2013年天津高考数学试题及答案(理科)

2013年天津高考数学试题及答案 (理科)

一、选择题

1． 已知集合A＝{x∈||x|≤2}，B＝{x∈|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1，2] C．[－2，2] D．[－2，1]

1．D [解析] A∩B＝{x∈|－2≤x≤2}∩{x∈|x≤1}＝{x∈|－2≤x≤1}．

3x＋y－6≥0，

2． 设变量x，y满足约束条件x－y－2≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为( )

y－3≤0，A．－7 B．－4 C．1 D．2

2．A [解析] 作出可行域，如图阴影部分．

y＝3，联立解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z

x－y－2＝0，

＝3－2×5＝－7.

3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S

的值为( )

图1－1

A． B．73 C．512 D．585

3．B [解析] 当x＝1时，S＝0＋1＝1；当x＝2时，S＝1＋23＝9；当x＝4时，S＝9＋43＝73满足题意输出．

第1页

4． 已知下列三个命题：

11

①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；

28②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 1

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

2其中真命题的序号是( ) A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

4

4．C [解析] 由球的体积公式V＝πR3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反

3映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为＝

2

＝r，即直线与圆相切，③正确． 2

x2y2

5．， 已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别

ab交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )

3

A．1 B. C．2 D．3

2

a2＋b2cb

5．C [解析] 双曲线的离心率e＝＝＝2，解得＝3，联立

aaabppbpb

＝.又因为S△OAB＝×＝3，将＝3代入解得p＝2. 2a22aa

π

6． 在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )

4A.1010 B. 105

|0＋0＋1|1＋1



p得yx＝－2，

by＝－x，

a

3105C. D.

105

6．C [解析] 由余弦定理得AC2＝2＋9－2×3×2×得

35

＝，

sin ∠BAC2

23 10

解得sin ∠BAC＝.

10

7． 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

xx2log x－1，07．B [解析] f(x)＝2|log0.5 x|－1＝＝x x

－2log 0.5 x－1，x>12log2 x－1，x>1.

2

＝5，即AC＝5，由正弦定理2

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∵f(x)＝－2xlog2x－1在(0，1]上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2xlog2x－1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．

11

8． 已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x的不等式f(x＋a)22则实数a的取值范围是( )

1－5A.，0

21－3B.，0

2

1－51＋3C.，0∪0， 221－5D．－∞， 2

8．A [解析] 方法一：排除法：当x＝0时，由f(x＋a)－1f(x

23511

＋a)可解得－4422

方法二：直接分类：

11

易知a<0，f(x＋a)是把f(x)向右平移，且f(x)为奇函数，要使－，⊆A，只要使f(x)与f(x

221

＋a)最左边的交点横坐标小于－即可，

2

1－a2

在x<0时，f(x)＝－ax＋x，f(x＋a)＝－a(x＋a)＋x＋a，令f(x)＝f(x＋a)，则x＝，2a

2

2

1－a211－5令<，可得a2＋a－1<0，故2a22

9． 已知a，b∈，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 9．1＋2i [解析] (a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，

a－1＝0，∴解得a＝1，b＝2.故a＋bi＝1＋2i. a＋1＝b，

10． x－

16

的二项展开式中的常数项为________． x6－k

Tk＋1＝Ck6x

10．15 [解析] 由二项式的展开式得＝0，解之得k＝4，T5＝(－1)4C46＝15.

－1＝(－1)kCkx6－3k，令6－3k

6

22x

k

π

11． 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为4，，则|CP|＝

3________.

11．2 3 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C的直角坐标为(2，0)．∵Pπ224，，点极坐标∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP|＝（2－2）＋（0－2 3）＝2 3. 3第3页

→→

12． 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长为________．

1→→→→1→→→1→→→→

12. [解析] 由题意得BE＝AE－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB，AC＝AD＋AB，所以2221→21→1→→→→→1→→21→21→→→

AD－AB＝AD－AB＋AD·AC·BE＝(AD＋AB)AB＝1－AB＋|AB|×1×＝1，解得|AB|2222221

＝或0(舍去)． 2

13． 如图1－2所示，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．

图1－2

8

13. [解析] 由切割线定理可得EA2＝EB·ED，有EB＝4，ED＝9. 3

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB，

由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC， 所以四边形AEBC是平行四边形，可得BC＝AE＝6，又由平行线分线段成比例定理可BFBD108得＝，因为AE＝6，所以BF＝，故CF＝BC－BF＝. AEDE33

1|a|

14． 设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．

2|a|b14．－2 [解析]

1|a|a＋b|a|ab|a|a＋＝＋＝＋＋≥＋2 2|a|b4|a|b4|a|4|a|b4|a|

b|a|13

×≥－＋1＝，4|a|b44

b|a|

当且仅当＝时，等号成立．联立a＋b＝2，b>0，a<0.可解得a＝－2.

4|a|b

π

15．， 已知函数f(x)＝－2sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈

4(1)求f(x)的最小正周期；

π

(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．

2

ππ

15．解：(1)f(x)＝－2sin 2x·cos－2cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2

44π

2sin2x－.

