选修2-1教学指导

常用逻辑用语（约8课时）

一、知识要求及变化 1、整体定位

根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握常用逻辑用语的要求，首先需要明确整体定位。标准对常用逻辑用语这部分内容的整体定位如下：

“正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。”

为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题： （1）“常用逻辑用语”和“简易逻辑”存在定位上的区别

“常用逻辑用语”的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好的理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，避免在使用过程中产生错误。高中数学课程中，学“常用逻辑用语”不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，这与“简易逻辑”的目标不同，这一点需要老师们特别注意。

（2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向

常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用。事实上，在高中阶段，没有必要形式的理解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义。重点是理解常用逻辑用语在认识和表达数学中的作用。

（3）“常用逻辑用语”的学习重在使用

对于“常用逻辑用语”的学习，不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后继的数学学习中。因此，“常用逻辑用语”的学习重在使用，在使用中不断地加深对于常用逻辑用语的认识。

2、课程标准的要求 （1）命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

（2）简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解逻辑联结词：“或”“且”“非”的含义。 （3）全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。

1

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

《标准》对“常用逻辑用语”的要求，既是阶段性要求也是终结性要求，正确的使用常用逻辑用语，不仅是学习这一部分内容的要求，而且还需要在今后的学习中，通过不断的正确使用常用逻辑用语，加深对常用逻辑用语的认识。

有兴趣选修 “开关电路与布尔代数”的同学还会接触到有关命题的一些知识，了解“命题演算”是布尔代数的一个具体模型。

3、课程标准要求的具体化和深广度分析

（1）如何认识“命题”的含义

对命题的认识我们不从一般的定义出发，而是通过实例了解“命题”，这些实例都能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，并且能判断真假。

例如：

①若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形。 ②三角形内角和等于１８００。 ③x>3.

①明确的给出了条件和结论，并能判断真假。②虽然没有明确的给出条件和结论，但是能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，即如果三个角是一个三角形的内角，则这三个角的和等于１８００。③不能判断真假，所以它不是一个命题。

（2）如何认识“了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”以及“会分析四种命题的相互关系”的含义

“了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”是指：

对给定的具体命题，可以写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并可以判断出它们的真假。

“会分析四种命题的相互关系”主要包括两部分内容：

第一，通过实例的分析，总结出表示四种命题之间的基本关系的图示。

2

第二，知道原命题与其逆否命题是同真同假的，原命题的逆命题与原命题的否命题是同真同假的，通常我们说他们是相互等价的。

（3）如何认识“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义” 可以从以下两个方面来把握标准的要求：

第一、通过对具体实例中条件之间的关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义。

例如，通过分析下列条件p与q之间的关系，来理解必要条件的意义。

p：四边形是正方形，q ：对角线相互垂直平分。

分析：“若四边形是正方形，则对角线相互垂直平分”是一个真命题，它可以写成 “四边形是正方形” “对角线相互垂直平分”

即p q。

总结：“若p则q ”为真命题是指：当p成立，q一定成立。换句话说，p成立时一定

有q 成立，即p  q ，这时，我们就说q是p的必要条件。 p q 可以理解为一旦p成立，q 必须要成立，即q对于p成立是必要的。也就是说，

只要p成立，必须具备条件q。

第二，通过具体实例理解充分条件、必要条件和充要条件在解决和思考数学问题中的作用。

在数学中，寻求充分条件是一件很重要的事情。特别是在引入新的数学对象后，常常需要判断一个对象是不是我们引入的新对象。

例如：

①在引入平行四边形后，就需要寻找判定一个图形是不是平行四边形的条件，一组

对边平行且相等就是判定一个四边形是平行四边形的充分条件。用命题形式表达就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

②在引入方程的解的概念后，需要寻找判定方程有解的条件。像这些条件都是充分

3

条件。对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，f(a) f(b)<0就是判定方程f(x)=0在区间[a,b]内有解的充分条件。用命题形式表达就是：对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，若f(a) f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]内有解。

