b5 D.a6>b62.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6的值为( ). A.±4 B.-4 C.4 D.无法确定
3.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,黑、白两只蚂蚁均从点A出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→D1C1→„,黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→B1C1→„,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为正整数),设黑、白蚂蚁都爬完2 012段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为( ). A.1 B. C. D.0
4.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于( ). A.24 B.32 C.48 D.
5.(2011湖北高考,文10)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的( ). A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
6.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( ). A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天 二、填空题
7.定义运算:=ad-bc,若数列{an}满足=1且=12(n∈N*),则a3= ,数列{an}的通项公式为an= . 8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m= .
9.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是 . 三、解答题
10.某人有人民币1万元,若存入银行,年利率为6%;若购买某种股票,年分红24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.
(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等? (2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精确到整年)
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.06≈0.025 3)
11.已知函数f(x)=m·2x+t的图象经过点A(1,1),B(2,3)及C(n,Sn),Sn为数列{an}的前n项和. (1)求an及Sn;
(2)若数列{cn}满足cn=6nan-n,求数列{cn}的前n项和Tn.
12.(2011江西高考,文21)(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值. (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. ## 参
一、选择题
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C
6.B 解析:由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.
设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=++,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B.
二、填空题 7.10 4n-2 8.10 9.d≤-2或d≥2
解析:由S5S6+15=0,得·+15=0. 整理可得2+9a1d+10d2+1=0. ∵a1,d为实数,
∴Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0,解得d≤-2或d≥2. 三、解答题
10.解:设该人将1万元购买股票,x年后所得的总红利为y万元, 则y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%)2+„+24%(1+6%)x-1 =24%(1+1.06+1.062+„+1.06x-1)=4(1.06x-1). (1)由题意,得4(1.06x-1)=1,
∴1.06x=.
两边取常用对数,得 xlg 1.06=lg=1-3lg 2. ∴x=≈≈4.
(2)由题意,得4(1.06x-1)=(1+6%)x,∴1.06x=.解得x≈5. 答:(1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等;(2)经过大约5年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等.
11.解:(1)∵函数f(x)=m·2x+t的图象经过点A(1,1),B(2,3), 则解得 ∴f(x)=2x-1,
即Sn=2n-1,可得an=2n-1. (2)∵cn=3n·2n-n, ∴Tn=c1+c2+„+cn
=3(2+2·22+3·23+„+n·2n)-(1+2+„+n). 令S'n=1·2+2·22+3·23+„+n·2n,①
2S'n=1·22+2·23+3·24+„+(n-1)·2n+n·2n+1,② ①-②得-S'n=2+22+23+„+2n-n·2n+1, ∴S'n=(n-1)2n+1+2, Tn=3·(n-1)·2n+1+6-.
12.解:(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2. 由b1,b2,b3成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即aq2-4aq+3a-1=0.
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根. 再由{an}唯一,知方程必有一根为0,将q=0代入方程得a=. (2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0 的等差数列.设{an}的公比为q1,{bn}的公比为q2,
则b2-a2=b1q2-a1q1, b3-a3=b1-a1, b4-a4=b1-a1,
由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差数列得
即
①×q2-②得a1(q1-q2)(q1-1)2=0, 由a1≠0得q1=q2或q1=1.
(ⅰ)当q1=q2时,由①,②得b1=a1或q1=q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0与公差不为0矛盾;
(ⅱ)当q1=1时,由①,②得b1=0或q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0与公差不为0矛盾.
综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列.
