，

6分

10分

,,,,

y2)，

得k＞

.① 4分

16k

x1＋x2＝－2，x1x2＝

1＋4k

2，1＋4k

,,,,,,,,,,

→→→→∵OA⊥OB，∴OA2OB＝0，

→→2∴OA2OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝x1x2＋kx1x2＋2k(x1＋x2)

＋4

＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,8

9分

11分

16k124k

＝(1＋k)22＋4＝2＋2k－2

1＋4k1＋4k1＋4k

∴ｋ＝4.②

由①②可知k＝±2，所以，存在斜率

分

（1）证：取DC的中点O19．，连接PO，OA，

＝0，

k＝±２的直线l符合题意．,,12

因为侧面PDC是正三角形，平面

分

所以PO⊥底面ABCD，

PDC⊥平面ABCD. ,,,,,,1

因为底面ABCD为菱形且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，则OA⊥DC. ,,,以O原点，分别以

2分

OA，OC，OP所在直线为

x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A(

3，0，0)，P(0，0，

3)，B(

3，2，0)，

C(0，1，0)，D(0，－1，0)，所以

M，，1，22

,,,,,,,,,,,,,,

4分

→所以DM＝

→33

，PA＝(，2，

3，0，－

→

3)，DC＝(0，2，0)，3

＝0，2

→→所以PA2DM＝→→PA2DC＝

33＋032＋(－

(－

3)3

330＋032＋3)30＝0，

,,,,,,

→→→→所以PA⊥DM，PA⊥DC，所以PA⊥平面DMC.

7分

（2）解：→

CM＝

3→2，0，

，CB＝(3，1，0)，

设平面B MC的法向量为n＝(x，y，z)，由n2→

CM＝0，得x＋z＝0，由n2→CB＝0，得3x＋y＝0. 取x＝－1，则y＝3，z＝1，

所以一个法向量

n＝(－1，

3，

1)．

,,,,,,,,

9分

由(1)知，平面CDM的一个法向量可取→PA＝(3，所以cos〈n，→PA〉＝n2→

PA－23

|n||PA→＝|

536＝－

. ,,,,,,

11分

观察可知二面角 D－MC－B为钝角，所以所求二面角的余弦值是－

. ,,,,,,,,,,

12分

20．解：（1）设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

xP＝x，

由已知得

y5P＝4

y，

0，－

3)．

∵Ｐ在圆上，∴ｘ＋y＝25，

即C的方程为＋＝

2516

（2）过点(3，0)且斜率为的直线方程为

3)，

,,,,,

6分

,,,,,,,

y＝(x－

5分

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，4

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得

5x＋25

∴ｘ1＝

3－

413＋

，x2＝

325

＝1，即x－3x－8＝

,,,,,,,,412

9分

∴线段AB的长度为|AB|＝

41. 5

－x2

－y2

＝

161＋

－x2

＝

341＝25

,,12分

21．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得

A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，

1(1，2，1)，E(0，1，0)．C

,,,,

2分

→→（1）证：易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，

→→

于是B1C12CE＝0，

所以B1C1⊥CE. ,,,,,,

3分

→

（2）解：B1C＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

→

m2B1C＝0，→m2CE＝0，

x－2y－z＝0，－x＋y－z＝0.

则即消去x，得y＋2z＝0，

不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2，1)．

1⊥CE1⊥Ｂ1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，由(1)，B1C，又CC

→

故B1C1＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

分

→

m2B1C1→

于是cos〈m，B1C1〉＝＝

→|m||B1C1|

7分

→

1〉＝从而sin〈m，B1C

1的正弦值为，所以二面角B1CEC

－4143

27＝－，

,,,,,,6

,,,,,

. 7

,8分

→→1

（3）AE＝(0，1，0)，EC＝(1，1，1)，

→→→→→

1＝(λ，设EM＝λECλ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE＋EM＝(λ，λ＋1，λ)．→

1A1的一个法向量．可取AB＝(0，0，2)为平面ADD设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则→→|AM2AB|→→

sin θ＝|cos〈AM，AB〉|＝

→→|AM||AB|

＝λ3λ＋2λ＋1

2λ

λ＋（λ＋1）＋λ32，

＝

,,,,,10分

于是

去)，

21＝，解得λ＝(负值舍2

633λ＋2λ＋1,,,,

11分

所以AM＝

,,,,,,,,,,,,,,

12分

22．（1）解：抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为p

，0，2

,,,,,

2分

由点，0在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，

22即p＝4.所以抛物线C的方程为y＝

8x.

,,,,,

4分

（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为①证明：由

0.(*)

y＝2px，y＝－x＋b,,,,

8分

l垂直平分线段PQ，y＝－x＋b.

消去x得y＋2py－2pb＝

0，4

②解：因为因为P和Q是抛物线C上的相异两点，

所以y≠ｙ，从而Δ＝(2p)2

－43(－2pb)>0，化简得方程(*)的两根为y1，2＝－p±p2

＋2pb，

从而yy1＋y2

0＝2

＝－p.

因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－

,,,,,,

10分

因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．

M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，

所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.

由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<4

因此，p的取值范围是

,,,,,,,

12分

p＋2b>0.

高二上学期理科数学期中考试试卷

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.

命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是

（

）

A．“若一个数的平方是正数，则它是负数” B．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2.

交通管理部门为了解机动车驾驶员

(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、

N，其中甲社区有驾驶员12,21,25,43，则这四个社

丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为区驾驶员的总人数A．101 B3.

N为

．1212 D

（

）．2012

1,2，,，

9．抽到的32人中，编号落入

．808 C

采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为

960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为抽到的人中，做问卷A．7 B4.

有一个容量为

B的人数为

（

）．15

区间［1,450］的人做问卷 A，编号落入区间［451,750］的人做问卷 B，其余的人做问卷 C．则

．9 C

．10 D[10,12)内的频数为

200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图

（

）

估计，样本数据落在区间

A．18 B5. 直线xA．6. 的是A．众数7.

的两个事件是

．36 C．54 D．72

y1与圆

B．

2ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是( )

21,21) D．(0,21)

．若 B样本

(0,21)(21,21) C．(

在某次测量中得到的 A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88

（

）

数据恰好是 A样本数据每个都加2后所得数据，则 A， B两样本的下列数字特征对应相同

B．平均数 C．中位数 D．标准差

（

B．至少有一个红球，都是白球 D

．至多有一个红球，都是红球

）

从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立

A．至少有一个红球，至少有一个白球C．恰有一个红球，都是白球8. （

设集合M）

{x|0x3}，N{x|0x

2}，那么“a

M”是“aN”的

A．充分而不必要条件C．充分必要条件9.

B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

S的值为

（

）

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出

A．8 B．18 C．26 D．80 10. 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高根据一组样本数据中不正确的是A．y与

(单位：cm)具有线性相关关系，

(xi,yi)(i

1,2n)求得回归方程为0.85x

（

85.71

）

，则下列结论

具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心C． D．11.

若该大学某女生身高增加若该大学某女生身高为

(x,y)

1 cm，则其体重约增加

0.85 kg

58.79 kg

（

）

170 cm，则可断定其体重必为

命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是

A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

12. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为据的平均数为A．1 B13.

10，方差为2，则．2 C

x，y，10，11，9.已知这组数

（

）

xy的值为

．4

．3 D

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数之和为

________.

14. 命题“若15. 16.

0，则x，y全为0”的否命题是__________

把二进制的110011化为十进制等于_________________ 在区间

1,2上随机取一个数x，则x0,1的概率为__________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.

（本题满分10分）已知

1,2,3；蓝色卡4的概率；

ABC的三个顶点坐标分别是

A(4,3)，B(3,4)，C(4,3)，

求它的外接圆的方程18. (1) (2)

（本题满分12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为

1,2．

从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于向袋中再放入一张标号为

4的概率．

片两张，标号分别为

0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜

色不同且标号之和小于

19. （本题满分12分）如图，在四棱锥

PABCD中，底面为直角梯形

AD//BC,BAD90,PA底面ABCD，且

(1)

ADAB2BC,M,N分别为PC,PB的中点。

DM;

求证：PB

(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。

20 .（本题满分12分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：

月份1 2 3 4 5 6

(2)指出产量每增加

产量（千件）

2 3 4 3 4 5

；

1000件时，单位成本平均变动多少；

单位成本（元）

73 72 71 73 69 68

(1)求出线性回归方程（计算结果保留小数点后两位）

xiyi

参考公式：b

i1n

nxy

，参考数据：

xiyi

1481，

21．（本题满分12分）△ABC中，角A,B,C所对的边分别为

a,b,c，

tanC

sinAsinBcosAcosB

,sin(BA)cosC.

(1)求A,C；

(2)若△ABC的面积

SABC

33,求a,c

{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n

N)均在函数

22. （本题满分12分）设数列

y3x2的图像上。

(1)求数列

{an}的通项公式；

3anan

(2)设bn

的最小正整数

，Tn是数列

{bn}的前n项和，求使得Tn

m20

对所有nN都成立

m。

5分，共60分）3 C

4 B

5 A

6 D

7 C

8 B

9 C

10 D

11 B

12 D

高二理科数学参一、选择题（每小题题号答案

二．填空题：（共4题，每小题5分，满分20分）13．91； 14.

若

0，则x，y不全为0；

15. 51 ； 16.

三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.解：设

ABC外接圆方程为x2

3E4E3E

FFF

000

将三顶点坐标代入圆的方程得，

4D3D4D25

解方程组得，

D0，E

25250，F

所以，圆的方程为

A， B， C，标号为1,2的两张蓝色

( A， B)，( A， C)，

18. 解：（1）标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为

卡片分别记为 D， E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：共10种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，

这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于

( A， D)，( A， E)，( B， C)，( B， D)，( B， E)，( C， D)，( C， E)，( D， E)，

4的结果为：( A， D)，

( A， E)，( B， D)，共3种．

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于

4的概率为

310

．

（2）记 F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：( C， D)，( C， E)，( C， F)，( D， E)，( D， F)，( E， F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，

这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于

( A， B)，

( A， C)，( A， D)，( A， E)，( A， F)，( B， C)，( B， D)，( B， E)，( B， F)，

4的结果为：( A， D)，

( A， E)，( B， D)，( A， F)，( B， F)，( C， F)，( D， F)，( E， F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于

19.解（I）因为N是PB的中点，PAPB，所以ANPB. 因为AD平面PAB，所以ADPB，从而PB平面ADMN.

DM. 因为DM平面ADMN，所以PB

4的概率为

．

（II）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG//CD，

所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等. 因为PB

平面ADMN，所以

BGN是BG与平面ADMN所成的角. BNBG

105

在RtBGN中，sin

BNG

20.解：（1）x3.5，yy

71，b

77.37

1.82，aybx77.37

所以回归方程为：（2）由方程知产量

1.82x

x增加

1个单位时，成本平均减少

1.82元。sinAsinB

，

21 ．解：(1) 因为tanC

sinAsinB

cosAcosBcosCcosAcosB

所以sinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB，即sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB，得sin(CA)sin(BC). 所以CABC,或CA(BC)(不成立).

即2C

，即

sinC

AB, 得CA)51212acsinBcsinC

, 即

，所以.BAA

236

，或B

又因为sin(B得A(2)S又

cosC

，则BA

（舍去）

ABC

68a22

2c32

，

33，

asinA

得

a22,c23.

