高中数学解题思路大全—高考数学易错题举例解析

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2007年高考数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。

 x>0 x + y>0 x>1 x + y>3  ，但与不等价。  y>0 xy>0 y>2 xy>2

【例1】已知f(x) = ax + ，若3f(1)0,3f(2)6,求f(3)的范围。

①3ab0错误解法由条件得 b32a6②2②×2－① 6a15 ③ ①×2－②得 8b2 ④ 33310b431043③+④得 3a,即f(3).

33333x，其值是同时b错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)ax受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

f(1)ab正确解法由题意有b, 解得：

f(2)2a212a[2f(2)f(1)],b[2f(1)f(2)],

33b165f(3)3af(2)f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得

3991637f(3). 33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】

2(1) 设、是方程x2kxk60的两个实根，则(1)(1)22的最小值是

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(A)494(B)8(C)18(D)不存在

思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,

(1)2(1)2221221()222()2

3494(k)2.44有的学生一看到49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果4能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

 原方程有两个实根、，∴4k24(k6)0  k2或k3.

当k3时，(1)(1)的最小值是8；当k2时，(1)(1)的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2)

已知(x+2)2+

4 =1, 求x+y的取值范围。

2222错解由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+

8228)+ ， 3382828

∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。

333分析没有注意x的取值范围要受已知条件的，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+

y2y2

=1  (x+2)=1－ ≤1  －3≤x≤－1， 44

x2+y2的取值范围是[1,

]。 3

从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。

ab错解 (a+

1121112)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab•+4=8,

abababab∴(a+

121)+(b+)2的最小值是8. ab快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM

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分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

成立的条件是ab=

1,第二次等号21，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 ab1111112事实上，原式= a2+b2+2+2+4=( a2+b2)+(2+2)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4

abababab1 = (1－2ab)(1+22)+4，

abab211111由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，

2422abab1251∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，

2221125

∴(a + )2 + (b + )2的最小值是2 。

●不进行分类讨论，导致错误

n【例4】(1)已知数列an的前n项和Sn21，求an.

nn1nn12n1. 错误解法 anSnSn1(21)(21)22错误分析显然，当n1时，a1S132111。

错误原因：没有注意公式anSnSn1成立的条件是。

因此在运用anSnSn1时，必须检验n1时的情形。即：an

2(2)实数a为何值时，圆xy2axa10与抛物线y2错误解法将圆xy2axa10与抛物线 y2222222S1(n1)。

Sn(n2,nN)1x有两个公共点。 21x联立，消去y， 2得 x(2a)xa10(x0). ①

1220171. 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a0 ，解之得a822a10.错误分析 y

x 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM 快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM O O x （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a0y 时，圆与抛物线有两个公共点。

图2－2－1 图2－2－2 快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得因此，当a0a10.2解之，得1a1.

1712222或1a1时，圆xy2axa10与抛物线yx有两个公共点。 8212222思考题：实数a为何值时，圆xy2axa10与抛物线yx，

2(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列an的全n项和为Sn.若S3S62S9，求数列的公比q.

a1(1q3)a1(1q6)a1(1q9)2错误解法 S3S62S9,，

1q1q1q整理得q3(2q6q31）＝0.

63333由q0得方程2qq10.(2q1)(q1)0,q42或q1。

a1(1q3)a1(1q6)a1(1q9)2错误分析在错解中，由，

1q1q1q整理得q3(2q6q31）＝0时，应有a10和q1。

在等比数列中，a10是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨比q1的情况，再在q1的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法若q1，则有S33a1,S66a1,S99a1.但a10，即得S3S62S9,与题设矛盾，

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故q1.

a1(1q3)a1(1q6)a1(1q9)3632）＝0,即又依题意 S3S62S9   q(2qq11q1q1q(2q1)(q1)0,因为q1，所以q10,所以2q10.解得 q333334. 2说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2x仅有一个交点。

错误解法设所求的过点(0,1)的直线为ykx1，则它与抛物线的交点为

2ykx1222，消去y得(kx1)2x0.整理得 kx(2k2)x10. 2y2x直线与抛物线仅有一个交点，0,解得k错误分析此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为ykx1时，没有考虑k0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以x0,即y轴，它正好与抛物线y2x相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y2x只有一个交点。 ③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为ykx1(k0),则1

2211.所求直线为yx1. 22ykx1y2x2，

k2x2(2k2)x10.令0,解得k = 2 ,∴ 所求直线为y综上，满足条件的直线为：y1,

1x1. 2x0,y1x1. 2快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM

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《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性)

(A)

