高数练习题及答案

高等数学（下）模拟试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

11xyxy的定义域为 （1）函数

yzzarctanxx（2）已知函数，则

z（3）交换积分次序，20dy2yy2f(x,y)dx＝

(xy)ds（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则L

（5）已知微分方程y2y3y0，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

x3y2z10（1）设直线L为2xy10z30，平面为4x2yz20，则

（ ）

A. L平行于 B. L在上 C. L垂直于 D. L与斜交 （2）设

的dz（ ） D.dx2dy

2224z25(xy)及平面z5所围成的闭区域，将（3）已知是由曲面

222xyzxyz2确定，则在点(1,0,1)处是由方程

A.dxdy B.dx2dy C.2dx2dy

22(xy)dv在柱面坐标系下化成三次积分为（ ）

50 A.

20dr3drdz04502 B.

20dr3drdz0

52rC.

20dr3dr5dz02 D.

20dr2drdz0025

（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）

1A. 2 B. 1 C. 2

D. 2

x（5）微分方程y3y2y3x2e的特解y的形式为y（ ）

A.得分 xx B.(axb)xe C.(axb)ce x(axb)cxeD.

三、计算题（每题8分，共48分）

x1y2z3阅卷L1101且平行于直线L2：1、 求过直线:

x2y1z人 211的平面方程

zz22zf(xy,xy)，求x， y 2、 已知

3、 设

D{(x,y)xy4}，利用极坐标求

22xdxdyD2

2x2f(x,y)e(xy2y)的极值 4、 求函数

xtsint2y(2xy3sinx)dx(xe)dyL5、计算曲线积分， 其中L为摆线y1cost从点O(0,0)到A(,2)的一段弧

6、求微分方程 xyyxe满足 yx11的特解

x

四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算

2xzdydzyzdzdxzdxdy2，其中由圆锥面

zx2y2与上半球面z2x2y2所围成的立体表面的外侧 (10)

n1n(1)n13n12、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条

件收敛；（6）

（2）在x(1,1)求幂级数n1

nxn的和函数（6）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

4xy2z22ln(1xy)的定义域为 ； （1）函数

（2）已知函数ze，则在(2,1)处的全微分dz ；

xy

e1lnx0（3）交换积分次序，dxf(x,y)dy＝ ；

2（4）已知L是抛物线yx上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则

Lyds ；

（5）已知微分方程y2yy0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）

xy3z0（1）设直线L为xyz0，平面为xyz10，则L与的夹角

为（ ）；

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

zz3xyza（2）设是由方程确定，则x（ ）；

yzyzxz222A. xyz B. zxy C. xyz D.

33xyz2xy

2xy5y6yxeyy（3）微分方程的特解的形式为（ ）； 2x2x2x(axb)e(axb)ce(axb)xeA. B. C.

D.(axb)cxe

（4）已知是由球面xyza所围成的闭区域, 将

标系下化成

三次积分为（ ）；

A2022222xdv在球面坐

20dsindrdr0a2 B.2020ddrdr0a

a0C.D.20a0020ddrdr0

dsindr2dr

2n1nxn（5）已知幂级数n12，则其收敛半径

（ ）.

1A. 2 B. 1 C. 2

D. 2

得分 阅卷人 三．计算题（每题8分，共48分）

5、 求过A(0,2,4)且与两平面1:x2z1和2:y3z2平行的直线方程 .

zzxy6、 已知zf(sinxcosy,e)，求x， y .

yarctandxdy22D{(x,y)xy1,0yx}x7、 设，利用极坐标计算D .

得分 8、 求函数f(x,y)x5y6x10y6的极值. 9、 利用格林公式计算

22L(exsiny2y)dx(excosy2)dy，

222(xa)ya,y0、L其中为沿上半圆周从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.

3yy(x1)2x16、求微分方程 的通解.

四．解答题（共22分）

1、（1）（6）判别级数n1敛还是条件收敛；

(1)n12nsin3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收

xn(1,1)（2）（4）在区间内求幂级数n1n的和函数 .

2、(12)利用高斯公式计算

2xdydzydzdxzdxdy，为抛物面

zx2y2(0z1)的下侧

高等数学（下）模拟试卷三

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、 函数yarcsin(x3)的定义域为 .

