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八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）
1.如图，ＯＮ为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于H，交ON于点Q,PM∥OB交ON于点M， ＭＤ⊥OB于点D，QR∥OB交MＤ于点Ｒ,连结PR交QM于点S。（1）求证:四边形PQRM为矩形; （2）若OP=
1PR,试探究∠ＡOB与∠BON的数量关系，并说明理由。 2(1)证明:∵PH⊥OB,MD⊥OB,∴PＨ∥MＤ，
∵PM∥OB,QＲ∥ＯB，∴PM∥QR,∴四边形PQRM是平行四边形，ﻫ∵PＨ⊥OB，∴∠PHO=90°, ∵ＰM∥ＯB,∴∠MPQ=∠ＰＨO=９０°，∴四边形PＱRＭ为矩形; (２）∠AOB=3∠ＢON．理由如下: ∵四边形ＰQRM为矩形,∴PＳ＝ＳＲ=ＳQ=又∵ＯＰ=
1ＰR，∴∠SQR=∠SRQ， 21PR,∴ＯＰ＝PS,∴∠POＳ=∠PSO，ﻫ∵QＲ∥OB，∴∠SQＲ=∠BON， 2在△SQＲ中，∠PSO＝∠SQR＋∠SRQ=2∠SＱR=2∠BON，∴∠POS＝2∠BON， ∴∠AＯB＝∠POS+∠BON＝2∠BＯN+∠BＯN=3∠BＯＮ,即∠ＡOB＝3∠BON.
2.如图，矩形OAＢＣ在平面直角坐标系内(Ｏ为坐标原点),点A在x轴上，点C在y轴上,点B的坐标分别为（-２,23) ，点E是BC的中点，点H在OA上,且AＨ＝
1，过点H且平行于y轴的HG与EB交2于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在ＨＧ上，并与HG上的点Ｄ重合，折痕为EＦ，点F为折痕与y轴的交点。
（1)求∠ＣEF的度数和点D的坐标; (2)求折痕ＥF所在直线的函数表达式;
(3）若点P在直线EF上，当△ＰFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个?请求出点Ｐ的坐标,并写出解答过程。（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通)
(备用图） 解:(1)∵E是BC的中点，∴EC=EB=
=1．ﻫ∵△ＦCＥ与△ＦDＥ关于直线EF对称,∴△FＣE≌△FDE,
∴ED=ＥC=１,∠FCE=∠FＤE=90°，ＤF=CＦ. ∵AH=111,∴EG=ＥB－ＡH=1-=． 222＝∵ｃｏs∠GＥD=
1,∴∠GED=60°.∴∠DEC=180°－６0°＝1２0°．ﻫ∵∠DEＦ=∠CEF∴∠CＥＦ＝2=６０°.
在Rt△GEＤ中，由勾股定理得：DG=ＥD-EG=1--=
2
２
2
=ﻫ∴ＤG= DＨ＝AB-DG=2
OＨ=OＡ-AＨ=２-1=2 故D(－,)
（2）∵∠CEF═60°∴CＦ=ECｔan60°= ∴OF=OC－CF=2－＝ ∴F（0，),E（-1，2设EＦ所在直线的函数表达式为y=kx＋ｂ,由图象,得
）
--
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,解得： ﻫ故EF所在直线的函数表达式为：ｙ=-ｘ+；
(3）∵DＦ=CF=点P在直线EF上，∴当△PFD为等腰三角形时，有以下三种情况：
2
(a）Ｐ1Ｆ=ＤＦ=， 可令Ｐ1(t，-t+)，则:P1F=３ ∴由两点间的距离公式为：(ｔ－0)+（－
2
2
ｔ+－，－
）=3∴ｔ+3ｔ＝3∴t=+
2
２222
,ﻫ∴t1=-时,仍令Ｐ（t,-
,ｔ
= ∴Ｐ1(-）,注意D（-2
，，
２
+）； P３(
2
）ﻫ（ｂ） PD＝ＤF=
t＋
-
t+)，则:PＤ＝３ﻫ∴（t+)+(-）=3 ∴ｔ+3t+
２2
+3t+3t＋(-２
=3∴4ｔ+6t=0∴ｔ1＝０,ｔ2=－)ﻫ（c）当 PD=PF仍令P（t，-
ﻫ∵ｔ1=０对应F点,此时不构成三角形，故舍去.∴P４ｔ+
2
，
2
），注意Ｄ（－
2
，－
),F(0，)，ﻫ∴t+3t+
２
2
）,则: +3t
2
PD=ＰＦ∴（t＋＋３t+
２2）+（－
2
t＋－)＝（t-0)+（－
）.
