2002-2003 第一学期
一．计算及推导（ 5*8）
1．已知 x* 3.141, x
* x1
，试确定 *
x **
近似 的有效数字位数。
0.100
x3.105, x2 0.001, x3
2．有效数 3．已知
，试确定 x* 1
* 2
x
x
* 3
的相对误差限。
f ( x)0.5 x3 0.1x
2 ，试计算差商(1,0) 和 C
f
0,1,2,3
4．给出拟合三点
b a
A
(0,1), B
(1,1)
的直线方程。
5．推导中矩形求积公式
f (x)dx
(b a) f ( a b) 1 f ( )(b a)
2 24
''
3
b a
n
6．试证明插值型求积公式
f (x)dx
Ai f ( xi )
i 0
的代数精确度至少是 n 次。
7．已知非线性方程 在区间公式。 8．用三角分解法求解线性方程组
1 2
xf (x) a, b
内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代
2 2
1 3
x1 x2 x3
0 3 2
1 3 0
二．给出下列函数值表
0.4
xi
0.5
0.6
0.7
0.8
0.71736
0.342
f ( xi )
0.47943
0.5
0.422
的近似值，试选择合适的插值节点进行计 要用二次插值多项式计算
算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程
f (0.631) x ln x
0 在 (0,1) 内有一实根
（ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似
x0(0,1)
迭代法都收
敛，并证明其收敛性。
（ 2） 试用构造的迭代公式计算 的近似值 n ，要求 四． 设有方程组
x00.5xxxnn 1 103
。
a 1
1 a
3 2
x1 x2 x3
b1 b2 b3
3 2 a
当参数 a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。 （ 12 分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题 y'
y 2x (0 x 0.2)
y y(0) 1
取 h=0.1 ，小数点后保留 5 位。（8 分）
y'
六．证明求解初值问题
f ( x, y) y(x0 ) y0
的如下单步法
y
n 1
K1
K 2 hf ( xn
yn K2 hf ( xn , yn )
1
h, yn
1 K1 )
2 2
是二阶方法。（10 分）
七．试证明复化梯形求积公式
f (x)dx
b a
h
( f ( x0 ) 2
n 1
h
b a
2
i 1
n
对任意多的积分节点数 n+1, 该公式都是数值稳定的。 （6 分）
2003-2004 第一学期
一．填空（ 3*5 ）
1．近似数 x 2． x
3．设
*0.231 关于真值 x
0.229
有 _____- 位有效数字。
n*的相对误差为 的相对误差的 _______倍。
x*
f (x)
可微，求
x
a
f (x)
根的牛顿迭代公式 ______。
b
n
f (x)dx
Ai f (xi )
i
0
4．插值型求积公式
的代数精确度至少是 ______次。
5．拟合三点 二．已知
A
(1,0), B (1,3) 和 C (2,2) 的常函数是 ________ 。
f (x)
有如下的数据
xi
1 2
2
3
f ( xi )
4
12
f ' ( xi )
3
试写出满足插值条件 P( xi ) f (xi ) 以及 P '(2) 误差的表达形式。
f '(2)
的插值多项式
P(x) ，并写出
1 0
三．（1）用复化辛浦森公式计算
edx
x
为了使所得的近似值有
6 位有效数字，问
需要被积函数在多少个点上的函数值？
7 1
（2）取 7 个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算 后至少保留 4 位。 四．曲线
x lg xdx
2，小数点
y
x3 与 y 1 x 在点（ 0.7 ，0.3 ）附近有一个交点 (x , y )
，试用牛顿迭
代公式计算 x 的近似值 n ，要求 五． 用雅可比方法解方程组
1 2 1 1
xxn
xn 1 10 3
2 1 1
x1 x2 x3
5 1 3
2 2
(0) x 是否对任意的初始向量
(0) x 都收敛，为什么？取(0,0,0) T ，求出解向量的近
max xi( k 1)
xi(k )
10 6
似向量，要求满足 1 i 3 。
六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题 y'
y2 +1 y(0)
0
的解函数在 5 位有效数字）
x 0.6 处的近似值，要求写出计算格式。（步长 y'
f (x, y)
0
h0.3
, 小数点后保留
七．设有求解初值问题
y(x) y
0
的如下格式
yayn 1n 1
byn chf ( xn , yn )
如假设 yn 1
y( x), yy( x)n 1 nn 问常数 a, b, c 为多少时使得该格式为二阶格式？
2005-2006 第二学期
一．填空（ 3*5 ）
1. 设 近 似 数 er (x1* x2* )
x*1
1.2250, x2*
0.5168
都 是 四 舍 五 入 得 到 的 ， 则 相 对 误 差
______。
x1 2.8
2. 矛盾方程组 x1 3. 近似数 4. 取 3
3.2
的最小二乘解为 _______。
*
x*
0.01999 关于真值 x
0.02000
yn
0.1
有______位有效数字 .