通常我们把上面的命题称之为判定定理。判定定理中的条件是给出判定一个事物的充分条件。

寻求必要条件也是数学中一件很重要的事情。在数学中，常常要确定一个对象的某些性质。特别是在引入新的数学对象后，常常需要研究这个对象具有什么性质。

例如：

①在引入平行四边形后，就需要研究平行四边形所具有的性质；对角线互相平分是

平行四边形的一个性质。用命题形式表达就是：平行四边形的对角线互相平分；

②在引入连续函数的概念后，就需要研究连续函数的性质等。有界、取到最大最小

值等是闭区间上连续函数的性质。用命题形式表达就是：闭区间上的连续函数有界、取到最大值和最小值。

通常我们把上面的命题称之为性质定理。性质定理中的性质是给出判定一个事物的必要条件，当然，它仅仅是从某些方面反映了事物的特征。因此，必要条件可用来区别一个事物与另一个事物。

在数学上，找到一个“事物”的充分必要条件是特别重要的一件事情，它可以帮助我们从不同的角度，全面地反映同一个“事物”的面貌。在历史上有很多非常重要的充分必要条件的结果。

例如：

①勾股定理。

勾股定理中的“a2b2c2”是直角三角形的充分必要条件，有了这个条件，我

们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形。

②两条直线垂直的充要条件。

两条直线的方向向量的数量积等于零是两条直线垂直的充分必要条件，有了这个条

件，我们就可以利用向量的代数运算来研究几何中的垂直问题。

③一元二次方程有解的充分必要条件。

判别式 b4ac0 是一元二次方程axbxc0(a0)有解的充分必

要条件，有了这个条件，我们就可以定性地研究一元二次方程的解。

一个事物的充分必要条件会给我们讨论问题带来很大的方便，给我们提供了全面刻画事物的另外一个角度，甚至可以帮助我们开拓新的研究方向。

（4）如何认识“通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”的含义” 可以从以下五个方面来把握标准的要求：

第一，认识逻辑联结词“或”、“且”、“非”是构造新命题的逻辑用语，利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结具体命题来构造新命题，通过分析这样构造出的新命题的真假，来理解“或”、“且”、“非”的含义。

例如：对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断新命题的真假。

（1）p：12是3的倍数，q：12是4的倍数； （2）p：π＞3，q：π＜2。

4

22分析：

由（1）可得新命题：“12是3的倍数且12也是4的倍数”； 由（2）可得新命题：“π大于3且π小于2”。 在得出的新命题中，“12是3的倍数且12也是4的倍数”是真命题，“π大于3且π小于2”是假命题。

概括：

从上述例子可以看出，可以用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”。当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”就是真命题；当两个命题p和q之中，至少有一个命题是假命题时，新命题“p且q”就是假命题。

第二，了解在数学中也可以用逻辑连接词“且”与“或”联结一些“条件”，形成一个新的条件。

例如：“x3”且“x5”表示的是“3x5” ； “x0”或“x5”表示的是“或者x0，或者x5” 。

第三，只要求用“或”、“且”把两个命题合成一个命题，不要求要把一个“复合”命题进行“分解”。

例如：“高一一班全体同学考试合格”，这是一个非常明了的命题，实在没有必要说成“高一一班的张三考试合格且李四同学合格、且„”。

第四，“非”的含义就是对“命题的否定”。标准不要求一般的讨论“命题的否定”，而要求通过具体的实例体会“命题的否定”的含义。标准只要求能正确地对“含有一个量词的命题”进行否定。

例如：

①所有的正方形都是矩形；该命题的否定是：存在一个正方形不是矩形。显然原命题是真命题，其否定是假命题。

②所有的一元二次方程都有实数解；该命题的否定是：存在一个一元二次方程没有实数解。显然原命题是假命题，其否定是真命题。

③至少存在一个锐角使得sin=sin

第五，通过一些具体的实例来理解命题否定的作用。 命题的否定常常可以帮助我们证明一些结论。

例如：在②中，为了说明原命题是假命题，只需要找到一个无实数解的一元二次方程即可。这就帮助我们证明了原来的命题是错误的。这是数学中常用的一种思考和解决问题的方式。

（5）如何理解新增内容——“量词”的要求

第一，结合具体命题来理解全称量词、存在量词的意义，了解全称量词和存在量词在日常生活和数学中的各种表达形式。

例如：可以结合下面的具体命题来理解全称量词的意义。

5

12；该命题的否定是：每一个锐角都使得

12。显然原命题是真命题，其否定是假命题。

(1)所有正方形都是矩形；

(2)每一个有理数都能写成分数的形式； (3)一切三角形的内角和都等于1800

(4)有些三角形是直角三角形；

(5)如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数； (6)存在一个实数x，使得x2+x-1=0