(n2)2lim22、n3n3n2= .

2yln(1x)，在x1处的微分dy . 3、已知

4、定积分11(x2006sinxx2)dx .

57y2yx3x0所确定的隐函数的导数5、求由方程

dydx .

二．选择题（每空3分，共15分）

x21y2x2x3x2的 间断点 1、是函数

（A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡

1x2、积分= .

(A)  (B)

(C) 0 (D) 1

10x2dx3、函数yex1在(,0]内的单调性是 。 （A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。 4、1xx的一阶导数为 .

（A）sinx （B）sinx （C）cosx （D）cosx

5、向量a{1,1,k}与b{2,2,1}相互垂直则k .

（A）3 （B）-1 （C）4 （D）2

sintdt三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

2x3x1)x2x11、求极限

xsinxlim32、求极限x0x

dyx3、已知ylncose，求dx

lim(四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

t2x2d2yy1t21、已知，求dx

2、计算积分

2xcosxdx

3、计算积分10arctanxdx24、计算积分0

五．觧答题（3小题，共28分）

42y3x4x1的凹凸区间及拐点。 (8)1、求函数

2x2dx

1x01xf(x)21x0f(x1)dxx1(8)1e02、设求

223、（1）求由yx及yx所围图形的面积；(6)

（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)

高等数学（下）模拟试卷四

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、 函数2、0y11x2x的定义域为 .

eaxdx,a0= .

3、已知ysin(2x1)，在x0.5处的微分dy .

sinxdx11x24、定积分= .

1

5、函数y3x4x1的凸区间是 . 二．选择题（每空3分，共15分）

x21yx1的 间断点 1、x1是函数

43（A）可去 （B）跳跃

（C）无穷 （D）振荡

x02、若

(A)1 (B)a

(C)-1 (D) a

3、在[0,2]内函数yxsinx是 。

a0,f(0)0,f(0)1,limf(ax)x=

（A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。 4、已知向量a{4,3,4}与向量b{2,2,1}则ab为 . （A）6 （B）-6 （C）1 （D）-3

5、已知函数f(x)可导，且f(x0)为极值，ye0f(x)，则

dydxxx0 .

f(x)（A）e （B）f(x0) （C）0 （D）f(x0)

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

1、求极限x0limlim(1-kx)1kx

1cosx2sint2dt2、求极限x0xsinx1x

3、已知ye四． 计算题（每题6分，共24分）

dy1、设exy10所确定的隐函数yf(x)的导数dxylnsindy，求dx

x0。

2、计算积分3、计算积分arcsinxdx03a0

sin3xsin5xdxx223ax4、计算积分

五．觧答题（3小题，共28分）

dx,a0

3atx1t22y3at1t2，求在t2处的切线方程和法线方程。 1、(8)已知1lnalnb1(8)ab0aabb 2、求证当时，

3、（1）求由yx及y0,x2所围图形的面积；(6) （2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体积。(6)

3高等数学（下）模拟试卷五

ln(xy)一． 填空题z（每空3分，共21分）

y1．函数的定义域为 。

x2．已知函数ze2y2z3．已知zexy，则x，则dz 。

(1,0) 。

224．设L为xy1上点1,0到1,0的上半弧段，则2dsL 。

e5．交换积分顺序1dxlnx0f(x,y)dy 。

(1)n6.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛 。

7．微分方程ysinx的通解为 。

二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数zfx,y在点x0,y0的全微分存在是fx,y在该点连续的（ ）

条件。

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要

2．平面1:x2yz10与2:2xyz20的夹角为（ ）。

A．6 B．4 C．2 D．3

(x5)nn3．幂级数n1的收敛域为（ ）。



A．4,6 B．4,6 C．4,6 D．4,6

y1(x)4．设y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)yq(x)y0的两特解且y2(x)常数，则下列（ ）是其通解（c1,c2为任意常数）。

A．yc1y1(x)y2(x) B．yy1(x)c2y2(x) C．yy1(x)y2(x) D．yc1y1(x)c2y2(x)