4

2π

所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

3π3ππ3π

(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2 2，

8828

第4页

ππ

f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2 2，最小值为－2. 22

16．， 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．

(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

322C12C5＋C2C5

16．解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝

C47

6

＝. 7

6

所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为. 7(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.

C31C34C32C343456P(X＝1)＝4＝，P(X＝2)＝4＝，P(X＝3)＝4＝，P(X＝4)＝4＝.

C735C735C77C77所以随机变量X的分布列是

X P 1 1 352 4 353 2 74 4 7142417

随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

3535775

17．，， 如图1－3所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，

AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明：B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；

(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长．

2

.求线段AM6

图1－1

17．解：方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．

第5页

→→→→

(1)证明：易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，于是B1C1·CE＝0，所以B1C1⊥CE. →

(2)B1C＝(1，－2，－1)，

设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，

→B1C＝0，·x－2y－z＝0，则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量

→－x＋y－z＝0，CE＝0，m·为＝(－3，－2，1)．

→

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故B1C1＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

→

－4m·B1C12 721→→

于是cos〈，B1C1〉＝＝＝－，从而sin〈，B1C1〉＝. 77→14×2|m|·|B1C1|所以二面角B1－CE－C1的正弦值为21

. 7

→→→→→→(3)AE＝(0，1，0)，EC1＝(1，1，1)．设EM＝λEC1＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE＋→→

EM＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB＝(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量．

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 →→|AM·AB|→→

sin θ＝|cos〈AM，AB〉|＝＝

→→|AM|·|AB|2λλ＝.

λ2＋（λ＋1）2＋λ2×23λ2＋2λ＋1

λ21

＝，解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝2. 2633λ＋2λ＋1

方法二：(1)证明：因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1， 于是

B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝5，B1C1＝2，EC1＝3，从

2

而B1E2＝B1C21＋EC1，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E.又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.

第6页

(2)过B1 作B1G⊥CE于点G，联结C1G.由(1)，B1C1⊥CE.故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝3，2 221

CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin∠B1GC1＝，即二面角337B1－CE－C1的正弦值为

21. 7

(3)联结D1E, 过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，联结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．

设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝

234x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，66

1

ED1＝2，得EH＝2MH＝x.在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，由AH2＝AE2＋EH2－

31712

2AE·EHcos 135°，得x2＝1＋x2＋x.

13

整理得5x2－2 2x－6＝0，解得x＝2(负值舍去)，所以线段AM的长为2.

x2y23

18．， 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直

ab34 3

线被椭圆截得的线段长为. 3

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，→→→→若AC·DB＋AD·CB＝8，求k的值．

c3

18．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝3c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，

a3（－c）2y26b2 6b4 3

代入椭圆的方程有＋2＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝2. 2ab333又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1， x2y2

所以所求椭圆的方程为＋＝1.

32

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)． y＝k（x＋1），22

由方程组xy消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，

3＋2＝1，3k2－66k2

可得x1＋x2＝－，xx＝.

2＋3k2122＋3k2因为A(－3，0)，B(3，0)，

→→→→所以AC·DB＋AD·CB＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(3－x1，－y1)

第7页

＝6－2x1x2－2y1y2

＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 2k2＋12＝6＋. 2＋3k22k2＋12

由已知得6＋＝8，解得k＝±2.

2＋3k23

19． 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈*)，且S3＋a3，．2S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设Tn＝Sn－(n∈*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

Sn

19．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所a51

以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1

a343131－－3＝，所以q＝－，故等比数列{an}的通项公式为an＝×－n1＝(－1)n1·n. 22222

1

1＋n，n为奇数，21n(2)由(1)得Sn＝1－－＝

21

1－n，n为偶数.2



31132

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以12SnS1235

. 6

31134

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝

4SnS2437

－. 12

715

综上，对于n∈*，总有－≤Sn－≤. 12Sn6

57

所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.

61220． 已知函数f(x)＝x2ln x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；

2ln g（t）1

(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)．证明：当t>e2时，有<<. 5ln t220．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

1. e第8页

x f′(x) f(x) 0，1 e 1 e0 极小值 11

，单调递增区间是，＋∞. ee

1，＋∞ e＋ － 所以函数f(x)的单调递减区间是0，(2)证明：当00， 令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

ln g（t）ln sln s

(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s>1，从而＝＝ln tln f（s）ln（s2ln s）＝

ln su

＝，

2ln s＋ln ln s2u＋ln u其中u＝ln s.

2ln g（t）1u要使<<成立，只需0当t>e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾． 所以s>e，即u>1，从而ln u>0成立．

u11

另一方面，令F(u)＝ln u－，u>1.F′(u)＝－，令F′(u)＝0，得u＝2.当10；

2u2u

当u>2时．F′(u)<0，故对u>1，F(u)≤F(2)<0，因此ln u<成立．

2

2ln g（t）1

综上，当t>e2时，有<<.

5ln t2

第9页