在以上命题的条件中，“所有”、“每一个”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词;“有些”、“至少有一个”“存在”等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词。

通常，全程量词的表达形式有“所有”、“每一个”、“一切”“任何一个”“任意一个”等，存在量词的表达形式有“有些”、“至少有一个”“存在”“有一个”、“至少”等。

第二，通过生活和数学中的丰富实例，体会“量词”在数学中和日常生活中的作用。 全称量词、存在量词是数学中和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语。大量的数学命题都要使用这样的逻辑用语。

例如，每一个等腰三角形的两个底角相等，过直线外一点存在唯一的一条直线与该直线平行，就使用了全称量词和存在量词。

在大学的学习中，对数列极限的概念的刻画，就需要多次使用全称量词和存在量词。对于每一个数列{an}，如果存在一个常数A ，对于任意（所有）的0，存在一个N ，对任意（所有）的n（n>N），都有anA ，则称A为数列{an}的极限。在日常生活中，这样的例子也很多。

第三，标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题。不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题。对于命题的否定，只要求对含有一个量词的命题进行否定。

例如，对于北京市任何一所高中，都至少有一个学生能跳过1米5的高度。 在这个命题中，有两个量词“任何一所”、“至少有一个”，对于这样的命题，不要求学生理解和掌握，也不要求对这样的命题进行否定。

6

4．教学要求

（1）标准与大纲要求的对比与说明 内容 命题及其关系 《标准》目标表述 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题. ② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系. 简单的逻辑联结词 全称量词与存通过数学实例，了解逻辑联结词理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”“或”“且”“非”的含义. ① 通过生活和数学中的丰富实例， 理解全称量词与存在量词的意义. 的含义. 《大纲》目标表述 掌握充要条件的意义，理解四种命题及其相互关系. 在量词 ② 能正确地对含有一个量词的命 题进行否定.

在具体内容的要求上，标准与大纲有明显的区别。

①标准中这部分内容是选修内容，大纲要求为必修内容。但大纲与标准对文理科的要求都是相同的。

②大纲中要求的“两个理解”、一个“掌握”在标准中分别变为“通过数学实例了解”、“会分析”和“理解”。从知识要求上来看标准要求较大纲低了一些，具体的要求参照前面的论述。