5．

zdv0在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中为

33x3,x0,y3,y0，z0,z3所围的闭区域。

A．3D．30dxdyzdz003003 B．03dxdyzdz0033 C． 03dxdyzdz3003

dxdyzdz

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

zz,zlnzexy0xy。 1、已知，求

x1y2z(1,0,2)123的直线方程。 2、求过点且平行直线

3、利用极坐标计算D，其中D为由xy4、y0及yx所围的在第一象限的区域。

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

1、利用格林公式计算曲线积分L2222(xy)d22(y2ex)dx(2xy5xsin2y)dy，其中L

为圆域D：xy4的边界曲线，取逆时针方向。

2、判别下列级数的敛散性：

(1)(1)n1n11

n2(2)nn n13

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1、求函数

f(x,y)x312y3x3y12的极值。

x0dyyex2、求方程dx满足yx2的特解。

3、求方程y2y8y2e的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.）

1．函数zarccos(yx)的定义域为 。

z2．已知函数zln(xy)，则x2,1 。

3．已知

zsinx2y2，则dz 。

4．设L为yx1上点(1,0)到0,1的直线段，则2dsL 。

105．将dx1x20f(x2y2)dy化为极坐标系下的二重积

分 。

(1)n26.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛 。

7．微分方程y2x的通解为 。

二、选择题：（每题3分,共15分.）

1．函数zfx,y的偏导数在点x0,y0连续是其全微分存在的（ ）条件。

A．必要非充分， B．充分， C．充分必要， D．既非充分，也非必要，

xy2z210与平面:x2yz3的夹角为（ ）2．直线1。

A．6 B．3 C．2 D．4

l:xnn23．幂级数n13n的收敛域为（ ）。

A．(3,3) B．[3,3] C．(3,3] D．[3,3)

*4.设y(x)是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解，y(x)是方程

yp(x)yq(x)y

0的通解，则下列（ ）是方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解。

2***y(x)y(x)y(x)yy(x)A． B． C． D． (x)y(x)

5．

zdv在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中为

x2y2z2R2的上半球体。

2RR2RrA．0drdrz2dz00 B．0drdrz2dz00

00 C．0 D．0三、计算下列各题（共18分，每题6分）

2ddrRR2r2zdz22drdr0RR2r20z2dzzz,31、已知z3xyz5，求xy

2、求过点(1,0,2)且平行于平面2xy3z5的平面方程。

，其中D为yx、y0及x1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

3、计算

D(x2y2)dxdy1、计算曲线积分L(x2y)dx(xsiny)dy2y2xx，其中L为圆周上点

(0,0)到(1,1)的一段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

xdydzydzdxzdxdy，其中是由

z0,z3,x2y21所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

1n(2)4sin(1)(1)lnn3n n2n1

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1f(x,y)3x26xy32y2131、求函数的极值。

ndyyex2、求方程dx满足y

x01的特解。

x3、求方程y5y6y(x1)e的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题（每空3分，共24分）

2222(xy)25xy1．二元函数的定义域为

21yt1yt35的通解为 2．一阶差分方程

z13．zx的全微分dz _

4．ydxxdy0的通解为 ________________

zyx，则x______________________ 5．设

6．微分方程y2y5y0的通解为

yzarctan

7．若区域D(x,y)|xy4，则

222dxdyD

1n2n08．级数的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．fx,y在点a,b处两个偏导数存在是fx,y在点a,b处连续的

条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充

分

（C）充分必要 （D）既非充分也

非必要 2．累次积分

10dxx0f(x,y)dy改变积分次序为

101(A) 10dyf(x,y)dx01 （B）dyx0f(x,y)dx

（C）01dyy20f(x,y)dx （D）0dy2f(x,y)dxy1

3xy5y6yxe3．下列函数中， 是微分方程的特解形式(a、b

为常数)

（A）y(axb)e （B） yx(axb)e

23x3xyx(axb)eyae（C） （D）

3x3x 4．下列级数中，收敛的级数是

(3)n(1)nnn22n12n1（A） n1 （B） n1 （C） n1 （D） n1nz222xyz4z5．设，则x

1

xxx(A) z (B) 2z (C) z2

(D)

xz

得分 阅卷人 三、求解下列各题（每题7分，共21分） 1. 设

zu2lnv,而uxzz,v3x4y,y，求xy

3nnn2n12. 判断级数的收敛性 3.计算

222xy1所围区域 ，其中D为

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

1yylnxx1. 求微分方程的通解.

xeDy2dxdy2.计算二重积分

平面区域.

