课题：生活中的函数
研究性学习报告
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课题：生活中的函数
1. 函数定义：函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。 2. 自变量与因变量：自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一一值与其相对应。
3. 引言：早期函数概念是几何观念下的函数，十八世纪函数概念是代数观念下的函数，十九世纪函数概念是对应关系下的函数，现代函数概念是集合论下的函数，函数一天天在变，也一天天地融进了生活，生活中的函数，体现的不仅仅是数学的严谨精密，那熠熠生辉的是人们对智慧的灵活应用。 4. 函数应用：
(1)应用简介：
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
广析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 (2)应用实例：
例1：程序设计中的函数
许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在
需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。 PS：语言中的部分函数 main（主函数）
max（求最大数的函数） scanf（输入函数） printf（输出函数）
例2：商业中的函数
当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。
随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：
（1）买一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；
（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。
那么，这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 假设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则 用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60; 用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72. 接着比较y1y2的相对大小.
设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.
然后便要进行讨论：
当d>0时，0.5x-12>0,即x>24; 当d=0时，x=24; 当d<0时，x<24.
综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；
恰好购买24只时，两种方法价格相等； 购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.
可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，一举两得呢！
例三：建设中的函数：
某植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米。若垂直于底边的腰长为x米，苗圃面积的最大值便可用函数来解决。
假设直角梯形四个顶点分别为A、B、C、D，其中上面的顶是A、B下面的是D、C，“两邻边用夹角为135°的两面墙”就是说墙AB，AD的夹角为135°。 过A点作一条线垂直DB于E点，则可得到一个直角等腰三角形ADE， 因为∠DAE＝∠DAB-∠EAB＝135°-90°＝45°;
又因为别两边总长为30米（即BC+CD＝30m），垂直于底边的腰长为x米（即BC＝X）， 所以CD=30-X;
因为三角形ADE是直角等腰三角形， 所以DE=AE=BC=X，
所以AB=EC=CD-DE=30-2X;
因为梯形的面积S＝（上底+下底）*高/2
所以S＝（AB+CD）*BC/2＝（（30-2X）+（30-X））*X/2 ＝（60-3X）*X/2 ＝30X-3/2*X*X ＝-3/2（X*X-20X）
＝-3/2（（X*X-20X+100）-100） ＝-3/2（（X-10）*（X-10）-100） ＝（X-10）平方*（-3/2）+150
所以当X＝0时，苗圃面积最大，最大值为150平方米。
6、图例：
杭州湾跨海大桥
贝聿铭作品
5、后记：
函数在生活中发展， 踏蜿蜒桥路，观潮涨潮落 登摩天大楼，阅世间繁华 生活因函数而精彩。