22. 解：（I）依题意得，

3n2,即

2n。

当n当n所以

2时，

ass

(3n

2n)3n12(n1)6n5;

1时，a1

321

6n5。

(6n11316n1

m205)(6n1)

16n

成立的

（II）由（I）得bn

26n1)

(

151212

≤

16n1(1m20

)，1

故Tn

(112

171

56n6n1

)

因此，使得

m必须满足

，即m10,

故满足要求的最小整数

m为

10。

高二上学期理科数学期中考试试卷

一、选择题（本大题共

12小题，每小题

5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）（1）已知a

（A）ad

b,cbc

d，且c,d不为0，那么下列不等式成立的是（

（B）ac

）（D）a

bd（C）acbdcbd

（2）若m是4和9的等比中项，则圆锥曲线

1的离心率是（

）

（A）

306

（B）

（C）

306

或

（D）

306a

或5

（3）命题“存在x

（A）充要条件

R，使x

ax4a＜0，为假命题”是命题“

（B）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

160”的（

）

（C）充分不必要条件（4）在数列项

和为（（A）45

）

{an}中，已知a1

1，且任意nN，有2an

12an，则数列{an}的前10

（B）55

1f(n)

（C）

652

（D）

552

）

（5）已知函数f(x)x+x，若数列

20182017

的前n项和为Sn，则S2018的值为（

20182019

20192018

（A）

20172018

（B）（C）（D）

（6）设不等式组

0表示的平面区域为0

D，若圆

C:(x1)

（A）（C）

r(r(13,

0)不经过区域D上的点,则r的取值范围是)

（B）（D）[

(0,5)(0，5）

(13,+)5,13]

（7）已知

ABP的顶点A,B分别为双曲线

169

1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，

则

sinP|sinAsinB|

的值等于（）

（A）（B）

（C）

（D）

1213214321

（8）已知数列：,,,,,,,,,,

1121231234

第2017项a2017等于（（A）

）

,依它的前10项的规律，这个数列的

131

（B）

163

（C）

（9）如图，在底面为平行四边形的四棱柱若

ABCD

A1BC11D1中，M是AC与BD的交点，

（D）

（A）

a，A1D1

1212aa12x12b

b，A1Ac，则下列向量中与

（B）

B1M相等的向量是（

）

a12a

b12

（C）

3与抛物线y2

（D）

（10）直线y

2px(p0)交与A,B两点，过A,B两点向抛物线的准

（

）

线作垂线，垂足分别为

（A）2（11）设函数取值范围为（

（A）（-

P,Q,若梯形APQB的面积为48，则p

（B）3

（C）4

（D）5

f(x)

）

mx1，若对于x[1,3],f(x)m4恒成立，则实数m的

，0]（B）[0,

）（C）（-

,0）(0,

)（D）（-

,）

（12）已知椭圆

259

1的左、右顶点分别为

A,B，在第二象限内取双曲线

N.若点M为

259

连结BP交椭圆与点M，连结AP并延长交椭圆与点1上一点P，

BP的中点，则四边形

（A）15

ANBM的面积为（

（B）15

）（C）30

（D）15

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；

2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共（13）命题“（14）已知向量

4小题，每小题

5分，共20分

xR，x2x10”的否定是 .

a(1,1,0),ban中，an

．

(1,0,2)，且akb与2ab互相垂直，则k的值是______. 0，a6

12a4

4，Sn为数列an的前n项和，则

（15）在等差数列

S15

（16）已知P为抛物线y2

点P到点

4x上一个动点，Q为圆x

(y5)

1上一个动点，那么

Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是

三、解答题（本大题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（17）(本小题满分10分) 已知命题p:方程x

mx10有两个不等的负实数根；命题

q:方程4x

（4m-2）x10无

实数根.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求

m的取值范围.

（18）(本小题满分12分) 等差数列{an}的前

n项和记为Sn，已知a1030，a20

50.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{

1anan

}的前n项和为Tn，求证：Tn

124

（19）（本小题满分已知a

12分）

b1，对1a

a,b0,

，

2x2x1恒成立．

（Ⅰ）求

的最小值；

（Ⅱ）求

x的取值范围．

（20）（本小题满分12分）

已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程；

y1相切．

（Ⅱ）动直线l过点P(0,3)，且与点M的轨迹交于称，

求证：直线AC恒过定点．

A，B两点，点C与点B关于y轴对

（21）(本小题满分12分）在等差数列{an}中，首项a1（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列

1，数列{bn}满足bn

(),且b1b2b32

{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.

（22）(本小题满分12分）

已知椭圆C:

1(a

b0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的距离为2

2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为积

的最大值．

，求

AOB面

高二数学（理科）试卷参一、选择题

1. D 2.C 3.A 4.

C 5. C 6. A 7. C 8. C 9. A 10. A 11. D 12.

二．填空题13.

R，x

2x10 14.

15. 120 16.

26-1

三、解答题：（17）解：由p得：

由q知：

mm2)

则m，

=16(m1616(m4m3)0,则1m

∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真.

则

21或m3,或1

或

13m

m2m

解得m2.

（18）解：（1）由an得方程组an (2)

a19da119d

a1(n1)d，a1030,a202,

50，

，解得a112,d

2n10

anan2an

1an

(

11an)

(2a112n12

)

1a2124

1a2

1a3

...

1an

)，

所以Tn

11(2a1

11(2120,b

（19）解：（Ⅰ）∵a

∴

0且ab4b)(a

1，ba

4ab

9，

(

故

的最小值为9．

（Ⅱ）因为对

所以当x当当x∴

a,b(0,)，使

2x2x1恒成立，

2x2x19，

9，解得

x1；1；

1时，不等式化为31

1时，不等式化为13x

9，解得

1时，不等式化为

9，解得112；

x的取值范围为

12．

M与直线y

1的距离，由抛物线定

1,p

分

（20）（1）由题意得点M与点(0,1)的距离始终等于义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线圆心M轨迹方程为（2）设直线

y1为准线的抛物线，则

,,,,,,,,,,,,,,4

4y.

kx3,点A(x1,y1),B(x2,y2)，则C(x2,y2), x

联立

4ykx3

4kx120,由求根公式得

x1x1x2

x212

,,,,,,,6分

kAC

y1x1

y2x2x1

412,

x1x2

4x2

4x1

,AC方程为y

4x1

x1).,,,,8

分

即y

(xx1

x1)x2

x1(x1

x2)x1

x24

x1x24

分

,,,,,10

分

x1x2

x3，即直线AC恒过点（0,3）,,,,12

a11

12d

（21）解：（1）设等差数列{an}的公差为d，

1,bn

1()21

1,bn

()2

，

,b1

,b2

()2

,b3

()2

由b1b2b3

，解得d=1.

1(n1)1n.

().2anbn

112

2()

（2）由（1）得bn

a1b1

a2b2

3()

n()，

则

2T1(1

)2(2)3(2)

n(1

2).

两式相减得1

2(1213

2)(2

)(1n1n12)n(2

)..

（22）解：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意

a2，

,,,,,,,,,,,a2，

b1,,,,,,,,,,,,,,,,

3分

所求椭圆方程为

1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

（Ⅱ）设

A(x1，y1)，B(x2，y2)

（1）当AB⊥x轴时，AB

152

,,,,,,,,,,,,,,,,,,（2）当AB与

x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm

由已知

，得m

1),,,,,,,,,,,,,,,,,

把ykxm代入椭圆方程，整理得

(4k2

1)x

8kmx4m

40，

(8km)

4(4k

1)(4m

16(4k

1m2

x，x4(m1)1

x8km

1x2

,,,,,,,,,,,,,,,,,

(1k2

)(x2

k2m216(m1)2

x1)

(1k)(4k

16(k

1)(4k2

1m2

)

12(k

1)(5k

21)

(4k

1)2

(4k

设4k2

1t,则k

t13(t3)(5t1)34|AB|

143tt

当

1时，|AB|2

最大，最大值为12。此时k=0，m

2分

4分

5分

6分

8分

当AB⊥x轴时，

AB23

152

,,,,,,,,,,,,,,11分

综上所述

ABmax

当

AB最大时，△AOB面积取最大值S

max

,,,,,12分

高二上学期理科数学期中考试试卷

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的1.（A．

12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有.

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a

）

8，B60°，c75°，则b

42 B．43 Ca3

．

46 Da5

．

323

2.等比数列

{an}中，若a2

．- C

4，a4

．32 D

16，则a6

．-32

（）

A． B3.已知等差数列A．5或7 B4.

{an}中，公差d

．3或5 C

2，an11，Sn35，则a1

．3或-1 （

）

（）

．7或-1 D

ABC中，AB3，BC4，CA5,则BACA

．-9

A．15 B．9 C.-15 D

5.已知a、b、c、d成等比数列，且曲线A．5 B6.已知等差数列A．-4 B7.已知

．6 C.7 D

4x7的顶点是(b,c)，则ad等于（

）

．12

13，从第五项开始为负，则．-1

{an}的公差d为整数，首项为

．-3 C.-2 D

d等于（

）

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a

）

2，A45°，若三角形

有两解，则边b的取值范围是（ A．b8.

2 B．b2 C.

2b22 D

．

ABC

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2tanB

）

．直角三角形 C.

btanA，则

的形状是（

A．等腰三角形 B腰直角三角形9. 已知

等腰三角形或直角三角形 D．等

ABC中，sin2B

sinC

sinA

sinBsinC，则A

（）

A．60° B．90° C. D150°．120°

10.《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分

5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，

且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（A．

）

钱 B．

钱 C.

钱 D．

钱

11.设{an}为等差数列，于（

）

|a3||a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数

n等

A.4或5 B.512.已知锐角则

或6 C.6或7 D.8或9

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a

）

2，b2

bc4，

ABC的面积的取值范围是（33

,3] B

．(0,

A．(

3] C.

(

233

,3] D．(

,3)

第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题13. 在

5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

．

asinA

bcosB

ccosC

3，

则此三角形面积为14. 数列

{an}的首项a1

2，an2an

3(n2)，则a7

SnTn

2n11n3

．

15.已知等差数列

{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn，若

，则

a1b2

a5b6

a9b8

a13b12

= ．

16. 如图半圆O的半径为1，P为直径MN延长线上一点，且一点，以PR为一边作等边三角形

OP2，R为半圆上任意

PQR，则四边形OPQR面积最大值为___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cos2A3cos(BC)1.

（1）求角A；（2）若

ABC的面积S103，b5，求边a.

18.已知等比数列（1）求数列（2）设数列

{an}满足an

，nN.

{an}的通项公式；

{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn

tan1，对一切n

N恒成立，求实

数t的取值范围. 19. 在等差数列（1）求数列

{an}中，2a9

a1213，a2

5，其前n项和为Sn.

{an}的通项公式；

1Sn

}的前n项和Tn，并证明Tn

（2）求数列{

20. 在锐角

ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且

3a2csinA.

（1）确定角C的大小；（2）当c

1时，求ABC周长的最大值.

B上，在轮船A出发时，轮船B位于港

30海里的航速沿正东方向匀速行驶，

21. 轮船A从某港口将一些物品送到正航行的轮船口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以

假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过（1）若使相遇时轮船

t小时与轮船B相遇.