IxydxdyD，其中D是由直线yx,x1及x轴围成的

32f(x,y)yx6x12y5的极值. 3.求函数

xn2nn4n14.求幂级数的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参

一、填空题：（每空3分，共15分）

4xydxf(x,y)dy1220x21、 {(x,y)|xy0,xy0} 2、xy 3、

x3xyCeCe1224、 5、

二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C2.D3.C4A5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： A(1,2,3)s1{1,0,1}s2{2,1,1} 2

ins1s212jk01i3jk11平面方程为 x3yz20 8

6

2、解： 令uxy2vx2y 2

zzuzv xuxvxzzuzvyuyvy3、解：D:02f1y2f22xy 6

f12xyf2x2 8

0r2， 3

20xdxdyrDD23cosdrd2cosdr3dr0224 8

2x2fx(x,y)e(2x2y4y1)012x(,1)fy(x,y)e(2y2)024．解： 得驻点 4

Afxx(x,y)e2x(4x4y28y4),Bfxy(x,y)e2x(4y4),Cfyy(x,y)2e2x

6

A2e0,ACB24e208 5．解：P2xy3sinx,曲线积分与路径无关 2

积分路线选择：L1:y0,x从0，L2:x,y从02 4

11f(,1)e22 极小值为

PQ2x,Qx2ey，有yx

(2xy3sinx)dx(x

L2ey)dyPdxQdyPdxQdyL1L2

8

3sinxdx(2ey)dy22e270026．解：

y11yexP,Qexxx 2

P(x)dxdxdxP(x)dxxxx[Q(x)edxC]e[eedxC]11通解为

ye 4

11[exxdxC][(x1)exC]x x 6

代入

yx11，得

C1，特解为

1y[(x1)ex1]x

8

四、解答题

1、解：

22xzdydzyzdzdxzdxdy(2zz2z)dvzdv 4

r3cossindrdd方

10

法一： 原式＝

1200 6

20d4cossindr3dr2

方法二： 原式＝

10

20drdr02r2rzdz2r(1r2)dr012

n1un131nn1n1nlimlim1n1un(1)n3nn1nun33n1n32、解：（1）令收敛，

4

(1)n1n1n3n1绝对收敛。 6

nn1n1（2）令

s(x)nxxnxn1xs1(x)xn1 2

x0s1(x)dxnxdxxnn10n1xx1s1(x)()1x1x(1x)2 5

s(x)

x(1x)2x(1,1) 6

高等数学（下）模拟试卷二参

一、填空题：（每空3分，共15分）

dyf(x,y)dx222221、 {(x,y)|y4x,0xy1} 2、edx2edy 3、0e

y1e1(551)xy(CCx)e124、12 5、

二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B D. A 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： A(0,2,4)n1{1,0,2}n2{0,1,3} 2

isn1n210jk022i3jk13xy2z431 8 直线方程为2xyusinxcosyve2、解： 令 2 zzuzvxuxvx

zzuzvyuyvyf1cosxcosyf2exy 6 8

6

f1(sinxsiny)f2exy0r13、解：

D:04， 3

21yarctandxdyrdrd4drdr00x 8 DDfx(x,y)2x60fy(x,y)10y100 得驻点(3,1) 4 4．解： Afxx(x,y)2,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)10 6