1.732 ，迭代过程 3
yn 1
3 是否稳定？
5. 求积公式 1 二． 取初值
f ( x) dx 2 f (2)
有几次的代数精确度？
x01.6
，用牛顿迭代法求
3.1
的近似值，要求先论证收敛性。当
x
n 1
xn 10 5 时停止迭代。
y a
三．用最小二乘法确定
1 bx2
中的常数 a 和 b，使该曲线拟合于下面的四 x
个点（ 1，1.01 ）（2， 7.04 ）（3，17.67 ）（ 4， 31.74 ）
（计算结果保留到小数点后 4 位）
( k)
四．用乘幂法求矩阵 A 的按模最大的特征值
1
的第 k 次近似值 1 及相应的特征
向量 x1 ，要求取初值 u0 (1,1,1) 且
T
(k ) 1
( k 1) 1
10
3
5 1 1 0
2 1 3
这里 A= 6 1
9x1 x1
2x2 x3 8x2 x3
6 8
8
五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组 收敛性，并取 x(0)
x1x28x3
(1,0,0)
T
，求近似解 x(k 1)
(k 1)，使得 xi
xi( k)
10 3 （i=1 ，2，3）
六．已知单调连续函数 xi f ( xi )
1.12 1.10
yf ( x) 的如下数据
0.00 1.80 0.50 0.90
2.20 1.70
用插值法求方程 保留 4 位）
f (x)0
在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少
I
1
dx
取 5 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节 七．设有积分 0
点上的函数值表（小数点后至少保留 4 位）
用复化的 simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。
4 x
y' x
y
0
1 x 1.4 八．给定初值问题 y(0)
写出 Euler 预估校正格式 取步长为 0.2 ，计算在 1.4 处的函数的近似值。 九．设矩阵 A 对称正定，考虑迭代格式
(k 1)
(k )
0
x( k
A
1)
x( k)
b
x
x
2
0, k
0,1,2,3... 对任意的初始向量 x , x(0)( k 1)
是否收敛到
Ax
b 的解，为什么？
2006-2007 第一学期
一 . 填空
1） 近似数 x
*
1.253 关于真值 x
1 1
1.249
n
有____位有效数字；
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
Ak
2） 设有插值公式
k 1
，则 k 1
=______；（只算系数）
*x3） 设近似数 1
4） 求方程
x
cos x
0.0235 ， x2* 2.5160 都是有效数，则相对误差
er ( x1*
x2*
)
____；
的根的牛顿迭代格式为 ______；
1 1
2x1
2x2
2 1
x1 x2 x1 x2 x1 2x2
x1 x2
5） 矛盾方程组
1 与 x1 2x2
1
得最小二乘解是否相同 ______。
二 . 用迭代法（方法不限）求方程 论证收敛性，误差小于
xex1
在区间（ 0， 1）内根的近似值，要求先
10
2 时迭代结束。
中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合与下面四个点 三 . 用最小二乘法
（ 1， -0.72 ）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）
四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组
y ax2bex
1 0 2 0 1 0 1 2 4 0 1 0
0 x1 1 x2 3 x3 3 x4
5 3 17 7
的如下函数表
五．设要给出
f xcos x
xi
x0
h
x0
x0
h
f ( xi )
f ( x0
h)
f ( x0 ) f ( x0
h)
用二次插值多项式求
f ( x)
得近似值，问步长不超过多少时，误差小于
10 3
。
六 . 设有微分方程初值问题 y －2y 4x,0 x 0.2 y(0) 2
1 ）写出欧拉预估－校正法的计算格式；
2) 取步长 h=0.1 ，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留 4 位小数）。
I
1
dx
0 1 七 . 设有积分 x
取 11 个等距节点（包括端点 0 和 1），列出被积函数在这些节点上的函数值 （小数点侯保留 4 位）；
用复化 Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留 4 位）。 八 . 对方程组
1 1 2
2 －2 1 1 2 1
x1 x2 x3
4 1 3
1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ 2. 取初始向量
x
(0,0,0) T ，用雅可比迭代法求近似解
x( k 1) ，使
xi( k 1) xi( k)
10 3
(i 1,2,3)
九 . 设 f(x) 在区间 [a ， b] 上有二阶连续导数，且 f(a)=f(b)=0 ，试证明
max
a x b
f ( x)
1
8
2a) (b
max f ( x)
a x b
参：
1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023
x
（ 4）
k 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
xk sin xk cos xk , k
1 sin xk
0,1,2,...