ｔ+
=t+3ｔ∴6ｔ＋3=０∴t＝－11∴P4(－,22）、(
故满足条件的点P有4个.分别是:（）、(（）．
y y1B O
3．如图,在平面直角坐标系xＯy中,已知直线y1=-2P C A y2x 2x+2与x轴、y轴分别交于点A和点Ｂ，直线ｙ3=kx+b（ｋ≠0） 经过点C(1，0）且与线段AB交于点Ｐ,并把△ＡBO分成两部分.
(１)求△ABＯ的面积．
（２)若△AＢO被直线ＣＰ分成的两部分的面积相等,求点P的坐标及直线ＣＰ的函数表达式.
解：(1)在直线令、 ∴ (2)
,得
中,令,得. ∴B（0,2)．
． ∴Ａ（３,0).
.
．
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∵点P在第一象限，∴．ﻫ解得． 而点P又在直
线上,∴．解得．∴P(）． 将点Ｃ(１,0)、P(),代入中，有
．∴ﻫ∴直线CP的函数表达式为
．
4.如图①，在Rt△ABC中，已知∠Ａ＝9０º,AB=AC,Ｇ、F分别是AB、AC上两点，且ＧＦ∥ＢC,AF=2，
BＧ=４．
(1)求梯形BCFG的面积．
（２)有一梯形ＤＥFＧ与梯形BCFＧ重合，固定△ABC,将梯形DEFG向右运动,直到点Ｄ与点C重合为止, 如图②.
①若某时段运动后形成的四边形BＤGG中,DＧ⊥BＧ/,求运动路程ＢD的长,并求此时GB2的值. ②设运动中BＤ的长度为x,试用含ｘ的代数式表示出梯形DEＦG与Rt△AＢＣ重合部分的面积.
A
G B(D) F
C(E)
图①
B D
图②
C E
G A
//G F F
备用图
解：(1）在Rt△ＡＢC中，ﻫ∵AB=AC,ﻫ∴∠AＢC=∠ＡＣB=45°.ﻫ又∵GF∥BC， ∴∠AＧF=∠ＡFG=45°．
∴AG=AF=2,AB=AC=６.ﻫ∴S梯形GBCF＝S△ＡＢC-Ｓ△AGF＝
．ﻫ
（2）①∵在运动过程中有ＤG′∥BG且ＤＧ′＝BG,∴ＢDＧ′Ｇ是平行四边形．ﻫ当DＧ⊥BＧ′时,BDG′G是菱形．
∴BＤ=BＧ=4．ﻫ如图③，当ＢDG′G为菱形时,过点G′作G′M⊥BＣ于点M． 在Rt△G′ＤM中,∠G′DM=４5°，DG′=4, ∴DM=G′M且DM2+G'M2=DＧ＇2．ﻫ∴DM=G′M=在Rt△G′BM中,
分为梯形，如图②．ﻫ在Rt△AＧＦ与Ｒｔ△ABC中，过G点作GH垂直ＢC于点Ｈ,得GH＝. 由①，知BＤ＝GG′=x,ＤC＝,． ∴S梯形=当∵
≤x≤斜
边
时,其重合部分为等腰直角三角形,如图③. Ｄ
Ｃ
=
,
斜
边
上
的
高
为
,ﻫ
∴
.