0 (B) 0或1

(D) 0或1或2

2、已知A = {x | x2 + tx + 1 = 0} ，若A∩R* =  ，则实数t集合T = ___。tt2(空集) 3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号) (A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －14、命题A:x1＜3，命题B:(x2)(xa)＜0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是C(等号)

（A）(4,) （B）4, （C）(,4) （D）,4 1

5、若不等式x2－logax<0在(0, )内恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)

(A) [16 ,1) (B) (1, + ) 6、若不等式(－1)na < 2 +3

(A) [－2，2 )

(D) (2 ,1)∪(1,2)

 (－1)n + 1

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是A(等号) n3

(B) (－2，2 )

(D) (－3，2 )

7、已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：f(1)1；当x0时，f(x)0；对于任意的实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)。证明：f(x)为奇函数。(特殊与一般关系) 8、已知函数f(x) =

1－2x

，则函数f(x)的单调区间是_____。递减区间(－，－1)和(－1， +) x + 1

（单调性、单调区间） 9、函数y =

log0. 5(x2－1) 的单调递增区间是________。[－2 ，－1）（定义域）

x 2－2 x>1。 x

0≤x<1x－1

log 2(x+2) x>0－

10、已知函数f (x)= x x≤0， f (x)的反函数f 1(x)= x－1

（漏反函数定义域即原函数值域）

11、函数 f (x) = log 1 (x 2 + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0) 2(A) (－22 ,22 )

(B) [－22 ,22 ]

(D) (－,－22 ]∪[22 ,+)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)

（A）2

3（B）4

2（C）3

（D）0

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x24x32213、函数y=2的值域是________。(－∞, )∪(,1)∪(1,+∞) （定义域）

xx655x

14、函数y = sin x (1 + tan x tan 2 )的最小正周期是C （定义域）

 (A) 2

(B) 

(D) 3

15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x  [0,1) 时，f (x) = 2 x，则 f (log 1 23) = D(对数运算)

23(A) 16

316(B) 23

216(C) －23 23(D) －16

16、已知函数f(x)axbx3x在x1处取得极值。（1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程。(2004天津)

（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。） 3 sin  cos  3 3 

17、已知tan (－3 )= － 5 则tan  = ； = 。、23 （化齐次式） 3cos 2 －2sin 2 18、若 3 sin 2 + 2 sin 2 －2 sin  = 0，则cos 2 + cos 2 的最小值是 __ 。13

19、已知sin + cos = 5 ，  (0，)，则cot = _______。－4 (隐含条件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、

(隐含条件) 9

b2、A

（A）

4，则∠B = B(隐含条件)

（B）

 12 6（C）

6或5 6（D）

12或11 121125

21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a + a )2 + (b + b )2的最小值是_______。2 (三相等) 4

22、已知x ≠ k (k  Z)，函数y = sin2x + sin2x 的最小值是______。5（三相等） 23、求y28的最小值。 22sinxcosx错解1 y28288 22222|sinxcosx|sinxcosxsinxcosx1616,.ymin16.

|sin2x| 错解2

y(282sinx)(cos2x)122281162. 22sinxcosx快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM

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282sinx且cos2x，即sin2x2，cos2x22,这是不可能的。 22sinxcosx正确解法1 y2cscx8secx

222(1cot2x)8(1tan2x)

102(cot2x4tan2x)1022cotx4tanx18.22

其中，当cotx4tanx，即cotx2时，y18.ymin18. 正确解法2 取正常数k，易得

222y(282ksinx)(kcos2x)k22k28kk62kk. 22sinxcosx其中“”取“＝”的充要条件是

281222ksinx且kcosx，即tanx且k18. 222sinxcosx12因此，当tanx时，y62kk18,ymin18.

224、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数)

25、已知－9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2－a1) = A(符号) (A) －8 (B) 8

9(C) －

9(D)

－

26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？

当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。（忽视公比q = －1）

27、已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：

a1a,anf(an1)(n2,3,4,...),a2a1，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令bnan1an(nN*)，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM

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的通项公式；（3）当|k|1时，求liman。(2004天津)

n（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件) (－1+i)(2+i)

29、i是虚数单位，的虚部为（）C(概念不清) i3

(A) －1

(B) －i

2(C) －3 (D) －3 i

30、实数m，使方程x(m4i)x12mi0至少有一个实根。错误解法 方程至少有一个实根，

(m4i)24(12mi)m2200  m25,或m25.

错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法设a是方程的实数根，则

a2(m4i)a12mi0,a2ma1(4a2m)i0.