A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？

（2）假设轮船A的最高航速只能达到才能在最短时间与轮船22.已知数列（1）求

30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向

B相遇，并说明理由.

{an}及fn(x)

a1xa2x

anx，且fn(1)(1)n,n1,2,3,

a1，a2，a3的值；

{an}的通项公式；

fn()

（2）求数列（2）求证:

理科数学（参）一、选择题

1-5:CADBB 6-10:ACCDB 11、12：BC

二、填空题

13.

9154

14. -61 15.

16.

534

三、解答题17.解：（1）∵(2cos2

A1)3(cosA)

1解得cosA2或

，

∵0

，∴cosA12

，∴A

（2）∵S12

bcsinA，即103

5csin

，

∴c

8，∴a

258cos

，解得a7.

18.解：设等比数列

{aan1

n}公比为q，∵an1

，nN，

∴

aaa2182a19，a3

18，∴q

a3a2，∴2a1a19，∴2

∴

an1

（2）由（1）知S3(12n

3(2

1)，∴3(2

1)t32

1，即

32n

对一切nN恒成立.

令f(n)2

232n1

，则f(n)随n的增大而增大.

∴f(n)min

f(1)

243

，

3，

∴t

，∴实数

t的取值范围是(

,). 3

19.解：（1）设等差数列的公差为得则

d，则由2a9

a213及等差数列的通项公式，3，d

2，

a1an

12，又a2a1

4，解得a1

2n1；

（2）由（1）知

2n，

12)

(1n

n12)，

即

1Sn

12n

1n(n

则

1S1(1

1S212

1n1

1Sn

1Sn)

[(112

131

)(

121

)(

1n1

)(

)]

(

n1n2

所以Tn

20.解：（1）由

3a2csinA及正弦定理得，

2sinA

sinAsinc

∵sinA0，∴sinC

∵

ABC是锐角三角形，∴

asinA

bsinB

（2）∵∴∵

sinC

2，

abc2(sinAsinB)3

23sin(A

，

)3.

ABC是锐角三角形，∴32

故

sin(A

)1，

所以

ABC周长的取值范围是

(33,33].

21.解：（1）设相遇时轮船

A航行的距离为S海里，则

S900t

400230t20cos(90°30°)

900t

600t400900(t

12)3

10313

300.

∴当t

时，

Smin

103，V303，

即轮船A以303海里/小时的速度航行，相遇时轮船A航距最短.

（2）设轮船A与轮船B在Q处相遇，则vt即v

400900t

230t20cos(90°30°)，

900V

600t

400t

∵030，600t

400t

∴900∴V

900，即

0，解得t

23OQ

，又t

时V30，

30时，t最小且为

，此时

POQ中OPPQ20，

∴航向为北偏东

30°，航速为30海里/小时，

B相遇.

轮船A能在最短时间与轮船22.解：（1）由已知

f1(1)a11，所以a13.

f2(1)f3(1)

（2）令x

a1a22，所以a2a3

a1a23，所以a3

1，则fn(1)

a1(1)a2(1)

an(1)，①

an1(1)

fn1(1)a1(1)

两式相减，得

a2(1)an(1)

，②

(1)

所以又

fn1(1)fn(1)

(1)

(n1)(1)n，

an(n1)n,即an

2n1，

a11也满足上式，

所以数列（3）

{an}的通项公式为an

x3x

13()31

2n1(n1,2,3,(2n1)x，

fnx

所以fn()

fn()33

①-②得

3()5()

3313143()5()33

(2n1)()，③

31n1

(2n1)()，④

fn()33

所以fn()

11313

2()2()

33n13

2()3

(2n1)()

，

又n

0，故fn()1.

112n1

又fn1()fn()0，n1

3331111

所以{fn()}是递增数列，故fn()f1().

333311所以fn()1.

1,2,3,

，∴

n11

高二上学期理科数学期中考试试卷

第I卷

（选择题，共60分）12小题，每小题

5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

一、选择题（本大题共

有一项是符合题目要求的）1．两条异面直线所成角的范围是

A．[0,

] B．(0,] Cyy0

．(0,

] D．(0,)

2．若x,y满足约束条件

3，则z2xy的最大值为

A．0 B3．如图，

A．B．C．

．4 C．5 D．6

1C1D1为正方体，下面结论错误－A1BABCD．．的是

D1A1

∥平面CB1D1BD

1⊥B1D1AC

1⊥平面CB1D1AC

1成角为60°AD与CB

D．异面直线

4．一个三角形水平放置的直观图，是一个以

OB为斜边的等腰直角三角形AOB，且

A．

2（如图），则原三角形AOB的面积是

．

2 B

．1 C

2 D

．

5．双曲线

A．y

16x B

1的两条渐近线为

．y

4x C

．y

x D

．y

6．如图，一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为

那么这个几何体的侧面积为

1的正方形，俯视图是一个圆，

正视图侧视图

俯视图

A．

B．

C． D．

7．抛物线

4x上两点A、B，弦AB的中点为P(2,1)，则直线AB的斜率为

．2或

A．2 B8．如图，在直三棱柱

线

2 C

．2或 D

．

ABC

A1B1C1中，∠ACB1＝2，AC＝90°，AA＝BC＝1，则异面直

A1B与AC所成角的余弦值是

6 B5

．

A．

6 C4

．

6 D

．

9．已知点P在抛物线

小值为A．9

4x上，点A5,3，F为该抛物线的焦点，则

PAF周长的最

B．10 C．11 D．12

10．已知双曲线

1（a0,b

0）的焦距为210，且双曲线的一条渐近线

与直线y2x垂直，则双曲线的方程为y

A．

1 B．

1 C．

328

1 D．

832

11．如图（1）所示，已知正方体一个面的对角线长为成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的全面积为

a，沿阴影将它切割成两块，拼

A．(122)a

B．

(22)a

C．

(322)a

D．

(42)a

12．已知双曲线

1（a

0,b

0）的右支上一点

P，过P点分别做双曲线

PQOR的

的两条渐近线的平行线PQ、PR，分别交渐近线于Q、R，则平行四边形

面积

A．为定值

ab2

B．有最大值

2ab2

，无最小值

C．有最小值

ab2

，无最大值 D

．无法确定

第Ⅱ卷

（非选择题，

共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上

13．已知抛物线方程是y

4x，则它准线方程为

．

14．

设,

为互不重合的平面，

m,n是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m/

/n,n,则m//

②

若m

,n,m//，n//，则//

③若

//,m

,n，则m//n④若,

m,n

m,则n

；

其中正确命题的序号为

．

15．将一个半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的母线与底面所成的角为

．

)

16．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为．

2 1 2

正视图

侧视图

俯视图

三、解答题（本大题共17．

（本题10分）

6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

斜率为1的直线过抛物线点．(I)求(II)

4x的焦点，与抛物线交于两点

A、B，M为抛物线上的

AB；

ABM

若S42，求点M的坐标．

18．（本题12分）如图，正方体

ABCD

A1BC11D1中，M、N分别为AB、BC中点．

MN//平面AC11P，证明你的结论；

(I)当点P在棱(II)

若P是

DD1上运动时，是否都有

DD1的中点，求异面直线

A1P与B1N所成的角的余弦值．

PDA

19．（本题12分）如图，四面体

ABCD中，ABAC

ADCBCD

3，AC22，BD

1．

(I)求二面角B(II)

D的大小；

求四面体ABCD的体积．

20．（本题12分）已知双曲线

1与直线l:y

kx1有两个不同的交点A,B．

(I)求实数k的取值范围；(II)

若OA

0，求实数k的取值范围．

21．（本题12分）矩形纸板ABCD中，将

ABD沿BD折起到

ABD，使二面角A

BDC为60，

(I)求异面直线AC与BD所成角的余弦；(II)

求AC与平面BCD成角的正切．

22．

已知抛物线

（本题12分）

L：

2pxp

0的焦点为F，直线y

QF．

42与y轴的交点为P，与

L的交点为Q，若PQ

(I)求(II)

L的方程；

L的切线与x轴相交于N点，N点关于原点的对称点为

L于A,B两点，交椭圆

过Q作抛物线

M点，过

点M

的直线交抛物线

4m3m

0于C,D两点，

使得AMCMBMDM成立，求该椭圆长轴长的范围．

F B

高二学年第一模块数学（理）试卷答案

一、选择题

CDDDD CADCA BA 二、填空题13. x

1 14.

④ 15.

16.

三、解答题

17. （Ⅰ）8；（Ⅱ）(1,2),(1,-2),(9,6). 18. （Ⅰ）是；

（Ⅱ）

19. （Ⅰ）

；（Ⅱ）

6. 6

20. （Ⅰ）

(-2,-1)(-1,1)(1,2)；21. （Ⅰ）

313；（Ⅱ）30. 1310

22. （Ⅰ）

8x；（Ⅱ）(8,410).

(-2,-1)(1,2).

（Ⅱ）高二上学期理科数学期中考试试卷

一、选择题：本大题共1．若b

12小题，每小题

5分，满分60分．

0a，dbd

c0，则

B．

A．ac

C．adbc D．acbd

2．若ab1a

0，则下列不等关系中，不能成立的是1b

A．

B．

1122

C．a3

D．a

3．在

ABC中，已知abc

2ba，则C=

．45 D

．135

A．30 B4．等差数列

．150 C

{an}中，a1

1，a5a998，Sn为其前n项和，则S9等于

C．297 D

．300

A．291 5．已知等差数列

A．

B．294

{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于

．

4 B6 Cyy1

，则z

．

8 D

．

6．已知实数x，y满足

x2y的最小值是

A．7 7.不等式 A．x

B．－3 C．

D．3

(1x)(1

x)0的解集是

．{x

0 Bx0且x1} C．x1

x1 D．{xx1且

x1}

8．若a

0,b1

0，且a

b2，则

C．a

A．abB．ab

4D．a

9．已知等比数列

A．

{an}的公比q

B．

0,其前n项和为Sn,则a9S8与a8S9的大小关系是

a9S8a8S9a9S8a8S9C．a9S8a8S9 D．a9S8与a8S9的大小不确定

10．

ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为

a、b、c，若

asinAsinBbcosA

A．

11．若关于

A．a

2a，则

．2

23 B2 C4a

．

3 D

．

x的不等式

2x8x0在1

4内有解，则实数a的取值范围是

12y1x1

D．a

B．aC．a12

12．若实数

0,yy0,2

则w

x、y满足不等式组

x2x

的取值范围是

, C. 23

二、填空题：本大题共13．设x

4小题，每小题5分，满分20分．

0，y

0，且

1，则xy的最小值为．

14．若锐角

ABC的面积为103，且AB1，求函数y

5,AC

8，则BC等于

．

15．设x

的最小值为．

16．已知数列

an满足a133,an

2n,则

ann

的最小值为__________.

三、解答题：本大题共17.（本题满分10分）

如图，在

6小题，满分70分．

CAD

，

ABC中，点D在BC边上，

210

，cosADBC的值；5，求

．

（Ⅰ）求sin（Ⅱ）若BD

ABD的面积．

18．（本小题满分12分）

设计一幅宣传画，要求画面面积为下各留8cm空白，左、右各留4840cm，画面的宽与高的比为

(1)，画面的上

5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸

张面积最小？

19. （本小题满分

12分）

已知等差数列{an}满足a2

0，（Ⅰ）求数列

{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列an2

的前

n项和．

a6a810.