(5) 否
2. 方程的等价形式为 x e ，迭代格式为 收敛性证明；当 ' ( x) e x
e0
xxk 1
ex 。
k
x
0 1
e x
e0
1
(0,1) 时，
e
1
所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛 取迭代初值为
x0
0.5
，迭代结果如下
xn 1
n
xn xn
0 1 2 3 4 5 6
0.5
0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.586
0.01065 -0.06129 0.03446 -0.019 0.01111 -0.00631
3.
xn xn2
1 1
1.5
2.0
2.5 6.25
2.25 4.48169
4.0
7.306
e
x
n
2.71828
12.18249
1 4.0
2.71828 4.48169 a 7.306 b 12.18249
0.72 0.02 0.61 0.32
2.25
6.25
矛盾方程组为
对应的正则方程组为
61.125 118.49 a 3.765 6.538196
118.49 230.4859 b
解得
a 2.0019, b 1.0009
所以拟和曲线方程为
y 2.0019 x2 1.0009ex
4. 由矩阵 Doolittle 分解的紧凑记录形式有
1 0 1 0
0 2 0 5 1 0 1 3 2 4 3 17 1 0 3 7
1 0 0 1 1 2 0 1
2 0 5 0 1 3 2 1 6 0
2 4
回代求解得 x4
4 2
2
,
x3
1
( 6 1 x4 ) 2
2
1
x2
3 0x3
1
1x4
，
x1
5 0x2
2 x3 0x4 1
1
方程组的解向量为
x
(1, 1, 2, 2)T .
3
max
k 1
f ( 3) ( )
3!
( x xk 1 )( x xk )( x xk 1 ) 10
5. 令xh
x xk 1
可求得
h
0.2498 （或
0.22 ）
1.6, y1 1.62, y2(0 )
6. y1( 0)
1.256, y2 1.2724
7. 0.6932
R( f )
1.3333 10
－5
0 1 －2
2 0 2
2 1 0
B J
8. （ 1） Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 谱半径
B J
4
0 1
1 ,x (2 ) 3
. 此时 Jacobi
迭代法对任意初始向量都收敛 .
2 0 1
8 6 7
2
x (1)
, x(3)
,x (4 )
0
（ 2） 9.
1
以
x0 a, x1 b
为 插 值 节 点 ， 做 Lagrange 插 值 ：
f ( x) L1 (x)
f ( )( x a)( x b) 2!
11
f ( )( x
a)( x
b)
2!
其中 ( x) [ a,b] 。
故
max f (x)max
a x b
a x b
1 f ( )( x a)( x b) 2! 1 2
max f ( x) max (x a )( x b)
a x b
a x b
1 ( b a) 2 8
max f ( x)a x b
计算方法 2006-2007 第二学期
1 填空 1）. 近似数 x
*0.0142 关于真值 x
0.0139
有 __为有效数字。
1 1
n
2）
适当选择求积节点和系数，则求积公式
f (x)dx
k
Ak f (xk )
1
的代数精确
度最高可以达到 ______次 .
3） 设近似数 x1 e(x*x*)r 1 2 *0.0235 ， x2
*2.5160
都是四舍五入得到的，则相对误差
的相对误差限 ______
4)
* 5** y x er ( x ) 的 ____ 倍。 近似值的相对误差为
5） 拟合三点 A(0,1), B(1,3)
， C(2,2) 的平行于 轴的直线方程为 _____.
x
y
2
2 x
x
0 在（-1 ，0）内的重根的近似值
n 1
2.