A20,ACB2200极小值为f(3,1)8 8

xPesiny2y,5．解：Qexcosy2，

Qexcosy,x2

Pexcosy2,有y

取A(2a,0),OA:y0,x从02a 4

LPdxQdyPdxQdyOA2(DQP)dxdy2dxdya2xyD 6

22＝a0a 8

原式＝a－OAPdxQdy31P,Q(x1)2x16．解： 2

通解为

yeP(x)dxdxdxP(x)dx[Q(x)edxC]ex1[(x1)2ex1dxC]131

4

32(x1)[(x1)dxC](x1)[(x1)2C]3 8

四、解答题

12n1un123limlim1nnun3un(1)n12nsinn2nsinn334 1、解：（1）令

n2sinn(1)n12nsinn3收敛， n13绝对收敛 6 n12n1sinxns(x)n1n（2）令



nx1s(x)xn11x， 2 n1nn1s(x)s(x)dxs(0)ln(1x)0x2、解：构造曲面1:z1,上侧

1 4

2xdydzydzdxzdxdy2xdydzydzdxzdxdy(211)dv4dv42011 2

0drdr2dz81(1r2)rdr20r 4 6 8

I22xdydzydzdxzdxdy1 10

2dxdyDxy 12

高等数学（下）模拟试卷三参

一．填空题：（每空3分，共15分）

2210,0,X1且x01.；2.a；3. 2dx；；5. 3或3 二．选择题：（每空3分，共15分） 1.A;2.D;3.A;4.A;5.C.

三．计算题：

1. 2.

lim1kxx01(k)kx1kx2k4ek2

2limx01cosxsint2dtx3(sincos2x)(sinx)limx03x2422

1lnsindy111excos21dxxxsinx 3.

1lnsin112excotxx

dydxyeyx03x0 四．计算题：

eyyyxy02;x0,y01; 1.

2.原式

xarcsinxx11x2x0；

1d(1x2)2dx2xarcsinx221x2

32xarcsinx1x2c322

2032 3. 原式 4.原式五．解答题: 1

2(sinx)cosxdx(sinx)dsinx(sinx)dsinx302415

3ad(3a2x2)23a2x2303a2x203a23a3a23a1。

．

112t46a12a11y,t2,k,x,y,切线:4x3y12a0,法线：3x-4y+6a=01t2355

1lnalnb1设f(x)lnx,xb,a,ab02,lnalnb(ab),ba2,aabb12.（1）

S20x432xdx402242

82532Vy4y3dy4yy320505 （2）、

82

高等数学（下）模拟试卷四参

一．填空题：（每空3分，共15分）

121x12425y2x4dx331.；2.；3. ；4. ；5. 。

二．选择题：（每空3分，共15分）

1. C；2. D；3. B；4. B；5. C。

6三．1.

31lim2xx112xx331512x2xlime232x(2)x11112x2x32x332

1cosx212lim2x03x26 2.x03xdy1(sinex)ex3excotexx 3.dxcoselim2sin2x22

3

四．

1221dyt2y,2tdxt 1.

2t32；

22.

x2dsinxx2sinxsinx2xdx101x2sinx2xcosx2sinxc1204

1ln(1x2)2xarctanxxdx201x42 3.

242ln222

1 4.

x2sint,201sin2t22cost2costdtt22。 0五．解答题

y12x312x2,y36x224x,222x10,x2为拐点，32240、，为凹区间，，0， 为33 1.

凸区间

2.

1,x11211xxf(x1),(2)dxdx(2)lne1x01ex1,x11ex1ln(1e)2ln2(2)

102ln(1ex)10lnx1(2)