20.（本题满分12分）

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱

1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；

900元，每1吨乙

250吨，

生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为

种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.

21．(本小题满分12分) （Ⅰ）设不等式值范围；（Ⅱ）是否存在实数都成立．

2x1m(x

1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，求x的取

m,使得不等式2x1m(x21)对满足|x|2的一切实数x的取值

22．(本小题满分12分)

数列

{an}的前n项和为Sn，已知Sn

(n1)，且a1，a2，a32三个数依次

成等差数列.

（Ⅰ）求

a1的值；

{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列{bn}满足

（Ⅱ）求数列

1bn

log2(an1)，设Tn是

其前

n项和，求证：Tn

参

一、选择题：本大题每小题1 A

2 B

3 C

4 C

5分，满分60分．

5 B

6 B

7 D

8 A

9 B

10 D

11 A

12 D

二、填空题：本大题每小题

13．18. 14三、解答题：17．（本小题满分

如图，在

10分）

5分；满分20分．

．9．16．

．7. 15

212

．

ABC中，点D在BC边上，

210

CAD

，

，cosADBC的值；5，求

．

（I）求sin（II）若BD

ABD的面积．

解:（I）∵cos

ADB

210

，

∴sinADBCADC22

72104

，,,,,2分

又∵∴sin

，∴

)

ADBsin

，,,,,3分

sin(ADB

210

22sin

445AD

ADBcos

cosADBsin

,,,,5

分

7210

（II）在

；

ACD中，由

sin

ADC

，

，,,,,8分

∴S分

ABD

ADBDsinADB

225

7210

7. ,,,,10

18．设计一幅宣传画，要求画面面积为下各留8cm空白，左、右各留张面积最小？

解：设画面高为

4840cm，画面的宽与高的比为

(1)，画面的上

5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸

x cm，宽为x cm

则x

4840，x

4840

, ,,,,2

分

设纸张面积为

S，有 S=（x +16）(

x +10) =

x+(16

+10) x +160,

,,,,

5分

S5000(1610)x50004410(8

当8

,即

55(88

1)时S取得最小值.

,,,,10

分

此时，高：

4840

88cm,

宽：

8855cm,

,,,,12

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．分

19．（本小题满分

已知等差数列（Ⅰ）求数列

12分）

{an}满足a2

0，a6a8

10.

{an}的通项公式；

an2

（Ⅱ）求数列的前

n项和．

a12a1

10,

解：（Ⅰ）设等差数列

{an}的公差为d，由已知条件可得

12d

解得

a1d

1,1.

故数列

{an}的通项公式为an

an2

2n.

,,,,,,5分

（Ⅱ）设数列的前

n项和为Sn，

即

Sna1a1

a22a24

1时，a1214

1n1,故S

2an2

1，

Sn2

所以，当n

Sn2

a112

a2anan

an2

22n2

)1(1

)

nn2

所以Sn

an2

综上所述，数列的前

n项和为Sn

,,,,,,12分

20．（本小题满分12分）

1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；

900元，每1吨乙

250吨，

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱

生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为

解：设生产甲、乙两种棉纱分别为则z＝900x＋600y

x、y吨，利润总额为

z，

且

y0,y

250，300，0，

，即可行域.

,,,,,,

5分

x2yx

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图）作直线l：900x＋600y＝0，即3x＋2y＝0，把直线l向右上方平移至过直线直线x＋2y＝300的交点位置M（

此时，所求利润总额分

21．（本小题满分

12分）

2x＋y＝250与

2003

，

3503

），,,,,,,11分

,,,,,,12

z＝900x＋600y取最大值130000元.

（Ⅰ）设不等式取值范围；（Ⅱ）是否存在立．

解：（Ⅰ）不等式令

2x1m(x

1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，求x的

m使得不等式

2x1m(x

1)对满足|x|2的一切实数x的取值都成

2x1m(x

1)可化为2x1m(x

1)0，

f(m)2x1m(x1)(1x)m2x1,

要使不等式

2x1m(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，即只需当

|m|2时，

立，

关于

f(m)2x1m(x

1)0恒成

,,,,,,,,,,

2分

m的函数f(m)

2x1m(x

1)的图象是一条直线，则有－31

x＜＋312

f(2)0,

f(2),

，即

2x2x

2x10,2x30,

，即

－1－7

,x2－1＋7

∴满足条件的

x的取值范围为

,,,,,,,,,,

6分

7－12

＜x＜

3＋12

（Ⅱ）令

都有

g(x)

2x1m(x

1)mx

2x(m1)，使|x|2的一切实数

2x1m(x

当m

1).

2x1在

2时，g(x)

0，不满足题

0时，g(x)

8分

意；,,,,,当m

0时，g(x)只需满足下式

0,2，或

0,1

44m(m1)

0，

或

g(2)0，

mg(2)g(2)

0,0，0，

0，

,,,,,,,,,,10分

解之得上述不等式组的解集均为空集，故不存在满足条件的

值. 22．（本小题满分

已知数列数列.

（Ⅰ）求

12分）

m的

,,,,,,,,,,

12分

{an}的前n项和为Sn，且满足Sn

(n1)，且a1,a2,a32成等差

a1的值；

（Ⅱ）求数列

{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列

{bn}满足

1blog2(an1)，设

Tn是其前n项和，求证：Tn

n解：（Ⅰ）由已知Snan

(n1)，得当n1时，S1

2，

①,,,,,,,,,,,分

当n2时，S2

3，

a32a1

5②,,,,,,,,,,,又∵a1,a2,a32成等差数列，∴2a2

③,,,,,,,,,,,

分

将①、②代入③解得：a1

,,,,,,,,,,,,分

（Ⅱ）由Snan

(n1)得：Sn

n,,,,,,,,,,,,,,,

分

∴anan

1即an

2an1,

,,,,,,,,,,,,,,,,,分

∴

2(an1), ∴{an1}是以a11

2为首项，2为公比的等比数列

,,,,,,,,,,,,

∴

a12n

n，

∴an

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分

（Ⅲ）由

1blog2(an1)得：b1n

,,,,,,,,,,,,,,,,,,分

①当n1时，T17n1

，

②当n

2时，T1157n

，

2分3

7分

分

③当n3，nN*

时，11n

(n1)n，,,,,,,,,,,,,,10分

∴T1111n

111142334(n1)n

114[(1

23)(1

134)

(11n1

n)]

(11712n

综上所述，当nN*

时，T7n

. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12高二上学期理科数学期中考试试卷

一．选择题（共

12小题，每小题

5分，共60分）

1．在直角坐标系中，直线A

B．

2x1

0的倾斜角．．．是（

C．

）D．不存在

2．甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为（A．

） B

．

，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为

D．

200人，高三年级

400人，先（

）

3．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级

采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为

．15、15、15 ．15、10、20

A．15、5、25 BC．10、5、30 D4．命题“若xy数为（

）

．1

0，则x2

0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个

A．0 B．2

D．4

5．利用秦九韶算法计算多项式

乘法和加法的次数分别为（A．6 、6 B6．平行于直线

．5 、6

f（x）=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1当x=4的值的时候需要做

）

C．5 、5 D

．6 、5

）=0 =0

2x+y+1=0且与圆x+y=5相切的直线的方程是（

B．2x+y+

=0或2x+y﹣=0或2x﹣y﹣

A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0

C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+7．下列四个数中，最大的是（A．11011（2）

） C．44（5）

D．25

4，则实数a的值是（

）

B．103（4）

8．已知圆x+y+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为A．﹣2

．﹣4 C

．﹣6

．﹣8

9．是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若

m，n，且Am，A

，

则m，n的位置关系不可能是（A．垂直 B

．相交 C

）．异面

．平行）

10．执行如图所示的程序框图，则输出

A．B．C．D．

s的值为（

11.设a的（

R，则“a

）

1”是“直线l1:ax2y10与直线l2:x(a1)y

40平行”

A．充分不必要条件C．充要条件12．已知动直线l:ax线l的最大距离为A．

B．

B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3，则 C

c12a

22c

0(a0，c0)恒过点P（1，m），且Q（4，0）到动直

）

的最小值为（ D

．9

．1

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）2，1，4）关于

13．在空间直角坐标系中，点（﹣14．经过点（1，2）且与直线2x15．在的概率

x轴的对称点的坐标是

．

y10垂直的直线方程为

kx与圆(x

1,1上随机地取一个数

．

k，则事件“直线y

9相交”发生

16．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，

沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是

．

三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分）

17．（本题满分10分）已知m求实数

0，p:(x2)(x6)0，q:2mx2m，p是q的充分条件，

m的取值范围。

18．（本题满分12分）

从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩分成

6段[40，50），

[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），

[90，100]后，画出如图的频率分布直方图．根据图形信息，解答下列问题：

（1）估计这次考试成绩的众数和及格率．（2）估计这次考试成绩的平均分；

19．（本题满分12分）

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出

7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分

85，乙班学生成绩的中位数是

83．

100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差

s；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

附：方差s

(x1-x)

(x2

(xn

20．（本题满分12分）从某居民区随机抽取

10个家庭，获得第

i个家庭的月收入

xi（单位：千元）与月储蓄

10101010

（单位：千元）的数据资料，算得

80，

20，

xiyi

184，

720．

（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程

ybxa；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为

7千元，预测该家庭的月储蓄．

xiyi

附：线性回归方程

nxy

，

ybxa中，b

i1n

ybx，其中x,y为样本平

均值．

21．（本题满分12分）

如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2

1=AA

1=2，BB

，

，点E和F分别为BC和A1C的中点．

A1B1BA；

（1）求证：EF∥平面（2）求证：平面

1⊥平面BCB1；AEA

1所成角的大小．（3）求直线A1B1与平面BCB

22．（本题满分12分）

已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线

l1:

相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线

l与l1相交于点P．

（1）求圆A的方程；（2）当（3）

MN219时，求直线l的方程；

BPBQ是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

答案与解析B．选择题（共

12小题）

1---6 BCDCAA 7---12 ABDDAB C．填空题（共

4小题）

15.

16.