用迭代法求方程 x
2xe e
。要求
4
1）说明所用的方法为什么收敛； 2）误差小于
10
时迭代结束。
3．用最小二乘法确定
y ax2b ln x
中的 和 ，使得该函数曲线拟合于下面四
ab
个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) ( 数点后 4 位) 4 设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下
1.0 1.1 1.2
xi
计算结果保留到小
写出中心差分表示的二阶三点微分公
0.11
0.24
式，并由此计算
''
0.01
f ( xi )
f (1.1) 。
5 已知五阶连续可导函数
y
f ( x)
的如下数据
xi
0
1 1
f ( xi )
0
f ' (xi )
0
1
f ' ' ( xi )
0
试求满足插值条件的四次多项式
p( x).
6 设有如下的常微分方程初值问题
dyx
,1 x 1.4 y(1) 1
0.6
7 设有积分
2
写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 取步长 0.2 用上述格式求解。
I
0
ex dx
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后 4 位）
2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。 8 用 LU 分解法求解线性代数方程组 1 0 1 2
1 2 3 x1 2 1 2 x2 1 2 2 x3 2 5
9 x4
3 1 3 7
9 当常数 c 取合适的值时，两条抛物线 试取出试点
y
x2
x c 与 y
2 x 就在某点相切，
x00.3
，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于
10 4 时迭代结束。
参 ； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3
（4）1/5 (5) x=1
2 解：将方程变形为
(x ex )2
0
即求 x ex
0在（ -1， 0）内的根的近似值 xn 1
牛顿迭代格式为
x
n 1n
x
xn 1
ex
n
ex
n
收敛性证明； 局部收敛定理 结果 x4
0.56714 。
3 用最小二乘法 正则方程组为
61.125a 9.41165b 65.86 解得 a=1.0072; b=0.4563 9.41165a 1.48446 10.1586
4．解 推导中心差分格式
''
1
得到 f '' (1.1) 3
f (x1 )
h 2 ( f ( xf ( x) 2 f ( x))02 1
5 解
p(x).
2x 4 3x3 f ( 5) ( )
3
2
截断误差
R( x)
5! x (x 1) 1.4
6
y(1.2) 1.2; y(1.4)
7 8 9
0.6805
（0 1 0 1） 解 两条曲线求导
1
y' 2x 1 和 y'
x 2
1
切点横坐标一定满足 2x 1= x 2 将等式变形为f (x) 4x3
4x2
x 1
牛顿迭代法 结果为 0.34781
2007-2008 第一学期
1 填空（ 15 分） 1 ） 设近似数 x1* e (x * x* ) r1 2
______
9.2270 ， x2*
0.8009
都是四舍五入得到的，则相对误差
2）拟合三点 A(3,1), B(1,3)，C(2,2) 的平行于 轴的直线方程为 ____.
y3) 近似数 x
*0.0351 关于真值 x
0.0349
有 _____ 位有效数字 .
1 1
n 1
4） 插值型求积公式
f ( x)dx
k 1
Ak f (xk )
至少有 ______次代数精确度 .