由于a、m都是实数，a2ma10,解得 m2. 4a2m031、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。

34344343

( ，－ )或(－， )；( ， )或(－，－ )(漏解) 55555555

32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。 a = (h，4h+8) (其中h  R)(漏解) 33、已知 |a|＝1，|b|＝2，若a//b，求a·b。

①若a，b共向，则 a·b＝|a|•|b|＝2，

34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的

体积为____________。24 a3 (隐含条件)

35、在直二面角 －AB－ 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 、 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解)

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②若a，b异向，则a·b＝－|a|•|b|＝－2。(漏解)

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(A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 60 或 120

36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)

(条件不充分(漏PA  平面EDB，DE平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。) x 2

37、若方程 m + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ )(漏解) x 231

38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为，则 m 的值为 ____ 。4 或 (漏解)

m24

39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周2x 2y 2

2 2

长为 4 + 23 且∠F1BF2 = ，则椭圆的方程是。 + y = 1或x + = 1(漏解)

34440、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若OPOQ0，求直线PQ的方程；

（3）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明

FMFQ。(2004天津)

(设方程时漏条件a>2 ，误认短轴是b = 22 ；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、已知双曲线的右准线为x4，右焦点F(10,0),离心率e2,求双曲线方程。

a2x2y222224,c10,a40,bca60.故所求的双曲线方程为1. 错解1 xc4060错解2 由焦点F(10,0)知c10,ec2,a5,b2c2a275. ax2y21. 故所求的双曲线方程为

2575错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1 设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x4，右焦点F(10,0)，离心率

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(x10)2y2(x2)2y21. 2. 整理得 e2，由双曲线的定义知

18|x4|正解2 依题意，设双曲线的中心为(m,0),

a2m4c则 cm10 解得

c2.a2a4222c8,所以 bca1648, m2.2故所求双曲线方程为

(x2)y1. 1822y 42、求与y轴相切于右侧，并与⊙C:xy6x0也相切的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为(x3)y9.

22M ·P N · C(3,0) O 设点P(x,y)(x0)为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与y轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得

x 图3－2－|CP||PM|3，即(x3)2y2x3，化简得y212x(x0).

错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y0(x0且x3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x>0)和y0(x0且x3)。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

43、（如图3－2－2），具有公共y轴的两个直角坐标平面和所成的二面角y轴－等于60.已知内的曲线C的方程是y2px(p0)，求曲线C在内的射影的曲线方错误解法依题意，可知曲线C是抛物线，

2 程。 p在内的焦点坐标是F(,0),p0.

2因为二面角y轴－等于60，

x y O F· x 快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM  图3－2－2

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且x轴y轴，x轴y轴，所以xox60.

设焦点F在内的射影是F(x,y)，那么，F位于x轴上，从而y0,FOF60,FFO90, 所以OFOFcos60p1pp.所以点F(,0)是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，22442开口向右，顶点在原点。所以曲线C在内的射影的曲线方程是ypx.

错误分析上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在 内的射影(曲线)是一条抛物线。

正确解法在内，设点M(x,y)是曲线上任意一点

 （如图3－2－3）过点M作MN，垂足为N，过N作NHy轴，垂足为H.连接MH，

x y 则MHy轴。所以MHN是二面角

O F· M H N y轴－的平面角，依题意，MHN60.

x 1在RtMNH中,HNHMcos60x.

2又知HM//x轴（或M与O重合），

 图3－2－3

HN//x轴（或H与O重合），设N(x,y)， 1xx则 2yyx2x yy.22因为点M(x,y)在曲线y2px(p0)上，所以y2p(2x). 即所求射影的方程为 y4px(p0).

244、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e是7，求这个椭圆的方程。

33，已知点P(0,)到这个椭圆上的最远距离22x2y2错误解法依题意可设椭圆方程为221(ab0)

ab快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM

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c2a2b2b2312，则 e224aaa2b21所以 2，即 a2b.

4a设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d，则 dx(y)

22322y29a(12)y23y4 b

13(y)24b23.22所以当y12

时，d有最大值，从而d也有最大值。 22222所以 4b3(7)，由此解得：b1,a4.

x2y21. 于是所求椭圆的方程为4错解分析尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y12

时，d有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到的取值范围。事实上，由于点(x,y)22

在椭圆上，所以有byb，因此在求d的最大值时，应分类讨论。即：

，则当yb时，d（从而d）有最大值。 2323112于是(7)(b),从而解得b7,与b矛盾。

2222112

所以必有b，此时当y时，d（从而d）有最大值，

22若b2222所以4b3(7)，解得b1,a4.

x2y21. 于是所求椭圆的方程为4数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

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