③与大纲相比，标准新增了“全称量词与存在量词”。具体的要求参照前面的论述。

（2）教学要求 1）基本要求

①突出实例，淡化形式

在本部分内容的教学中，要通过具体实例来帮助学生按标准要求了解或理解常用逻辑

用语，并学会正确使用逻辑用语，避免形式化的讨论。因为本部分内容不是为逻辑学和数学逻辑奠定基础，而是学习正确的使用逻辑用语来清晰的表达数学内容。

例如，对于一个具体命题，理解它的否定命题的真假并不难。但是，对于一般形式的

命题“若p则q”，认识这个命题否定的含义就比较困难，因此不要求形式的讨论这类问题。

7

②注重联系，强调数学本质

在这部分内容的教学中，应以学生已经学过的数学内容为载体，帮助学生学会正确的

使用逻辑用语，加深对已学过的数学知识之间的逻辑联系和数学本质的认识。

例如，在充要条件的教学中，可以勾股定理和直线斜率的刻画为具体实例。

勾股定理反映了三角形三边之间的一种特殊关系。这种特殊关系是刻画直角三角形

的一个充分必要条件，有了这个条件，我们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形。

两条直线的方向向量的数量积等于零是刻画两条直线垂直的充分必要条件，有了这

个条件，我们就可以利用向量的代数运算来研究几何中的垂直问题。

③重视使用

在今后教学过程中，要结合具体数学内容不断的使用常用逻辑用语，加深对相关数学

内容的认识。

例如，在用导数研究函数单调性时，有这样的结果：

一个函数在其定义域内，如果每一点的导数都大于零,则该函数为增函数。 由上述结论可以知道“每一点导数大于零”是“函数为增函数”的一个充分条件。所

以上述结论可以作为一个判定函数单调性的定理。那么，“每一点导数大于零”是否是“函数为增函数”的必要条件？

以函数y=x为例。我们知道函数y=x是增函数，是否能保证“每一点导数大于零”？

这是一个含有全称量词的命题。但是，我们知道y=x3在x=0处的导数等于零。这说明“函数为增函数”无法保证“每一点导数大于零”。即“每一点导数大于零”只是“函数为增函数”的充分条件，而不是必要条件。这个例子也说明了，如何对含有全称量词的命题进行否定。

2）某些具体内容的教学要求 ①命题及其关系的教学

第一、对于“命题以及命题的逆命题、否命题、逆否命题”的教学要从具体实例出发，不要形式化的讨论。

例如：已知命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m =0有实数根”,试写出它的逆命题、否命题和逆否命题,并分别判断它们的真假。

第二、这部分教学的重点应放在“充分条件、必要条件、充要条件的理解”上，对于“充分条件、必要条件、充要条件”的教学要求应该参照前面的具体要求与深广

3

3

8

度分析中的相关部分。 例如， xy1 的一个充分不必要条件是 [ ]？

x0

A、xy B、xy0 C、xy D、y例如，下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ ①若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； ②若ab③若b④若x0，则a0；

02，则函数f(x)ax2bxc是偶函数； ，则x33x.

在教学中，应该注意在讨论“充分条件、必要条件、充要条件”时，首先应该考虑命题是否是真命题。上述例子②中，“若ab需要判断 “若a0，则ab0，则a0”不是真命题，这时，我们

是不是真命题。由于它是真命题，所以ab0是a00”

的必要条件。因此我们不要去形式的讨论“若p则q”这种命题的充分条件和必要条件。

②简单的逻辑联结词的教学

第一、对于简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的教学，也要通过具体实例，帮助

学生了解它们的含义。

例如:

a)p：2是无理数，q：2大于1，写出“p且q”，“p或q”，“非p”的形式，并

判断他们的真假。

b)用p：

21xx20表示实数满足的条件，用q：

21xx20表示实数满足的

另一个条件。“非p”是否等于q？

显然，x=2不满足条件p，也不满足条件q。由于x=2不满足条件p，所以x=2满足条

件“非p”。因此，“非p”不等于q。

这个例子有助于理解“条件”（命题）的“非”。在对“非”的学习中，最基本的性质

是“条件”（命题）和“条件”（命题）的“非”，不能同时成立。在教学中，要注意一个条件（命题）和这个条件（命题）所确定的集合是不同的概念。

第二、教学中只要求用这些逻辑联结词作“合成”，不要求对复合命题“分解”。 ③全称量词与存在量词的教学

9

第一、量词的教学也需要通过实例，帮助学生理解全称量词与存在量词的意义。 第二、教学中只要求理解和掌握含有一个量词的命题，对于含有量词的命题的否定，

也只要求对含有一个量词的命题进行否定。

例如：对于给定命题“所有能被3 整除的整数都是奇数”，写出它的否定命题。 学生有如下的解答：

①存在一个能被3 整除的整数不是奇数。

②有些能被3 整除的整数不是奇数。 ③有些能被3 整除的整数是偶数。 ④所有能被3 整除的数不都是奇数。 ⑤并非所有能被3 整除的整数都是奇数。

这些解答都是正确的、本质上是一致的。有的老师在教学中，要求学生写出几种不同的解答形式，这是不必要的。

也有同学解答为：所有能被3 整除的数都不是奇数。这个解答是错误的。

二、重点和难点

1．重、难点的分析

（1）充分条件、必要条件与充要条件的意义

“命题的充分条件、必要条件、充要条件”是教学中的一个重点内容。根据学生学习的实际情况，许多学生对充分、必要及充要条件意义的理解还存在困难，所以“正确进行充分条件、必要条件、充要条件的判断”是本部分内容的一个难点。