5) Simpson( 辛浦生 ) 求积公式有 ______次代数精确度 . 2.（ 10 分）已知曲线
y x3
2. 与 y
2.4 x2 xn 1 ，当 0.51x 在点（1.6,6.9 ）附近相切，
试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值 止迭代。 3．（10 分）用最小二乘法确定
xn 1 n x105
误差小于 10
4
时停
y
ax 2
b ln x 中的常数 a 和 b ，使得该函数曲线
拟合于下面四个点 (1 ，2.01), (2 到小数点后 4 位 )
，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (
计算结果保留
2 3 2
A 10 3 4
3
( k)
4.(10 分) 用乘幂法求矩阵
(k)
6
1
的按模最大的特征值
1 ()k
的第 k 次近似
( )1k 1
值 及相应的特征向量 5．（10 分）设有方程组
a 1
1 a
3 x1 2 x2
b1 b2 b3
1
x
1 。要求取初始向量
u(1,2,1)0T
，且 1
0.1 。
(a 0)
3 2 a x3
写出与 Jacobi 迭代法对应的 Gauss-Seidel 方法的迭代格式； Jacobi 方法的迭代矩阵为：
当参数 a 满足什么条件时， Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。 6．（10 分）已知四阶连续可导函数 y
1
f (x)
的如下数据：
2 5
xi
f ( xi ) f ' ( xi )
0
1
10
试求满足插值条件 断误差 R( x)
p(x)i
f (xi ), p ( xi )
'
f'(x) i 的三次插值多项式 p(x) ，并写出截
f ( x)
p( x) I
的导数型表达式（不必证明）。
x edx
3
x
2 1
7．（15 分）设有积分
1）取 7 个等距节点（包括端点 1 和 2），列出被积函数在这些节点上的函数值表
（小数点后至少保留 4 位）；
2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。 8．（10 分） 给定初值问题
y'y 2
0,
y(1) 1, 1 x 1.4
x
写出欧拉（ Euler ）预估 - 校正的计算格式； 取步长 h 0.2 ，求
y(1.4)
的近似值。
9．（10 分）
用迭代法的思想证明： lim 2 2
2 2
k
（等号左边有 k 个 2）。
参：
1: (1)6.78 ×10－5, (2) x=2 (3) 2 （ 4） n-2 (5) 3
2. 切线斜率相等： 3x 2
4.8x
0.51 ， 3x2
4.8x－0.51
0
x
3xn2 4.8xn－0.51
n 1
xn
6x 牛顿迭代格式：
n 4.8
取 x01.6 ，得 x1 1.70625 , x2
1.70002, x3 1.70000, x4
1.70000
a
2.01
4a bln 2
7.3
9a bln 3
16.9
3. 矛盾方程组： 16a b ln 4 30.8
354
34.84081 a 672.91 正则方程组： 34.84081
3.60921 b
66.04713
a
1.9997, b
1.0042
( k) V1(k 1)
1
4. 取初始向量 V (0 )
(1 2 1) T ，用乘幂法公式进行计算，且取 V1( k)
，得1
11.0 ， x
V ( 4 )
(13516,27032,20226) T
5.(1) 迭代格式为
x1(k 1)
1
b1
x2(k) 3x3( k)
a
x2(k 1)
1 b2
ax1( k 1)
2x3(k)
1
x3(k 1)
b3 3x1( k
1)
2x2(k 1)
a
(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
0
1 a 0
B J
1 a 3 a
3 a 2 a 0
2 a
1 a
1 a 3 a
I
B J
3 a 2 a
2
4 a 2
2 a
(3)
B J
2
谱半径 a 2
a
. 由 B J
1 得
此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛 .
p( x)
x
3
2x 1, R( x) f ( x)
p( x)
6.
f (4 ) ( ) ( x 1) 2 (x 2) 2 , ( x) (1,2)
4!
7．20.2174
R( f )
0.0048
8．（1）Euler 预 - 校法的计算格式为
yn(0)1 yn h f (xn , yn ) yn 1
yn
h
f (xn , yn ) f (xn 1 , yn(0)1 )
2
h
0.2 , f ( x , y)
y 2
（ 2）将 yn(0 1) yn
x
代入，则
0.2
y2n
y
n 1
xn
yn
0.1 yn2
xn
1得
( yn(0)1 ) 2
xn 1
代入 x0
1, y0
y1[0 ]
1.2
y2[0]
x0
1.4681
y(1.2) 9．证明
y1 1.22 ， y(1.4) y2 考虑迭代格式
0, xk 1
1.49798
2 xk , k
0,1,
，则
x12 ， x2 ( x)
( x)
2
2
2 ，⋯， xk
2 2 2 2
2
（k 个 2）
x
1
， 当 x
[0,2] ， (x)
[ (0), (2)]= [ 2 ,2]
(x)
(0)
[0,2] ；
1 2 2
由
2
2 x
1
， 当 x
[0,2]
， ．
所以，由迭代格式内的根 ．
lim xk
k
， 有
lim xk
的 根，有 k x2 x0
0, xk 1
k
生的序列收 于方程
x
2x
在[0,2]
2
2
，即1
2 ．解之得
2, ．舍去不合 意
2
lim
2
2
2
2
2 2
，即 k
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