12分，共70分）

13. （﹣2，﹣1，﹣4） 14. x-2y+3=0 三．解答题（共

6小题，第17题10分，其余每小题

17．（本题满分10分）解：p：﹣2≤x≤6．∵ｐ是q的充分条件，

∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的子集

∴∴实数m的取值范围是[4，+∞）．

18．（本题满分12分）解：（1）由众数概念知，众数是出现次数最多的，

在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为这次考试成绩的及格率

1﹣（0.005310﹣0.01310）

85．=0.85

（2）这次考试成绩的平均分约为：453（0.005310）+553（0.01310）+653（0.025310）

=73；85，

+753（0.025310）+853（0.03310）+953（0.005310）19．（本题满分12分）解：（1）∵甲班学生的平均分是∴

∵乙班学生成绩的中位数是

，∴x=5，

83，∴y=3；

A，B，

（2）甲班7位学生成绩的方差为（3）甲班成绩在

=40；

90分以上的学生有两名，分别记为

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为从这五名学生任意抽取两名学生共有

C，D，E，

10种情况：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），

（D，E）

其中甲班至少有一名学生共有D），（B，E）．记“从成绩在

90分以上的学生中随机抽取两名学生，

M，则

．

7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，

甲班至少有一名学生”为事件答：从成绩在

90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为

20．（本题满分12分）解：（1）由题意可知n=10，===8，===2，

故l=

xx=720﹣1038=80，lxy=

=184﹣103832=24，

故可得b=═=0.3，a==2﹣0.338=﹣0.4，

故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；

x与y之间是正相关；0.4=1.7（千元）．

（2）由（1）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故（3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为21．（本题满分12分）（1）证明：连接

y=0.337﹣

A1B，在△Ａ1BC中，

∵Ｅ和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥Ａ1B，又∵Ａ1B?平面A1B1BA，EF?平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；

（2）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，

1，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB

1，∴平面1⊥平面BCB1；又∵AE?平面AEAAEA

（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵Ｎ和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，

1N平行且等于∴ＡAE，

B1B，

又∵AE⊥平面BCB1，∴Ａ1N⊥平面BCB1，

∴∠Ａ1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴Ａ1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA∥AB且A1M=AB，1，∴Ａ1M又由AB⊥BB1，∴Ａ1M⊥BB1，在RT△Ａ1MB1中，A1B1=

=4，

1中，sin∠Ａ1B1N=在RT△Ａ1NB=，

∴∠Ａ1B1N=30°，即直线1所成角的大小为A1B1与平面BCB30°

22．（本题满分12分）已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线

l1:

0相切．过

点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线P．

（1）求圆A的方程；（2）当（3）

l与l1相交于点

MN219时，求直线l的方程；

BPBQ是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

解：（1）设圆A的半径为r，圆与直线∴圆A的方程为（x+1）+（y﹣2）=20．（2）当斜率k不存在时，即直线与当当斜率k存在时，设出直线QM=AQ=可得：

．

，即圆心到直线

，解得k=

y=k（x+2）的距离为1．

x轴垂直，可得

相切，可得r=d=

x=﹣2，符合题意；

时，

l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当

∴直线l的方程为x=﹣2或y=（3）∵AQ⊥BP，∴

=（

）？

（x+2）．

．

x轴垂直，可得

P（﹣2，﹣

），

，又

①当斜率k不存在时，即直线与

，

∴．

②当斜率k存在时，设直线l的方程，由解得P（

，

），则∴

=﹣5

综上所得，是定值，且这个定值．

，

高二上学期理科数学期中考试试卷

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的1.在

12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有.

ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A135,B30,a2，则b等

于（）A．1 B

．

2 C

．

3 D45,a2

．2

2.若{an}是等差数列，且A．39 B3.设aA．

a7a839，则a3a6a9

（）

．20 C．19.5 D．33）

11b

1，则下列不等式中恒成立的是（

．

）

．ab D

．a

4.下列说法正确的是（A．命题“B．“x

R,x0

5xx

10”的否定是：“

0”的必要不充分条件

1 D

xR,x

x10”

．命题“若x

1”是“x2

1，则siny”

x1”的否命题是：若

1，则x

．命题“若x

y，则sinx

的逆否命题为真命题5.在

ABC中，如果(abc)(bca)3bc，那么A等于（）

．150

A．30 B6.设等比数列A．31 B

．60 C．120 D

{an}的前n项和为Sn，若S2

．32 C

3,S415，则S16

．

（）

．63 D

7.设变量x,y满足约束条件

y12y

0，则目标函数z

2y的最小值为（

）

A．

5 B

．

4 C,

123

．

2 Dn,

的前

．3

8.数列1,

12123

n项和为（）

A．

nn1

B．

2nn1

C．

4nn1

D．

n2(n1)

）．

9.若A．

ABC为钝角三角形，三边长分别为

．(

2,3,x，则x的取值范围是（

．(

(1,5) B13,5) C

5,13) Df(n)，则a1

．10

(1,5)(13,5)

10.记为f(n)自然数A．2 B

n的个位数字，

f(n)

a2......a2018的值为（）

．6 C．8 D

11.已知a,b，为正实数，①若a②若③若④若

b1a

1，则a1，则a

b1；1；

|a|a3

b|1，则|ab|1；b|1，则ab1；

）

．③④ D

．①④

上述命题中正确的是（A．①② B12.如图，在面积为

．②③ C

1的正

A1B1C1内作正A2B2C2，使

A2B2C2内作正

（）

A1A2

记正

2A2B1,B1B22B2C1,C1C22C2A1，以此类推，在正A3B3C3，

AiBiCi的面积为ai(i1,2,3......,n)，则a1a2

......an

A．2[1

()] B2

．

3)[1(

)]

3[1()]

3．

4[1()]

4D．

第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题13.不等式14.在锐角

5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

2xax2a0(a

0)的解集是

．

ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若

的值是

6cosC，则

tanCtanA

tanCtanB

．

15.已知条件则

p:{x|xx60}，条件q:{x|mx1

．

0}，且q是p的充分不必要条件，

m的取值集合是

16.已知实数

x,a1,a2,y等成等差列，x,b1,b2,y成等比数列，则

．

(a1a2)的取值范围b1b2

是三、解答题17.已知

（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

2:px8x200,q:x22x1m2

0(m0).

（1）若p是q充分不必要条件，求实数（2）若“

m的取值范围；

m的取值范围. 45,a1

14.

p”是“q”的充分不必要条件，求实数

0，又a2a3

18.已知等差数列（1）求数列

{an}中，公差d

{an}的通项公式；

1anan

（2）记数列bn

，数列

{bn}的前n项和记为Sn，求Sn.

a,b,c，且满足

19.已知

ABC的三个内角A,B,C成等差数列，它们的对边分别为

a:b2:3,c2.

（1）求A,B,C；

（2）求

ABC的面积S.

.设菜园的

20.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有）的矩形菜园长为

xm，宽为ym.

（1）若菜园面积为

72m，则x,y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

30m，求

（2）若使用的篱笆总长度为

的最小值.

21.如图所示，甲船由小时，在甲船从

A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为

A岛正南海里处的

152海里/

A岛出发的同时，乙船从B岛出发，向北偏东

(tan

)的方向作匀速直线航行，速度为海

m里/小时.

（1）求4小时后甲船到（2）若两船能相遇，求22.各项均为正数的数列（1）求数列

B岛的距离为多少海里？

{an}的前n项和为Sn满足Sn

n1)Sn

n)0.

{an}的通项公式an；

4an

（2）若bn

4an

，数列

{bn}的前n项和为Tn，整数M

T2017，求M的最大

值.

试卷答案一、选择题

1-5:ADCDB 6-10:CBBDC 11、12：DC

二、填空题

13. [a,2] 14.

4 15.

{

2,0,3

} 16. (,0][4,)

三、解答题17.解：P:2x10,Q:1mx1m

（1）

P是Q的充分不必要条件，

0,[2,10]是[1m,1m]的真子集.

1m10,

实数m的取值范围为m

（2）

“非P”是“非Q”的充分不必要条件，

Q是P的充分不必要条件.

m0,1m

1m10,

实数

m的取值范围为0

m3.

18.解：（1）

a2a3a1a414,a2a3

45，且d0，

a25,a3

4,a11

1(n1)4

4n3

（2）

b11

11n

anan

(4n

3)(4n1)

4n1

)

bn的前n项和Sn

19.解：（1）

......2B

14n3

14n1

)

14n1180，

)

n4n1

A,B,C成等差数列，

AC，又A

B60,AC

120

由正弦定理

abc2sinA

sinA

sinB

sinC

知，

,sinA

2sin602

又

ab,AB,A45,C120A75，

综上，

45,B60,C75；

（2）sinCsin75sin(3045)62

4，

由

ab2ab2

sin45

sin60

sin75

2362

，

4得

a2(31),b

6(31)，

B12(31)23ABC

acsin22

33. 20.解：（1）由已知可得xy

72，而篱笆总长为

2y；

又因为

x2y2xy24，

当且仅当x2y，即x

12,y

6时等号成立.

所以菜园的长

x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

（2）由已知得x

30，

又因为

(

12y2xx

)

(x2y)5

2y2xx

9，

所以

123

，

当且仅当x

y，即x10,y

10时等号成立.所以

12x

的最小值是

310

21.解：（1）设4小时后甲船航行到在

C处，ACAC

602，又AB

40,BAC135

2034

ABC中，由余弦定理得

BCAB

2ABACcos135

（2）设两船在M处相遇，

AMB45

1010

又tan

,sin

,cosAMsin

255sin

,sinAMB,AM

sin(45402

)

在

ABM中，由正弦定理得

ABAMB

又由余弦定理得

BN405，

402152

小时3

两船在M处相遇时所用时间为

BMt

40583

155（海里/小时）

22.解：（1）又

n1)SnSn

(nn

[Sn(n

n)](Sn

1)0

0,Sn

2时，anbn

10Sn

4an

2n，而a1

2适合

(n1)(n1)

（2）1

n(n1)

n(n1)2n(n1)

12018

n(n1)1n(n1)

)

2018

n(n1)

T2017

2017

)n1

2017.

2018

Mmax

高二上学期理科数学期中考试试卷

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的1.命题“A．C．

12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有.

R，x

2x3

30”的否定为（

．．

）

R，x

0 B

R，x

R，x02x0

30 D

R，x0

）

2x0

2.计算机执行下边的程序后，输出的结果是（

abab

20172018aba

ba,b

．-1,4035 C

．1,2019 D

．-1,2017

A．-2018,2017 B

3.若焦点在

x轴上的椭圆

．

1的离心率为85

．

，则实数

m等于（

）

A．

2 B

4. 某学校有小学生中抽取一个容量为A．简单随机抽样

125人，初中生95人，为了调查学生身体状况的某项指标，需从他们100的样本，则采取下面哪种方式较为恰当（

B．系统抽样D．分层抽样

）

C.简单随机抽样或系统抽样5.已知抛物线的方程为A．（1,0） B6.设a

．(

2ax，且过点(1,4)，则焦点坐标为（

116

,0) C.

2(0,

116) D

）

．（0,1）

）

R，则“a1”是“a2

0”的（

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C.充要条件D．既不充分也不必要条件

7.已知事件A、B，命题p：若A、B是互斥事件，则p(A)p(B)1；命题q：

）

．p或q

p(A)

A．

p(B)

1，则A、B是对立事件，则下列说法正确的是（

．

p是真命题 Bq是真命题 C.p或q是假命题 D

是真命题

8.某市对上下班交通情况做抽样调查，

作出上下班时间各抽取

12辆机动车行驶时速（单位：

km/h）的茎叶图（如下）：

则上下班时间机动车行驶时速的中位数分别为（A．28与28.5 B9.已知一组正数

．29与28.5 C.28

）

与27.5 D

．29与27.5

x1，x2，x3，x4的方差为s

2的平均数为（

16)，则数据x12，

x22，x32，x4

）．6

A．2 B．3 C.4 D

10.如图，已知椭圆

3216

1内有一点B(2,2)，F1、F2是其左、右焦点，

）

M为椭圆上

的动点，则

|MF1|+|MB|的最小值为（

A．

42 B．62 C.4 D

．6

11.已知

a、b、c为集合A{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算

a，则输出的数a

5的概率是（

）

法输出一个整数

A．

310

B．

110

D．

A、B

12.如图，以AB为直径的O有一内接梯形ABCD，且ABCD，若一双曲线以

COB

时，双曲线的离心率为（

）

为焦点，且过C、D两点，则

A．2 B．

512

C．

13 D

．

312

第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题

5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

437与323的最大公约数为

．

13.用更相减损术求得

14.已知抛物线C的焦点在焦点的距离是

x轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线C上一点(m,2)(m1)到

．

0.3，我们用模拟试验的方法来

0,1,2表示甲获胜，

，则抛物线C的方程为

15.甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知甲每局获胜的概率位计算甲获胜的概率采用三局两胜用3,4,5,6,7,8,9

（规定必须打完三局）.首先规定用数字

表示乙获胜，然后用计算机产生如下20组随机数（每组三个数）：

945 860 314 217 569 780 361 582 120 948 602 759 376 148 725 549 182 674 385 077 根据以上数据可得甲获胜的概率近似为

．

16.在一个古典型（或几何概型）中，若两个不同随机事件“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，

A、B概率相等，则称A和B是

事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等

；

概率事件”，关于“等概率事件”，以下判断正确的是

①在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件”

②若一个古典概型的事件总数为大于2的质数，则在这个古典概型中除基本事件外没有其

1，所以任意两个必然事件是“等概率

他“等概率事件”；③因为所有必然事件的概率都是事件”；

④随机同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”. 三、解答题

（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.）

17. 根除如下一个算法：第一步，输入第二步，若x第三步，若x第四步，输出

x；

0，则y0，则yy.