，ﻫ∴BM=
．连接G′B. .ﻫ②当0≤x≤
，
时，其重合部
．ﻫ
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．
５.如图,在平面直角坐标系xoy中，已知直线ＰA是一次函数ｙ=ｘ+m(ｍ>0）的图象,直线PB是一次函数y=-3x+ｎ(ｎ＞m） 的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Ｑ分别是两条直线与坐标轴的交点。 (1）用m、n分别表示点A、B、Ｐ的坐标及∠ＰAB的度数； (2）若四边形PQＯB的面积是
11，且ＣＱ:AO=1：2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式; 2（3）在（2）的条件下,是否存在一点D,使以A、B、Ｐ、Ｄ为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在,请说明理由。 解：（1）在直线ｙ=x+m中，令y=0,得x＝-m.ﻫ∴点A(－m，0）．ﻫ在直线 y=－3ｘ+n中，令y＝0,得
．
C Q P ∴点Ｂ（P(
,
,0）．ﻫ由，得，∴点
A O B x ).ﻫ在直线y=x+m中，令x=0,得y=ｍ，∴｜-m|＝|m|,即有
AO=QO.
又∠ＡOＱ＝90°,∴△ＡOQ是等腰直角三角形,∴∠ＰＡB=４５度.ﻫ
(2)∵CQ：ＡＯ=１:２，∴(n-m)：m=1：２,整理得3m=2n，ﻫ∴n＝m，
而S四边形ＰQOB=S△PＡB-S△AOＱ＝（ｍ，∴==
12＋m）×（m）－1×m×m=2m2=,解得m=±4,ﻫ∵m>0，
∴ｍ=4，∴n=m=6,∴Ｐ(）.ﻫ∴PA的函数表达式为ｙ=x+4,PB的函数表达式为y=-3x＋６．
(３）存在．ﻫ过点P作直线PM平行于x轴,过点Ｂ作AP的平行线交PＭ于点D1，过点A作ＢＰ的平行线交PM于点D２，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3.ﻫ①∵PD１∥ＡB且BD１∥AP， ∴PABD１是平行四边形.此时ＰD１=ＡB，易得行四边形．此时ＰＤ2=AB,易得形.
；ﻫ②∵PD2∥AB且AD2∥BP,ﻫ∴ＰBAD2是平
;ﻫ③∵BD3∥ＡP且AＤ３∥ＢP,此时BPAD3是平行四边
∵BD3∥AＰ且B（２，O）,∴yBD3=x－2．同理可得yAD３＝－3x-12ﻫ，得，∴
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．
６.如图,在平面直角坐标系中,直线l1： y直线l2交y轴于点B，且∣OA∣=（1)试求直线l2的函数表达式;
(２）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交ｙ轴于点C，交直线l2于点D。试求△BCD的面积。 解:(1）根据题意，点A的横坐标为3，代入直线l1:又|ＯA|=中,得点A的纵坐标为4,ﻫ即点A(３,4）；即OA=5,
4x与直线l2:ykxb相交于点Ａ,点A的横坐标为３，31∣ＯB∣。 21|ＯB|．即OＢ=10,且点B位于y轴上,即得Ｂ（0,－10); 2，b=-1０；ﻫ即直线l2的解析式为
将Ａ、B两点坐标代入直线l2中,得4=3k＋ｂ;-１0=b；解之得，k＝y=
x-10；
（２)根据题意，ﻫ设平移后的直线ｌ1的解析式为y=ﻫ平移后的直线l１的直线方程为y=
,即点D(
）;
x+m，代入（-３，0），可得:-４+m=0，解得：m=4，
，
；即点C的坐标为(0,4)；ﻫ联立线ｌ2的直线方程,解得ｘ=
又点B（0，-1０)，如图所示:故△BCＤ的面积Ｓ=
1×2×１4＝．
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7.正方形ＡＢCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，０）。
①直线y=＼f（4,3） ｘ - ＼f(8,3）经过点C，且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积; ②若直线l经过点E且将正方形AＢCD分成面积相等的两部分求直线l的解析式，
0且与直线ｙ=３x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移③若直线l1经过点F，322个单位交x轴于点3M,交直线l1于点N,求NMF的面积.