判断“充分条件、必要条件、充要条件”的前提，是判断一个给定命题是否是真命题，解决这个问题关键是需要结合实例学习，在不断使用的实践中，加深认识和发展能力，而不是形式上的记忆，因此，讲“充分条件、必要条件、充要条件”一旦脱离实际就失去意义了。

（2）全称量词与存在量词的含义及对含有一个量词的命题进行否定

“全称量词与存在量词的含义及对含有一个量词的命题进行否定”是教学的重点。“对含有一个量词的命题进行否定”是教学的难点。

（3）逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义 “或”、“且”、“非”的含义是教学的难点。

２．重、难点教学案例

案例１ “且”的含义的教学片段

教师：请大家思考下列三个命题有什么关系？

10

① 2是偶数；②2是质数；③2是偶数且2是质数. 思考、讨论后，

学生A：命题③是命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题。 教师：大家还能举出类似命题③这样的命题吗？ 学生B：正方形是平行四边形且正方形是矩形； 学生C：2是6的约数且3是6的约数； „„„„„

教师：以上大家举出的这些命题都有什么共同的特点？ （学生思考、讨论。教师视具体情况适当点拨）

学生D：它们都是用联结词“且”把两个命题联结起来得到的新命题。

教师：很好！我们就把用联结词“且”把两个命题p、q联结起来得到的新命题记作“p且q”. 教师：“2是偶数且2是质数”这个命题大家很容易就判断出它是真命题。下面大家再来看一个也是用“且”联结的命题：“3是偶数且3是质数”，这个命题是真命题吗？

（教师组织大家开展讨论） 学生E：不是真命题。

教师：为什么这个命题不是真命题了呢？ 学生F: 因为3不是偶数。

教师：回答得很好！由上述讨论我们可以看出，对于用“且”联结两个命题组成的新命题，当两个命题都是真命题时，新命题才是真命题；当两个命题中有一个是假命题时，新命题便是假命题。这就是逻辑联结词“且”在联结两个命题时的含义。

„„„„„

点评：此教学片段最大的特点是从实例入手，通过学生的观察、思考、讨论，逐步达到了解“且”的含义的目的。教学活动开展的很充分，气氛民主。学生的自己举例（如学生B、C等）很好的反馈了学生认知的程度和水平。

案例2 全程量词和存在量词的教学片段 教师：请同学们举几个命题的例子。 意图：创造引入“量词”概念的情境。

学生很容易说出好多命题的例子，这里先选一些简单的并具有明显特征的命题作为引例。如：（1）对所有的实数x，x20成立；

11

（2）每一个正方形都是矩形； （3）存在一个xR，使2x13； （4）有的平行四边形是菱形；

教师：观察上面四个命题在语句上有什么特点。

意图：引导学生观察特点：含有短语“所有的”、“每一个”、“存在一个”、“有的”，为引入概念做准备。

共同归纳：上面的四个命题在语句上有个共同的特征就是对某些量进行了，使用了短语“所有的”、“每一个”、“存在一个”、“有的”。

教师：短语“所有的”、“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词，短语“存在一个”、“有的”在逻辑中叫做存在量词。

常见的全称量词还有“一切”、“任意一个”、“任给”等，常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“至少有一个”等。

含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命称为存在命题。象上面命题（1）（2）是全称命题，（3）（4）是存在命题。

你能结合自己的理解再举出一些全称命题和存在命题吗？

意图：从观察中引出概念，体会量词的含义。通过学生自己的举例反馈学生理解的程度，以便把握教学的进程。

教师：对一开始自己提出的命题能作出属于全称命题还是存在命题的判断吗？ „„„„„„„„

点评：“量词”是新课标中的增加内容，也是一个重点和难点内容。在教学中，首先要处理好对量词的学习和理解。本教学片段很好的利用了学生已有的知识基础，在自己提出命题的前提下进行研究学习，符合学生的实际情况，引入自然。教师有目的的进行创设学习情境和有目的的进行引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，逐步加深对量词含义的理解。