1，否则执行第三步；

1，否则y|x|；

（1）画出该算法的程序框图；（2）若输出y的值为1，求输入实数

x的所有可能的取值.

18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数

x（个）

2 2.5

3 3

4 4

5 4.5

加工的时间y（小时）

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图：

（2）求出y关于

x的线性回归方程

nxynx

ybxa，并在坐标系中画出回归直线

xiyi

（注：b

i1n

，aybx）

19.设p：实数（1）若a

x满足x2

4ax3a

0；q：实数x满足

1x31.

1，且p

q为真，求实数x的取值范围；

（2）若a0且p是q的充分不必要条件，求实数

a的取值范围.

20.已知抛物线C：线的交点，直线

2px（p0）的焦点为F，点K(1,0)为直线l与抛物线C准

l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

（1）求抛物线C的方程；（2）证明：点F在直线BD上.

21. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，

其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1

个，标号为2的小球2个.从袋子中不放回地随机抽取小球两个，每次抽取一个球，记第一次取出的小球标号为

a，第二次取出的小球标号为

（1）记事件A表示“a2”，求事件A的概率；

（2）在区间[0,2]内任取两个实数

x，y，求“事件x

0经过椭圆

(ab)恒成立”的概率.

G22.如图，已知圆：x

1（a

0）的右焦

点F及上顶点B，过椭圆外一点(m,0)（m两点.

（1）求椭圆的方程；（2）若

a）且斜率为

的直线l交于椭圆C、D

FCFD

0，求m的值.

高二数学试卷（理科）参一、选择题

1-5:DDADC 6-10:BBDCB 11、12：AC

二、填空题13.19 14. y

2x 15.0.2 16.

三、解答题

17.解：（1）程序框图为

（2）由

11得x

2或x

2（舍去），

由y|x|1得x1或x

1（舍去），

由x

0得y1.

所以输入实数

x的所有可能取值为2，-1,0.

18.解：（1）三点图如图：

4（2）由表中数据得

xiyi

52.5，

x3.5，

y3.5，

∴

b0.7，∴a1.05，∴y

0.7x1.05.

回归直线如上图所示

①④

54，

19.解：（1）由x当a由

4ax3a

0得(x3a)(x

a)0，

1时，11

x，3，即p为真实数x的取值范围是（1,3）

x31，得2x4，即q为真实数x的取值范围是（2,4）

若pq为真，则p真且q真.

所以实数

x的取值范围是（2,3）

（2）由x4ax3a

0得(x3a)(x

a)0，

p，

1}，则A

1或

p是

设又

q的充分不必要条件，即

q，且

A{x|xA{x|x

4ax3a4ax3a

{x|x

0}，B{x|x31或x30}{x|x

2}，

B，

a或x3a}，B{x|x3

则01}4或x4，

2，且3a

a的取值范围是[,2].

20.解：（1）依题意知所以抛物线C的方程（2）设将x从而

1，解得p

2，

y4x.

my1（m

0），

A(x1,y1)，B(x2,y2)，则D(x1,y1)，且直线l的方程为x

my1代入y

4x，并整理得y

y1x2

y2x1

4my40，

y1y24m，y1y2

又直线BD的方程为y

x2)，

所以可得

y1y2

4y2

)，令y0，得x

y1y24

所以点F(1,0)在直线BD上.

21.解：（1）两次不放回抽取小球的所有基本事件为

(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，

(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的

基本事件为所以P(A)（2）记“

(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个.

412

(ab)恒成立”为事件B，

则事件B等价于“

4”.

(x,y)可以看成平面中的点，

则全部结果所构成的区域而事件B所构成的区域

{(x,y)|0x2,0y2,x,yR}，

B{(x,y)|x

4,x,y}，

P(B)

SBS

2222

G22.解：（1）∵圆：x

2x2y

0经过点F、B，

0或2，

令y0，得x0或2；令x0，得y

∴F(2,0)，∴c

B(0,2)，

2，∴a

2，b

6，

故椭圆的方程为

（2）由题意得直线

l的方程为y

(xm)（m6）.

由

消去y得2x

2mxm

60.

(xm)34m

由又

8(m

6)m

0，解得23.

23m23.

m6，∴6

设

C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1m，x1x2

∴y1y2

[

(x1

m)][

(x2

m)]

x1x2

(x1x2)

∵

(x12,y1)FD

(x1

2)(x2

(x1

2,y2)，

y1y2

43x1x2

m63

(x1

x2)3.

∴FCFD

2m(m3)

∵FCFD0，∴

2m(m3)

0，解得m0或m

又

23，∴3

m3.

高二上学期理科数学期中考试试卷

一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．椭圆

2516

1上的一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离是（

A．2 B．3 C．5 D．7

2．已知ab

0，bc0，则直线axbyc0通过(

) 象限

[KS5UKS5U]

A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D

．第二、三、四

3．命题“

a5，则a

8”以及．．它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是A．1 B．2

C．3

D．4

4．抛物线

y2x2

的准线方程为（

）

A．y1

B．y

112

C．y

D．y

5．与圆

C:(x1)

(y3)

36,C2

12:x

y4x2y

40都相切的直线有（

A．1条

B．2条C．3条

D．4条

6．下列说法中正确的是

( )

A．“f(0)

0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件 B．若p:x0R,x2

10，则p:xR,x

x10

C．若pq为假命题，则p,q均为假命题

D．“若

，则1”

sin

1”的否命题是“若，则2

sin

7．在棱长为1的正方体

ABCDA1BC11D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么

直线AM与CN所成角的余弦值是（

）

A．

B．

C．

D．

1010

）

（

8．“ab

0”是方程“ax

c”表示双曲线的（

B．必要不充分条件

）

A．充分不必要条件C．充要条件9．命题“任意

A．a

D．既不充分也不必要条件

x1,2，x－aB．a）

0”为真命题的一个充分不必要条件是（4

C．a

）

45D．a5

10．下列说法正确的是（

A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面

内，那么直线上所有点都不在平面

内

C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形

D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台11．与两圆

1和x

8x120都外切的圆的圆心在

B．双曲线的一支上 D．一个圆上

( )

A．一个椭圆上C．一条抛物线上12．过抛物线则

4x的焦点作直线交抛物线于

P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1x2

6，

PQ的值为 ( )

A.10 B.8 C. 6 D.5

13．已知椭圆

1(ab0)的离心率是

，过椭圆上一点M作直线MA，MB

交椭圆于A，B两点，且斜率分别为(

) A．

k1、k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为

B．

C．

D．

P，

14．设O为坐标原点，F1，F2是2

满足

y2b

1(a0,b0)的焦点，若在双曲线上存在点

(

)

F1PF2

A．C．

60，OP3y2y

7a，则该双曲线的渐近线方程为

B．D．

3x2x

[KS5UKS5U.KS5U

二、填空题(本大题共4小题，每小题15．命题“若

5分，共20分)

AUBB，则AB”的逆否命题是________．

16．已知ar

(2,1,3),br

(4,2,x),c

(1,x,2)，若(ab)r

c，则x＝________.

17．点P是双曲线

2上的动点，F是它的右焦点，则线段

PF的中点M的轨迹

方程为_______________. 18．在平面直角坐标系中，动点

P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点

(1,1)的距离，

记点P的轨迹为曲线W，下列四个结论中，正确结论的序号是

①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y③曲线W与

_____________．

x对称；

y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于

；

[KS5UKS5U]

x轴非负半轴，

④曲线W上的点到原点距离的最小值为22.

三、解答题(本大题共5小题，每小题演算步骤) 19．若抛物线

12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或

ymx(m

0)的准线与直线y

1的距离为3，求抛物线的标准方程。

R,x0

20．已知命题p：

1,2,x

0，命题q:x02ax0

2a0，若“p且

q”为真命题，求实数

a的取值范围．

焦点在坐标轴上，焦距为

21．已知椭圆中心在原点，

213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，

3：7，求椭圆

且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大方程和双曲线方程。

4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为

22．如图1，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E,F分别为AC和BC边上的中点，现将

VABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如图2.

(1)试判断翻折后的直线说明理由；

(2)求二面角B

AB与平面DEF的位置关系，并

ACD的余弦值；

(3)求点C到平面DEF的距离．

图1

图2

23．已知椭圆E:

1(ab12

0)的半焦距为c，原点O到经过两c.

点

c,0，0,b的直线的距离为

(1)求椭圆E的离心率；

(2)如图3，AB是圆M：(x2)

(y1)

5的一条直径，图3

若椭圆E经过A，B两点，求椭圆

E的方程．

高二级数学试卷

5分，共20分) －4. 17.2(x

－1)－2y=1 . 18.

一．选择题： D A B D A D B B C C B B D D 二．填空题(本大题共4小题，每小题15.

若A

B，则A∪B≠Ｂ 16.

②③④

)

三、解答题(本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．

8y或x

16y

p，q都是真命题．

20．解：由“

p：xq：设

p且q”为真命题，则

a在

1,2上恒成立，只需a

2min

1，所以命题p：a1；

fx4a

2axa

a，存在x0

R使fx0

0，

1或a

2，

只需

420，即a

所以命题q：a

1或a

2．

由

11或a

得a1或a2

故实数a的取值范围是

a1或a

21．设焦点在x轴上的椭圆方程为

1，双曲线方程为

1，

由已知得

caca

m：

4cm

3：7

133

∴椭圆方程为

4936

1,双曲线方程为

1，

若焦点在y轴上，同样可得方程为22. 解

4936

1，

1。

，A(0,0，a)，C(0，

建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a,0,0)

33aa

a,0)，F，a，0，E0，a，.

2222

→→aa1

(1)AB＝(a,0，－a)，EF＝，0，－＝(a,0，－a)，

222

→→→→

∴EF＝AB.∴EF∥AB.∴EF∥AB.

又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF. →(2)易知DB＝(a,0,0)

是平面ADC的一个法向量．

n＝(x，y，z)．

→

n2AB＝xa－az＝0，→n2BC＝－ax＋

3ay＝0.

