线性代数练习册第五章题目及答案(本)

§5-1 方阵的特征值与特征向量

一、填空题

1.已知四阶方阵A的特征值为0，1，1，2，则|AE|＝(1)(2)

21012.设0是矩阵A020的特征值，则a 1

10a3.已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B3A2A的特征值为 1,5,8 ；|A| ＝ -2 ；A的对角元之和为 2 .

4.若0是方阵A的特征值，则A 不可逆。

5. A是n阶方阵，|A|d，则AA*的特征值是d,d,,d（共n个） 二、选择题

1.设1，2为n阶矩阵A的特征值，1，2分别是A的属于特征值1，2的特征向量，则（ D ） （A）当12时，1，2必成比例 （B）当12时，1，2必不成比例 （C）当12时，1，2必成比例 （D）当12时，1，2必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A的一个特征值，则AA、2； B、-2; C、

12有一个特征值等于 （ C ）

11; D、-; 223.零为方阵A的特征值是A不可逆的（ B ） A、充分条件； B、充要条件; C、必要条件; D、无关条件; 三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.A12 211221(3)(1)

解：A的特征多项式为AE故A的特征值为13,21. 当13时，解方程A3Ex0.

22r由A3E:2211 00得基础解系p1，故kp1(k0)是13的全部特征向量.

1122r11当21时，解方程AEx0.由AE:

2200得基础解系p21，故kP2(k0)是21的全部特征向量. 11002.B020

012解：B的特征多项式为

故B的特征值为11,232. 当11时，解方程BEx0.

000010r由BE010:001

0110001得基础解系p10，故kp1(k0)是11的全部特征向量.

0当232时，解方程B2Ex0.

1001000r由B2E000:010得基础解系p20，

0100001故kp2(k0)是232的全部特征向量.

四、设为n维非零列向量，证明：是矩阵的特征向量，

T并求对应的特征值.

证明：因为()(),TTT0；

所以，是矩阵的特征向量，对应的特征值为T。

T五、设A为n阶方阵，

1.当A2E时，求A的特征值；

2.当AO时，求A的特征值，其中m为正整数. 证明：1. 设A的特征值为，则Axx,x0， 所以，AxA(Ax)A(x)(Ax)x,x0 又因为A2E，所以，xx,x011 即当A2E时，A的特征值为1或-1。 2. 设A的特征值为，则Axx,x0， 所以，AxAmm12222m(Ax)Am1(x)Am1xmmmx,x0

m又因为AO，所以，0x,x000

即当AmO时，A的特征值为0。

§5-2相似矩阵

§5-3对称矩阵的相似矩阵

一、填空题

11.若是矩阵A的特征向量，则 P 是PAP的特征向量.

12.若A,B相似，则|A||B| 0 2002003.已知A001与B0y0相似，则x 0 ，y 1

01x0014.若是A的k重特征根，则必有k个相应于的线性无关的特征向量 不对 （对，不对）；如果A是实对称矩阵，则结论 对（对，不对）. 二、选择题

1.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是A有n个（ C ）

（A）互不相同的特征值； （B）互不相同的特征向量； （C）线性无关的特征向量； （D）两两正交的特征向量. 2.方阵A与B相似，则必有（ B D ）

（A）EAEB （B）A与B有相同的特征值 （C）A与B有相同的特征向量 （D）A与B有相同的秩 3. A为n阶实对称矩阵，则（ ACD ） （A）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B） |A|0

（C）A必有n个两两正交的特征向量； （D）A的特征值均为实数.

1001m三、设A021，试求一个可逆矩阵P使得PAP为对角阵，并求A.

012解：先求A的特征值和特征向量. 故A的所有特征值为13,231. 当13时，解方程A3Ex0.

0令11，则1即为对应于13的特征向量.

1当231时，解方程AEx0.

10令20,31，则2,3为231的特征向量.

01010显然，1,2,3线性无关.令P1,2,3101，则

101（或:

001令p111/2,p220,p331/2||1||||||||3||201/21/2

令Pp1,p2,p3，则P1PT所以，。。。）

1四、三阶实对称矩阵A的特征值为0，2，2，又相应于特征值0的特征向量为p11，求出相应于2的全部特

1征向量.

解：因为A为三阶实对称矩阵，故A有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的特征向量两两正交.

TT已知对应于10的特征向量为p1，设对应于232的特征向量为p2,p3，则p1p20,p1p30.即

p2,p3为齐次线性方程组p1Tx0的两个线性无关的解.由p1Tx0得x1x2x30

11取p21,p30，则p2,p3即为232的特征向量.

01令k2p2k3p3（k2,k3不全为零）为对应于232的全部特征向量. 五、设三阶方阵A的特征值为11,20,31，对应的特征

122向量分别为p12,p22,p31，求矩阵A.

212解：因为123，故A可对角化，且1,2,3所对应的特征向量p1,p2,p3线性无关. 由特征值定义，

1Ap1,p2,p3p1,p2,p32， 31令Pp1,p2,p3APPAPP

122122rP|E221000212212由

213100101003001223323230故

2131P103223323230§5-4 二次型及其标准形 §5-5 用配方法化二次型为标准形 §5-6 正定二次型

一、填空题

1.f(x,y)x2xyy2x是不是二次型？答： 不是

2.f(x1,x2,x3)4x1x22x1x32x2x3的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数.

221103.设A1k0，A为正定矩阵，则k1.

00k2二、单项选择题

121.设A0001。 0,则与A合同的矩阵是（ B）

2050100300（A）020 （B）020 001005100200（C）010 （D）020 0010012.二次型fxAx为正定二次型的充要条件是（D）。

（A）A0 （B）负惯性指数为0 （C）A的所有对角元aii0 （D）3.当(a,b,c)满足（ C）时，二次型

22f(x1,x2,x3)ax12bx2ax32cx1x3为正定二次型。

A合同于单位阵E

（A）a0,bc0 （B）a0,b0 （C）ac,b0 （D）ac,b0

001x2三、设f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)300x3

430x1 1.求二次型f(x1,x2,x3)所对应的矩阵A. 2.求正交变换xPy，将二次型化为标准形.

解：1.

100故二次型f(x1,x2,x3)所对应的矩阵A032.

0232. 问题可转化为求正交矩阵P，将A化为对角形. 故A的特征值为121,35. 当121时，解方程AEx0.

000011rAE022:000.

02200010取10,21，则1,2即为121的特征向量.

01显然，1,2正交.将1,2单位化得 当35时，解方程A5Ex0.

400rA5E022:022100011. 0000取31，则3即为对应于35的特征向量.

10将3单位化得p331/2.

31/211T1. 令Pp1,p2,p3，则PAPPAP5222故f(x1,x2,x3)的标准形为y1y25y3.

四、已知A,B都是n阶正定矩阵，求证AB的特征值全部大于零. 证明：因为A,B都为n阶正定矩阵，则对任意n维列向量x0， 有xAx0,xBx0xTTTABx0.即AB是正定矩阵.

故AB的特征值全部大于零.

五、已知A为n阶正定矩阵，证明|AE|1. 证明：因为A为n阶正定矩阵， 所以A的所有特征值：1,2,设A+E的特征值为1,2,而|,n都大于零。

,n，

AEiE||A(i1)E|,所以ii1， i10，所以|AE|12则i

n1。