圆锥曲线与方程（约16课时) 一、知识要求及变化 1、整体定位

根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握圆锥曲线与

12

方程这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对圆锥曲线与方程这部分内容的整体定位如下：

“在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。”

2、课程标准的要求 （1）圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 （2）曲线与方程

结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。

3、课程标准要求的具体化和深广度分析

在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。

教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率

13

与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。 案例

椭圆及其标准方程教学首先从探究活动开始

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么？(圆)，如果把两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？

讨论：这个环节，是为了更好的体现探究性，在传统教材的基础上，先设置了细绳的两端都固定在图板的同一点处的情况，实际的教学应怎样操作？

有这么几种：①教师自己演示（用自作的教具或《几何画板》），学生观察②教师课前要求所有的学生都自带学具到课堂上进行操作，③教师带教具，让学生到台前进行操作，其他同学观察。

案例

1、椭圆与抛物线的简单几何性质是指：

椭圆：范围、对称性、顶点和刻画椭圆的扁平程度的概念--离心率（定义性概念） 抛物线：范围、对称性、顶点和离心率（定义性概念）

例如：判断方程 6x+10y=60所描述的曲线是什么曲线？ 如果是椭圆请写出其标准方程并写出焦点、顶点坐标和离心率.

在这样的题目中我们不能再增加“并写出准线方程”一问.

2、双曲线的的有关性质是指：范围、对称性、顶点、渐近线和离心率（定义性概念） 3、圆锥曲线的参数方程在这里不作要求，不必引入教学，对它们的学习将在选修系列4《坐

2 X=t标系与参数方程》中学习.

y=2t

例如：2002年全国理6 点P(1,0)到曲线 （其中参数tR）上的点的最短距离为：A、 0 B、 1 C、2 D、 2 在此属超标题.

4、用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题仅限于直线与圆锥曲线的位置关系.解决实际问题也是初步利用圆锥曲线模型.

5、曲线与方程

例如：如果命题“坐标满足方程F（x,y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么，以下正确的命题是（ ）

A、坐标满足方程F（x,y）=0的点都不在曲线C上 B、曲线C上点坐的标都满足方程F（x,y）=0

14

2

2

C、一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F（x,y）=0 D、坐标满足方程F（x,y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

虽然这是一个很好的既复习逻辑内容又欲帮助学生理解曲线与方程关系的题目.我们认为在这里提出不太适宜，虽然学生在必修部分的 《数学2 》的直线和方程、圆与方程，也学习了圆锥曲线方程，有了一定的感性认识， 因为本题给出的是抽象的曲线和方程，太抽象，不利于实现《课程标准》提出的：“结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.”的要求.使学生经过内化，对曲线和方程的关系从具体到一般，形成一个更加系统、完整的认识。

4、教学要求

1、课程标准要求，与大纲比较 内容 圆锥曲线 《标准》目标表述 圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质. ③ 了解双曲线的定义、几何图形《大纲》目标表述 的简单几何性质；理解椭圆的参数方程. （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. （4）能够利用工具画圆锥曲线的图形，了解圆锥曲线的简单应用. ① 了解圆锥曲线的实际背景，感受（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆② 经历从具体情境中抽象出椭曲线的简单几何性质. 和标准方程，知道双曲线的有关性质. （5）结合教学内容，继续进行运动、变④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲化观点的教育. 线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题. ⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 曲线与方程

二、重点和难点 1、重、难点的分析

教学重点是：

①经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.理解坐标法的基本思想.

②了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及有关性质

结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想. 15

③经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质.

④掌握圆锥曲线标准方程中a,b,c,p的几何意义；初步了解圆锥曲线的离心率e ⑤能用坐标法判断直线和圆锥曲线的位置关系.