设平面ACB的一个法向量为

→→

而AB＝(a,0，－a)，BC＝(－a，

3a,0)，则

令x＝1，得z＝1，y＝

，∴平面ACB的一个法向量为

a2217

1＋＋1

21＝.

n＝1，，1.

→→∴n2DB＝a.∴cos〈n，DB〉＝

∴二面角B-AC-D的余弦值为.

→(3)平面DEF内的向量DE＝0，设平面DEF的一个法向量为→m2DE＝

ay＋z＝0，22

→

3a3aa，，DF＝，a，0.2222

[KS5UKS5U.KS5U

m＝(x，y，z)，则

→a3

m2DF＝x＋ay＝0.

令y＝3，则z＝－3，x＝－3.

∴平面DEF的一个法向量m＝(－3，

→

3，－3)．又DC＝(0，

3a,0)，

→

→|DC2m|∴DC2m＝3a. ∴点C到平面DEF的距离d＝＝

|m|23. 解

(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为

d＝

bc，22＝ab＋cbc

＝a.

79＋3＋9

[KS5UKS5U]

bx＋cy－bc＝0，

则原点O到该直线的距离

1c322

由d＝c，得a＝2b＝2a－c，解得离心率＝.

2a2(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.①依题意，圆心

M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝

10.

易知，AB与x轴不垂直，设其方程为

y＝k(x＋2)＋1，代入①得

(1＋4k)x＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)－4b＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－

2k＋11＋4k

2k＋1

1＋4k

，x1x2＝

2k＋1－4b

. 2

1＋4k

由x1＋x2＝－4，得－

＝－4，解得k＝. 从而x1x2＝8－2b.

252

x1＋x2

于是|AB|＝由|AB|＝

1＋|x1－x2|＝b－2

－4x1x2＝10b－2

10，得10

10，解得b＝3.

故椭圆E的方程为＋＝1.

123

法二：由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.②依题意，得点

A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝

10.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b，x＋4y＝4b，两式相减并结合

x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.

y1－y21

x1≠ｘ2，所以AB的斜率kAB＝＝.

x1－x22

x＋4x＋8－2b＝0.

易知AB与x轴不垂直，则

因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得

2所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b. 于是|AB|＝

1251＋|x1－x2|＝

x1＋x2

－4x1x2＝

b－2

.由|AB|＝

10，得10b－2

xy10，解得b＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.

123

高二上学期理科数学期中考试试卷

(考试时间：115分钟一、单选题（本题共

试卷满分：150分)

12小题, 每小题5分, 共60分.）

1、已知集合A{x|y、[3,A

]

B、[5,

lg(x3)},B{x|x)

C、[3,5]

0时,f(x)

5},则A

B()

D、(3,5]

2、已知函数f(x)是奇函数,且当xA、-2

B、0

C、1

,则f(1)

()

D、2

）

3、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（

D． B、 C、 D、

2400人、高二 2000人、高三36，那么高三被抽取的人数为

4、某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为（

）

、24 C

A、20 B、30 D、32

5、已知抛物线yA、

2px(pB、1

0)的准线与圆(x-3)

C、2

16相切,则p的值为()

D、4

6、{an}是等比数列且an

A、5 B7、设

，

、±５ C为非零向量，则

0,且a2a42a3a5a4a625,则a3a5

()

、10 D、±10

=λ

”是”

＜0”的（

）

“存在负数λ，使得

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件、既不充分也不必要条件

C、充分必要条件 D

8、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足

S9，且a1

0，则Sn中最大的是（

）

A、S6B、S7C、S8D、S9

F1MF2

120,则双曲线的离心率为(

9、双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1,F2,A、3

B、

6C、

3D、

)

10、已知函数f(x)A、(1,2)11、函数y（

）

B、2

A、2

(a2)x1,xlogax,x

,若f(x)在(

)上单调递增，则实数a的取值范围()

f(2)

f(3)

)

B、(2,3)Asin(x

)(A

C、(2,3]0,

D、(2,

0)的部分图像如下图所示,则f(1)C、2

D、2

f(2019)

2212

12、已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（

P是它们的一个公共点．且∠Ｆ

）

PF2= ，则

A、 B、 C、3 D、2

二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分.）

13、若x、y满足约束条件

y6y320

00,则

y1x

的最大值为______.

14、已知椭圆16

，过点P（3，1）作一弦，使弦在这点处被平分，则此弦所在的

直线的斜率值为____________．

15、已知命题p：\"x[1,2],使x

2xa0\P为假命题，则a的取值范围是_________.

cosB

已知点O是锐角ABC的外心,a、b、c分别为内角A、B、C的对边，16、AB

sinC且A

4,则

________.

cosCsinB

ACOA

16、解答题（本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、(本小题10分)若正数x,y满足x3y(1)3x

4y的最小值；

(2)xy的最小值.

5xy,求:

21．(本小题12分) 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠　CAD= ，AC= ﹣

．

，cos∠　ADB=

（1）求sin∠ C的值；

（2）若BD=2DC，求边AB的长．

22．(本小题12分) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线

BC∥平面PAD；

，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

ABCD，

（2）若△ＰCD面积为2

20、(本小题12分) 已知数列{an}是非常值数列，且满足和为sn，若s5=70，a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；

an+2=2an+1﹣an（n∈Ｎ），其前n项

（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．

21、(本小题12分)已知f(x)

log1(x

mxm).

求实数m的取值范围;(1)若函数f(x)的值域为R，(2)若函数f(x)在区间(-,1-3)上是增函数,求实数m的取值范围.

22、(本小题12分) 已知椭圆C：的上顶点，点

+ =1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C

Q在椭圆C上（异于B点）．

（1）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；

B，证明：存在

（2）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点

k∈R，= ．

答案

一、单选题（本题共题号答案

1 D

2 A

12小题, 每小题5分, 共60分.）3 A

4 B

5 C

6 A

7 A

8 B

9 B

10 C

11 B

12 A

二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分.）

13. 4 14. 15. [8,

) 16.

17、解答题（本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解：（1）正数x，y满足x+3y=5xy，∴=5．

∴3x+4y=（3x+4y）=（13+≥=5，

当且仅当x=1，y=时取等号．∴3x+4y的最小值为1．

（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴5xy≥

，

解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．

∴xy的最小值为．

23.解：（1）在△ABC中，因为cos∠ADB=﹣且∠ADB∈（0，π），

所以sin∠ADB= ．

因为∠CAD= ，所以C=∠ADB﹣．

所以sin∠C=sin（∠ADB﹣）= = ．

（2）在△ACD中，由正弦定理得，∴CD= ，

∵BD=2DC，∴BC= ，

∴AB=

19. （1）证明：四棱锥BC?平面PAD，（2）解：四棱锥

P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，

∴直线BC∥平面PAD；

P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD，

AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD= ，O

是AD的中点，

连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，

则OE= ，PO= ，PE= = ，

△PCD面积为2 ，可得：=2 ，

即：，解得x=2，PE=2 ．

则V P﹣ABCD= 3 （BC+AD）3AB3PE=

=4 ．s5=70，

20. 解：（1）因为数列满足∴5a1+10d=70．①

2∵ａ

an+2=2an+1﹣an（n∈Ｎ），所以{an}是等差数列且

， a7， a

成等比数列，∴　，

即

由①，②解得

．②

a1=6，d=4或a1=14，d=0（舍去），

∴ａn=4n+2．

（2）证明：由（1）可得所

以

，

．

则

= ∵　∵　∴　

．

，∴　

．

，∴数列{Tn}是递增数列，∴　

21.解：即

f(x)值域为R，令g(x)4m

04.

mxm,

则g(x)取遍所有的正数m0或m(2)根据题意知m2(1

13)

3m(1m

，则a=2b

3)m0

2-23

14、解：（1）椭圆的离心率将点（﹣

，

）代入椭圆方程

，

，解得：a=4，b=2，

∴椭圆的标准方程为：

（2）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得= ，

由a=2b

，椭圆方程为：，

（1+2k）x+4kbx=0，

，

将直线方程代入椭圆方程，整理得：解得：xP=﹣

，则丨BP丨=

由BP⊥BQ，则丨BQ丨= 3丨丨= ? ，

由=

．，则2

3 = ? ，

整理得：2k﹣2k+4k﹣1=0，设f（x）=2k﹣2k+4k﹣1，由f（

）＜0，f（）＞0，

∴函数fx）存在零点，k∈R，=

（∴存在高二上学期理科数学期中考试试卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，每题

1、命题“A．xC．x

R,x

5分，共60分）

）

R,x1

0”的否定是（

0 B．x．x

R,x

10 D

R,x2

M到

2、已知双曲线x

259

1的左右焦点分别为F1,F2，若双曲线左支上有一点

右焦点F2距离为18，N为MF2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（

A.2 B.8 C.2 D.4

）

3、设f(x)A．

xlnx，若f'(m)2,则m（ln 2

）．ln 2

e B．e C.

4、“1m4”是“方程

m14m

1表示椭圆”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5、与双曲线

1有共同的渐近线，且经过点A(3,25)的双曲线的方程

为（

）A．

1 B．2x

1 C．

1827

1 D．

6、如果命题“

（p

q)”是真命题，则（）

A．命题p、q均为假命题 BC．命题p、q均为真命题 D

．命题p、q中至少有一个是真命题．命题p、q中至多有一个是真命题

2x，则该

7、若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程式为

双曲线的离心率为（

）A．3或

B．

或3 C．3 D．3

8、已知椭圆C:

1ab0

的离心率为

，四个顶点构成的四边形的面积

为4，过原点的直线l (斜率不为零)与椭圆C交于A,B两点，F1,F2为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为（9、函数f(x)A. - 2 B

）A.4 B.43 C.8 D.