3.（1）、

103x32422xxdxx303121312

2 （2）、

Vxxx4dx01x2x542503102

高等数学（下）模拟试卷五参

一、填空题：（每空3分，共21分）

x(x,y)xy,y01、， 2、2xe5、012y2dx2yex2y2dy，3、0,4、2，

，6、条件收敛，7、ycosxc（c为常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、

eydyef(x,y)dxB

zF(x,y,z)lnzexy1 三、解：1、令

FzyzxxFz1zez 4

FyzxzFz1zez 7 y1,2,32 2、所求直线方程的方向向量可取为

x1yz2237 则直线方程为：14003、原式4

 7

dr3dr2

四、解：1、令

P(x,y)y2ex,Q(x,y)2xy5xsin2y,( 原式D 20 8

2、(1) 此级数为交错级数 1

nn1(n1,2,) 4 因 ，n 故原级数收敛 6

(2) 此级数为正项级数1

nQP)dxdyxy6

PQ2y,2y5yx3

lim1011(n1)2n113lim12n3n3n 因 4 故原级数收敛 6

2f(x,y)3x30，fy(x,y)3y0得驻点(1,3),(1,3) x五、解：1、由

2

Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1在(1,3)处

2ACB0,，所以在此处无极值 5 因

在(1,3)处

Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)12

因ACB0,A0，所以有极大值

2、通解

y[exedxc]edx1dxf(1,3)1528

3

xx xece 6

yx0c2

xy(x2)e特解为 8

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r22r80

有两不相等的实根r12,r24

2x4x所以对应的齐次方程的通解为 yc1ec2e（c1,c2为常数） 3 *xy(x)ae2) 设其特解

将其代入原方程得

5aex2ex,a25

2y*(x)ex56 故特解

3)原方程的通解为yc1ec2e

2x4x2ex57

高等数学（下）模拟试卷六参

一、 填空题：（每空3分，共21分）

122221、(x,y)x1yx1， 2、2，3、2xcos(xy)dx2ycos(xy)dy,

4、22，5、20df(r2)rdr012yxc（c为常67，、绝对收敛，、

数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、

D

三、解：

31、令F(x,y,z)z3xyz52

Fzyzx2xFzzxy 4

Fyzxz2Fzzxy 6 y2、所求平面方程的法向量可取为2,1,32

则平面方程为：2(x1)y3(z2)06 3、原式

dx(x2y2)dy001x4

13 6

四、解：1、令 原式

P(x,y)x2y,Q(x,y)(xsiny),121PQ1yx3

(x0)dx(1siny)dy006

53 7

2、令Px,Qy,Rz2

cos1

原式

(PQR)dvxyz5

3、(1) 此级数为交错级数 1

1110 因nlnn ，lnnln(n1)(n2,3) 4

故原级数收敛 5

lim7  98

3dv (2) 此级数为正项级数1

n1n143lim1n34nsinn3 因 4 故原级数发散

5

2f(x,y)4yy0f(x,y)6x60五、解：1、由x，y得驻点(1,0),(1,4)

4sin3

在(1,0)处

2ACB0,A0，所以有极小值f(1,0)2 5 因

Afxx(1,4)6,Bfxy(1,4)0,Cfyy(1,4)4

Afxx(1,0)6,Bfxy(1,0)0,Cfyy(1,0)4在(1,4)处

2 因ACB0,，所以在此处无极值 7

3

x(xc)e 5 yx0c1,

2、通解

xy(x1)e特解为 7

y[exe1dxdxc]edx1)对应的齐次方程的特征方程为 r25r60 , 有两不相等的实根3、

r12,r23

2x3xycece12所以对应的齐次方程的通解为 （c1,c2为常数）

3

*x 2)设其特解y(x)(axb)e

152ax3a2bx1,a,b24 将其代入原方程得

15y*(x)(x)ex6 24 故特解

15x(x)e3)原方程的通解为yc1e2xc2e3x24

7

高等数学（下）模拟试卷七参

一．填空题：（每空3分，共24分）

2t3yC()y1yt(x,y)|0xy25yxdxxlnxdy 351. 2. 3.

22y 4. yCx 5.1x2y2 6.

yex(C1cos2xC2sin2x)二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

zzuzv2x3x21.解：xuxvxy2ln(3x4y)(3x4y)y2 zyzuuyzvvy2x24x2y3ln(3x4y)(3x4y)y2 3n12.解：limun1(n1)2n1xulimnx3n(5分)n2n 321(6分)所以此级数发散(7分)3. 解：ex2y2dxdyD= 21r2 0d0erdr(5分)= 21r21 02e0d(e1)(7分)

四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为ye1xdx[lnxe1xdxdxc] (6分)=x[lnx1xdxC]x[lnxdlnxC]x[1(lnx)2C](10分)

2

8. 2 ………(4分) (7分)

………

1x2. 解：xydxdy=dxD 0 0xydy(6分) 1 131x1=xyy2dxx2dx(10分) 0 02022 fx(x,y)2x603.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)2f(x,y)3y120yfxx(x,y)2,fxy(x,y)0,fyy(x,y)6y(4分)在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，ACB2=-24<0，故点(3，2)不是极值点2)是极大值点，极大值f(3,2)30 故点(3，4.解：此幂级数的收敛半径：R=limanan1(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，ACB2=24>0，且A<0，1n24nlim4n1(n1)24n1(10分)

(6分)nx4时幂级数变为1是收敛的p-级数2nn=1(-1)nx4时幂级数变为2绝对收敛n=1nxn 所以2n收敛域为[-4，4]n1n4 (8分)(10分)