⑥了解曲线的方程与方程的曲线的概念，使学生体会曲线与方程的对应关系，通过解决简单的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想. 教学难点是：

①椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的应用

②双曲线的标准方程推导与化简

③理解曲线的方程与方程的曲线的概念；曲线与方程的对应关系；求曲线方程

2、重、难点教学案例 三个例题的处理

例1 、（已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（求它的标准方程）、练习3 （已知经过椭圆x252，-

32），

25y2161的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，

交椭圆于A,B 两点，F1是椭圆的左焦点（1）求⊿A F1 B的周长（2 ）如果AB不垂直于x轴，⊿A F1 B的周长有变化吗？为什么？） 以及习题2 . 1 中的习题1 、7（略） 都是为加深对椭圆的定义的理解而设置的．例题1 的边空提出：你还能用其他方法求它的方程吗？这里的“其他方法”指待定系数法．由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，因此，可以设椭圆的标准方程为:

xa22yb221 (a >b > 0 )·

由己知，c=2 ，所以，a-b=4 ．①

222252又由己知得． a232b221。 ②

联立① ② 解方程组，得a = 10 ，b=6 .

222x所以，所求椭圆的方程为：10

y6221

16

这也是为了教会学生学会利用椭圆的标准方程解决问题．

22在例2 （在圆x+

y=4上任取一点P，过P作X轴的垂线段PD，D为垂足。当点P

在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ 为什么？ ）之后教科书提出一个思考题：你能从例2 发现椭圆与圆之间的关系吗？例2 （以及习题2 . 1 的B组中的题l ）有3 个作用：第一，是又一次教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二，是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三，是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．

例3（设点A，B的坐标分别为（-5 ，0），（5，0 ）。直线ＡＭ，ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是 -49，求Ｍ的轨迹方程。 ）给出了生成椭圆的另一种方法：一个动点

到两个定点连线的斜率之积是一个负常数，这可以使学生体会椭圆几何特征可以有不同的表现形式．另外，这里第一次提出了求动点轨迹方程时，需要注意以方程的解为坐标的点是否在曲线上的问题，这是在强调正确理解“方程的曲线”“曲线的方程”的概念．当然，教学时只要点到为止，不必深究．

空间向量与立体几何(约12课时) 一、知识要求及变化 1、整体定位

根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：

“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”

2、课程标准的要求 （1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

17

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量。

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3、课程标准要求的具体化和深广度分析

空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。

例如：(03年．现行理、新课程理(18)、江苏、河南(19)．0.137)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G． (Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；

(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离．

本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满

分12分．

解法1： (Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角． 条件： ①∠ACB＝90°； ②侧棱AA1＝2； ③点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心

18

确定 直三棱柱 底面边长

选择适当位置建立坐标系

重心G坐标 EG⊥DG xAA1z用坐标描述所需要的点

∠EGB C1B1向量BE,BG DECGBy

如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，

2a则 A (2a，0，0)，B (0，2a，0)，D(0，0，1)， A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(a3a32a1，，)． 333∴ EG，，222a2a,,． ，DG3333∵EG⊥DG， ∴ EGDG29a229a22490，解得 a＝1． 1，)． 33137． 3－又 BE(1，－1，1)，BG(，32434∴ cosABG1BA1BG|BA1||BG|323213A1B与平面ABD所成角是arccos73．

(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

AEED(1，1，1)(1，1，0)0， AA1ED(0，0，2)(1，1，0)0，

zC1A1DEKCB1∴ ED⊥平面AA1E，又ED平面AED， ∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面

19

ByxAAA1E＝AE，

∴ 点A1在平面AED的射影K在AE上． 设 AKAE，

则A1KA1AAK(，，2)．

垂足K在哪儿？ 由 A1KAE0，即++－2＝0， 解得 23垂足在AE上 条件 A1KAE0 ．

24，，)． 3332怎样确定K ∴ A1K(如何设定K 263设K的坐标 AKAE ∴ |A1K|

263．故A1到平面AED的距离为

． 解法2：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成

的角．

设F为AB中点，连结EF、FC， C1∵ D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面

B1A1ABC，

∴ CDEF为矩形． D连结DF，G是△ADB的重心， ∴G∈DF．

在直角三角形EFD中，

EF2EG2CBFGFD13FD，

AF∵ EF＝1，∴ FD3. „„4分 13263于是ED2,EG.

∵ FCED2, ∴ AB22,A1B23,EB3.

∴ sinEBGEGEB631323.

∴ A1B与平面ABC所成的角是arcsin(Ⅱ)连结A1D，有VAVDAA1E

23.