2,则f'(1)

（

83）

bcosxcx

x满足f'(1)

、 1

、 2 C

、 0 D

10、、已知抛物线C:y轴上方）两点．若AF

x11、已知双曲线C12

的焦点为F，直线y，则m的值为（

1(a

0,b

3(x1)与C交于A，B（A在x． C．2 D．3

mFB

）A．

3 B

y2b

0)的离心率为2．若抛物线C2:x

2py(p0)

的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（（A）x

）

833

（B）x

1633

（C）x

（D）x

16y

12、在椭圆

1上有一点P，F1,F2是椭圆的左、右焦点，F1PF2为直角个 D.8

三角形，则这样的P点有（

个

）A.3个 B.4个 C.6

二、填空题（每小题

5分，共20分）

________．

13、以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为

412

14、已知函数f(x)sin2x，则f'()____________。

15、右图是抛物线形拱桥，当水面在下降2米后（水足够深），水面宽

l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位

米。

16.如图，F1,F2是椭圆C1与双曲线C2：C2在第二、四象限的公共点。若四边形________________。

1的公共焦点，A,B分别是C1，

AF1BF2为矩形，则C1的离心率是

三、解答题（写出必要的推理或计算过程，共

17、（10分）若动点P在曲线y

70分）

2x21上移动，求点P与Q(0,1)连线段中点M

的轨迹方程，并写出轨迹的焦点坐标。

18、（12分）已知抛物线yQ。若

4x上二点P、

OPQ（O为原点）恰为等边三角形。

求此三角形面积。

19、（12分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC中点。（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）若AA1

AC，AB⊥AC，求异面直线A1C与AD所成的角的大小。

平面ABCD，

ABC=60，

20、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PAE、F分别是BC、PC的中点．

（1）证明：AE（2）若AB

2,PA

PD；

2，求二面角EAFC的余弦值．

21、（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1(（1）求椭圆C的标准方程；

6,0),F2(6,0)，长轴长为6．

（2）已知过点0,2且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求OAB的面积．22、已知动点M(x,y)到直线l:x = 4(1) 求动点M的轨迹C的方程;

(2) 是否存在过点N的直线m与轨迹C交于A, B两点. 使得以AB为直径的圆恰过原点。如果存在，求出直线

m的方程；如果不存在，说明理由。的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

高二理科数学题号选项

D 1

答案3

B B C D A C C D D C

13、

1612

1 14、-1 15、42 16、

255

17、设P(x0,y0),M(x,y)则有x0所以2y12(2x)

18、

2x,y0

2x1，

1，得x

y，焦点坐标（0，）416

P(12,43),Q(12,43),SOPQ

483

19、（1）连结可证

，A1B交AB1于O，连结OD，可证A1C平行于OD

A1C∥平面AB1D；

CA1D1为所求，异面直线角的大小为

（2）取B1C1中点D1，连结A1D1、CD1，则

（向量法相应给分）

20、（1）证明：由四边形ABCD为菱形，

ABC

60，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE因为PA而PA所以AE

平面ABCD，AE平面PAD，AD

BC．又BC∥AD，因此AE

AE．

AD．

平面ABCD，所以PA

A，

平面PAD且PA

平面PAD．又PD平面PAD，所以AE

PD．

（2）解法一：因为PA

ABCD．

平面ABCD，PA

平面PAC，所以平面PAC

平面

过E作EO则

AC于O，则EO

平面PAC，过O作OSAF于S，连接ES，

ESO为二面角EC的平面角，

在Rt△AOE中，EO

AEsin30

，AO

AEcos30

，

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO

AOsin45

324

，

又SE

349830，4

在Rt△ESO中，

cosESO

SOSE

4304

15，5

即所求二面角的余弦值为

155

．

解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以

FAB

A(0，0，，0)B(3，10)，，C(310)，，，D(0，，20)，P(0，0，，2)E(3，0，，0)F

，，122

，所

以AE

(3，0，，0)AF

，，122

．设平面AEF的一法向量为m(x1，y1，z1)，

则

mAEmAF

0，

因此0，

3x13x12

0，1y12

0．

取z1

1，则m

(0，，21)，因为BD

，BD

，PAAC

(

A，3，3，0)，

所以BD平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又BD所以cosm，BD

mBDm

235

155

．

155

因为二面角E

C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

．

21、（1）

1；

xx2|

OAB

（2）

直线AB的方程为y3,x1x2

34,|x1

2②把②带入①得化简并整理得6,|AB|23

12y

x1x2

O到直线AB距离d

2，S

22、（1）设M(x,y)，由|x4|2(x1)（2）显然若存在这样的直线，其斜率不为假设存在这样的直线，设其方程为得(3tx1x2

y，得

ty1,A(x1,y1),B(x2,y2)

6t3t

4)y

6ty90,

0。y1

t(y1

,y1y2

93t

(ty11)(ty21)ty1y2y2)10,即x1x2

y1y2

若AB为直径的圆过O，则OAOB

12t

50，无实数解。所以不存在。

高二上学期理科数学期中考试试卷

第Ⅰ卷

一．选择题（本大题共

12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合要求的）

1．已知集合

A＝{x||x|<2}

，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝

B．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}

f(x)为奇函数”的

A．{0，1} C．{－1，0，1}

2．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数

A．必要不充分条件C．充分不必要条件3．已知向量

B D

．充要条件

．既不充分也不必要条件

a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝

．0 C

．3 D

．152

A．－ B

4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝

A．100 B

．99 C

．98 D

3x＋

．97

5．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“

问题”．执行该程序框图，若输入的A．9 BC．7 D6．设α、β是两个不同的平面，

下列命题中正确的是

A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥ｍB．若l∥m，m?α，则l∥α

C．若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥ｍD．若l⊥α，m⊥β且α⊥β，则l⊥ｍ

N＝3，则输出的i＝．8 ．6

l、m是两条不重合的直线，

7．直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线程为

A．4x－3y－3＝0 C．3x－4y－4＝0

l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方

B．3x－4y－3＝0 D．4x－3y－4＝0

8．函数f(x)＝sinx－的图象的一条对称轴是

A．x＝ B

4π2

9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为为

A．

81π4

．16π C

．9π

．x＝ C

2π

．x＝－ D

．x＝－

4，底面边长为2，则该球的表面积

27π．4

10．等比数列{an}中，对任意正整数

于

A．(4－1) B

n，a1＋a2＋a3＋,＋an＝2－1，则a＋a＋a＋,＋a等

．(2－1) C3

．4－1 D

．(2－1)

11．已知函数f(x)＝2＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x＋x的零点依次为

c的大小关系为A．a2

a，b，c，则a，b，

．ab>c D．c>a>b

F1，

12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为

F2到直线l的距离分别为 A

．1 B

F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆相切，记

d1，d2，则d1d2的值是．2 C

．3 D

．4

第Ⅱ卷

二．填空题（本大题共

4小题，每小题5分）

13．已知向量a，b满足(2a－b)2(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．14．某路公共汽车每

5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不

．x－y≥0，

15．已知x，y满足约束条件

x＋y≤2，y≥0.

16．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在

fcos x

<0的解集为________．

[0，4]上的图象如图所示，那么不等式若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝

．

超过3分钟的概率是

三．解答题（本大题共

6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤）

17．(本题满分10分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．

18．(本题满分12分）

已知函数f(x)＝

3x＋1

，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N)．

(1)证明数列{1

a}是等差数列，并求出数列

{an}的通项公式；

n(2)记Sn＝a1a2＋a2a3＋,＋anan＋1，求Sn．

19．(本题满分12分）

在某大盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数学”的考试．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，本次考试中成绩在[90，100]内的记为A，其中“语文”科目成绩在

[80，90)内的考生有人．

10(1)求该考场考生数学科目成绩为A的人数；

恰有2人的两科成绩均为

2人的两科成绩均为

A，在至少一科成绩为A的概率．

(2)已知在本考场参加考试的考生中，A的考生中，随机抽取

2人进行访谈，求这

20．(本题满分12分）

如图所示，平面

ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，

AC＝BC＝4，四边形ABDE

是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA， (1)求证：OD∥平面ABC；

BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．

(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；

21．(本题满分12分）

已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于

43(1)求该椭圆的离心率；

(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点若存在，求出点

P的坐标；若不存在，说明理由．

P使得MP⊥NP？

B，C两点．

22．(本题满分12分）

某渔业公司今年年初用

98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用

12万

元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加收入50万元．

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？

4万元．该船每年捕捞总

期中考试高二数学(理)答案

一．CACCB DDCAA BB 2π

二．13． 14

3三．17．[解]

(1)根据正弦定理，由

(2b－c)cos A＝acos C，

．

15．2 16

ππ．－，－1∪1，

得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，即2sin Bcos A＝sin(A＋C)，所以2sin Bcos A＝sin B，因为0π

所以cos A＝，因为023π

(2)因为a＝3，b＝2c，由(1)得A＝，

3所以cos A＝解得c＝

b＋c－a

2bc

＝

4c＋c－9

1＝，2

3，所以b＝23. 1

33333＝.

所以S△ABC＝bcsin A＝32

(2)设数列{an }的前n项和为Sn，证明：Sn<2．18．[解]

∴

(1)证明：由已知得，1

an＋1＝.

3an＋1

＝＋3. an＋1an

11即－＝3. an＋1an

∴数列{}是首项＝1，公差d＝3的等差数列．

ana1∴1a

＝1＋(n－1)33＝3n－2.

n故a＝(n∈N) 3n－2(2)∵anan＋1＝

111＝(－) 33n－23n＋1

∴Sn＝a1a2＋a2a3＋,＋anan＋1

111111＝[(1－)＋(－)＋,＋(－)] 34473n－23n＋111n＝(1－)＝. 33n＋13n＋1

19．[解] (1)该考场的考生人数为10÷0.25＝40.

数学科目成绩为4030.075＝3.

A的人数为403(1－0.002 5310－0.015310－0.037 531032)＝

(2)语文和数学成绩为学只有一科成绩为

A的各有3人，其中有两人的两科成绩均为A，所以还有两名同

设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件为丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6个．设“随机抽取1

则P(M)＝.

620．(1)证明

如图，取AC中点F，连接OF，FB.

2人，这2人的两科成绩均为

A，则在至少一科成绩为A的

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，

A”为事件M，则事件M包含的事件有1个，

∵Ｆ是AC中点，O为CE中点，1

∴OF∥EA且OF＝EA.

又BD∥AE且BD＝AE，

2∴OF∥DB且OF＝DB，

∴四边形BDOF是平行四边形，∴OD∥FB.又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC，∴OD∥平面ABC. (2)解

∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，且BD⊥BA，

∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面

ABC.

AC＝BC，

又△ABC是等腰直角三角形，且∴∠ACB＝90°，∴以C为原点，分别以

CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直

线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，2)，E(4，0，4)，O(2，0，2)，M(2，2，0)，

→→→∴CD＝(0，4，2)，OD＝(－2，4，0)，MD＝(－2，2，2)．设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，－2x＋4y＝0，→→则由n⊥OD，n⊥MD，可得

－2x＋2y＋2z＝0.令x＝2，得y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)．设直线CD和平面ODM所成角为θ，

|n2CD，|n||CD，

→→||

则sin θ＝＝

1，12＋1＋13

4，20＋4＋2

＝

66325

＝

3010

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为21．[解]

(1)由椭圆方程可得

a＝2，b＝

. 10

3，从而椭圆的半焦距

c＝

a－b＝1.

所以椭圆的离心率为(2)依题意，直线

e＝＝.

BC的斜率不为0，

设其方程为x＝ty＋1. 将其代入

＋

＝1，整理得(4＋3t)y＋6ty－9＝0.

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1＋y2＝

－6t4＋3t

，y1y2＝

－94＋3ty1

易知直线AB的方程是y＝

(x＋2)，x1＋2

6y2

N(4，)．

x2＋2

6y1

从而可得M(4，)，同理可得

x1＋2假设x轴上存在定点所以(p－4)＋

→→

P(p，0)使得MP⊥NP，则有PM2PN＝0.

＝0.

36y1y2

1＋22＋2

将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得36y1y2

(p－4)＋2

ty1y2＋3t1＋y2

＝0，

所以(p－4)＋

363－93t6t

93t

＝0，

即(p－4)－9＝0，解得p＝1或p＝7. 所以x轴上存在定点使得MP⊥NP.

P(1，0)或P(7，0)，

22．[解] (1)设该船捕捞n年后的总盈利n

34]

y万元．则

y＝50n－98－[123n＋＝－2n＋40n－98 ＝－2(n－10)＋102

∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是(2)年平均利润为y49

＝－2(n＋－20) nn≤－2(2

49n

－20)＝12，

102万元．

当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．

n所以，当捕捞

7年后年平均利润最大，最大是

12万元．

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