解:（1)在y=令y=4，即
ｘｘ
中, x=４,
解得：ｘ=5,则Ｂ的坐标是（５,０）; 令y=0,即
ｘ
＝0,ﻫ解得:x=２，则E的坐标是（2，0）．ﻫ则OB=5，OE＝2,ＢE=OB-OＡ=5-2=3，ﻫ∴
AE=AＢ-BE＝4-3＝１， 四边形AECD=11（AＥ+CD)•AD＝（4+１）×4=10； 22
(2)经过点E且将正方形AＢCＤ分成面积相等的两部分，则直线与ＣD的交点Ｆ，必有CF=AE=１，则F的坐标是(4,４）．
设直线的解析式是ｙ＝kx＋b，则 ，ﻫ解得:．
则直线l的解析式是:y=2ｘ-4；ﻫ （3)∵直线ｌ1经过点F(-，０)且与直线ｙ=3ｘ平行,
设直线11的解析式是y1=ｋx+b， 则：k=3，ﻫ代入得：0=３×(-解得:b=y=２x－4+
,ﻫ∴y1=3x+，
)＋ｂ,
个单位,则所得的直线的解析式是
，ﻫ已知将（2)中直线l沿着ｙ轴向上平移
--
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即：ｙ=2x-3-19）, Ｓ△ＮＭＦ=
，ﻫ当y＝0时，x=,ﻫ∴M(,0),ﻫ解方程组得：,ﻫ即:Ｎ（-7，
1×［2-(-）]×｜－19|=.ﻫ答：△ＮＭＦ的面积是.
８．如图,已知△ABC的面积为3，且AB＝AC,现将△ABC沿CA方向平移CＡ长度得到△EFA． ①求四边形CＥFB的面积;
②试判断AF与BE的位置关系，并说明理由; ③若BEC15,求AC的长．
解:（1）由平移的性质得ﻫＡF∥ＢC，且AＦ＝BC,△EFＡ≌△AＢC ∴四边形AFBC为平行四边形ﻫS△ＥＦＡ=S△BＡＦ=Ｓ△ABＣ＝３ﻫ∴四边形EFBC的面积为9;ﻫ (２)BE⊥AＦﻫ证明：由（１)知四边形ＡＦBC为平行四边形∴BF∥AC,且BＦ=AＣ 又∵ＡE=CＡ∴四边形EFＢA为平行四边形又已知AB=AC∴ＡＢ=ＡE∴平行四边形ＥFＢA为菱形∴ＢE⊥AＦ；ﻫ （3）如上图,作ＢD⊥ＡC于D∵∠ＢEC＝15°,AE=ＡB∴∠EBA＝∠BEC=15°∴∠BAＣ=2∠BEC=30°ﻫ∴在Rt△BAD中,AB=２BD设BD＝x,则AＣ=AB=２xﻫ∵S△ABC=３,且S△ＡＢC=∴ｘ2＝3∵x为正数∴x=∴AＣ=２． 11AC•BD＝•2x•x=ｘ222
9.已知如图，直线y3x43与x轴相交于点A，与直线y3x相交于点P.
①求点P的坐标．
②请判断OPA的形状并说明理由．
③动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着O→Ｐ→A的路线向点Ａ匀速运动(E不与点O、A重合），过点E分别作ＥF⊥x轴于Ｆ,EB⊥y轴于B．设运动ｔ秒时,矩形EBＯF与△OPＡ重叠部分的面积为Ｓ.求： S与ｔ之间的函数关系式．
试题分析：(１）由两直线相交可列出方程组,求出P点坐标;ﻫ(2)将ｙ=0代入y=﹣＝4,作PD⊥OＡ于D，则OD=２,PＤ＝２
,利用tａn∠POＡ=
x＋４
,可求出OＡ
，可知∠POA=６0°,由OＰ=４.可知△
POA是等边三角形；ﻫ(3)①当0<ｔ≤4时，在Rｔ△EOF中，∠EOF=6０°,OＥ＝t,可以求出EF,OＦ,从而得到S；
②分情况讨论当0△PＯA是等边三角形.理由：ﻫ将代入
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y ，∴
,即OA＝4
P 作PD⊥ＯA于D，则OD＝２，ＰD=2∵ OＰ=
,ﻫ∵ tａn∠ＰOA＝
E POＡ=6０°, ，∴∠B O F A x ∴△POA是等边三角形 ；
(2）① 当0在Rt△EＯF中，ﻫ∵∠EＯF=６０°,OE=t∴ＥF=时,如图2ﻫ ｔ,OF=11t ∴S=·ＯF·ＥF=22 ﻫ当４， t=4时,Ｓ最大=２3ﻫ当４＋4t-8＝-（t-
)+ ﻫt=时，Ｓ最大=∵>２，∴当t=时，S最大=
10.如图，直线ＯC、BC的函数关系式分别是ｙ1＝x和ｙ2=-2ｘ＋6，动点Ｐ（x，０）在OB上运动(0<ｘ<３)，过点P作直线m与x轴垂直.
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（１）求点Ｃ的坐标,并回答当x取何值时y1>y２?
(2)设△CＯＢ中位于直线m左侧部分的面积为s,求出ｓ与ｘ之间函数关系式. (3）当ｘ为何值时,直线ｍ平分△COB的面积?
分析:(１）由于C是直线ＯC、ＢＣ的交点,根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标可以求出当x取何值时y1＞y2；ﻫ（2)此小题有两种情况：①当0＜x≤2,此时直线ｍ左侧部分是△PQO,由于P（x,0)在OB上运动，所以PQ,OＰ都可以用ｘ表示,所以s与x之间函数关系式即可求出;②当2<ｘ＜３，此时直线m左侧部分是四边形ＯＰＱC，可以先求出右边的△PQＢ的面积，然后即可求出左边的面积,而△PQO的面积可以和①一样的方法求出;ﻫ（3）利用(２）中的解析式即可求出ｘ为何值时，直线ｍ平分△COＢ的面积.
简解:（1）解方程组得
∴C点坐标为(2,2); 当ｘ>2时,ｙ１>y22(ﻫ）作ＣD⊥ｘ轴于点Ｄ,则D(2，０）．ﻫ①s=②s=-x+6x-6(2＜x<3）； (3)直线m平分△ＡOB的面积，则点P只能在线段OＤ，即0＜ｘ＜2． 又△COB的面积等于3，故
２
12
x(011.已知正方形AＢCD。（1）如图１，Ｅ是ＡD上一点，过ＢE上一点O作BE的垂线,交AB于点G，交ＣD于点Ｈ,求证:BE＝GH； （２）如图2,过正方形ＡBCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交ＡD、BC于点E、F，交AＢ、ＣＤ于点G、H,ＥF与ＧH相等吗？请写出你的结论;
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(３)当点O在正方形AＢＣD的边上或外部时,过点Ｏ作两条互相垂直的直线,被正方形相对的两边(或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示,过正方形AＢCD外一点O作互相垂直的两条直线m、ｎ，ｍ与AD、ＢC的延长线分别交于点Ｅ、F，n与AB、ＤC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。 解答：
(1）证明:在图1中，过点Ａ作GH的平行线，交ＤC于点Ｈ′，交ＢE于点O＇.ﻫ∵ABCD是正方形，
∴∠Ｄ=90°，∠H′ＡＤ+∠AH′Ｄ=９0°. ∵GH⊥BE,AH′∥ＧＨ,∴AＨ′⊥BＥ.∴∠H′
AD＋∠ＢEA=90°．∴∠BEＡ＝∠ＡH′Ｄ．ﻫ在△BAE和△ADＨ′中,△AＤH′(ＡＡS),∴BE=AH′＝GH；
，∴△BAE≌
ﻫ（２）解:EF=ＧH,理由如下：过E作EM⊥BC,过G作GN⊥CＤ，
∴∠EMF=∠GNH=9０°,又GH⊥EF，∴∠ＥOG=∠GOF=９0°,ﻫ∴∠MEF+∠EQG＝90°,∠NＧＨ＋∠EＱＧ=9０°，∴∠ＭEF＝∠ＮGH，又GＮ=ＥM,ﻫ∴△EMF≌△ＧNH，∴ＥＦ=GH； (3）解:相等．
证明：在图3中，过点Ａ作m的平行线交BC于点Ｆ′,过点D作ｎ的平行线交AＢ于点Ｇ′． 则有EＦ=AF′,Ｇ′D=GＨ，
由(1）可知,Ｒｔ△AＢF′≌Ｒt△DAG′,ﻫ∴AF′=DG′. 从而可证明ＥF=ＧＨ．
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