1ADE∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F， ∴ ED⊥平面A1AB．

设A1到平面AED的距离为h．

20

则 SAEDhSA121AEED.

又 SA1AESA1AB14A1AAB2. SAED12AEED62.

∴ h2622263.

即A1到平面AED的距离为

4、教学要求

1、 课程标准要求，与大纲比较 内容 空间向量及其运算 《标准》目标表述 263.

《大纲》目标表述 (1)经历向量及其运算由平面向空间（1）理解空间向量的概念，掌握空间向推广的过程. 量的加法、减法和数乘. (2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. (3) 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (4) 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （2）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. （3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式. 空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法（1）理解直线的方向向量、平面的法向向量. 量、向量在平面内的射影等概念. ② 能用向量语言表述线线、线面、面（2）掌握直线和直线、直线和平面、平面的垂直、平行关系. 面和平面所成的角、距离的概念（对于异③ 能用向量方法证明有关线、面位置面直线的距离，只要求会利用给出的公垂关系的一些定理（包括三垂线定理）线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性（参见《标准》P55~56例1、例2、质定理；掌握两个平面平行的判定定理和例3）. 面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理（3）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念. (4)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图. (5）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图. （6）了解正多面体的概念，了解多面体④ 能用向量方法解决线线、线面、面和性质定理. 21

的欧拉公式. （7）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式. （8）通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点. 2、 阶段性要求与终结要求的说明

按照《课程标准》对《空间向量与立体几何》进行的教学要求，既是阶段性要求也是终结性

要求.

二、重点和难点 1、重、难点的分析 教学重点是：

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律.

②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要求学生会证明此定理）和共面向量定理及其推论 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.

③了解两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用.

④了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不同向量 作为基底表示其它向量.

⑤掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题.

⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，体会向量方法在研究几何问题

中的作用. 教学的难点是： ①空间向量的基本定理

②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题

2、重、难点教学案例 教学设计案例

课题3 . 2 立体几何中的向量方法（例4）

例4 如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ， ＰＤ＝ＤＣ，Ｅ是ＰＣ的中点，作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｆ． （１）求证：ＰＡ∥平面ＥＤＢ

22

（２）求证：ＰＢ⊥平面ＥＦＤ （３）求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小 （一）教学任务分析

1 ．通过利用向见方法解决例4 这个综合性较强的问题，使学生进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”.

2 ．结合例4 的解题过程，重点讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性．

3 ．结合例4 ，对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．

（二）教学重点、难点

重点：例4 的解法（坐标法与向量法结合）. 难点：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线． （三）教学基本流程

回顾立体几何中的向量方法“三步曲”

分析例4 的已知条件及求解内容，考虑如何通过坐标把问题向量化 分步讨论例4 的解法

结合例4 的解法，再次回顾“三步曲”讨论建立坐标系在解法中的作用 讨论思考题

小结练合法、向量法、坐标法的联系 做练习题，布置作业

（四）教学情境设计问题

问题 问题1 ：回顾前面讨论过的问题，请你概述用向量方法解决立体几何问题时一般经历怎样的过程． 设计意图 师生活动 立体几何中的向量方法可以归纳为三步：( l ）把几何教师引导学生结合前面的例题从整体上问题转化为向量问题；( 2 ）归纳解题过程，留给学生一定时间，使其进行向量运算；〔 3 ）由向通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的量运算解释几何问题，间题主要任务，并能简明地叙述出来，为对本1 有助于加强学生对解题通节后续内容的整体把握作准备 法的整体认识． 学生阅读并分析题意，教师引导学生问题2 ：阅读例4 ，通过阅读题目，使学生明确

23

请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？ 题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路． 认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决． 教师引导学生关注己知条件中有“三条线问题3 ：从例4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？ 初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力． 段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P , A ，Ｂ，Ｃ , D , E 的坐标．并进一步写出PA，PB等的坐标． 运用直线与平面平行的判定教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发问题4 ：考虑例4 引定理，需证明ＰＡ与平而EDB 学生考虑直线与平面平行的判定条件，( 1 ) ，要证ＰＡ内一直线平行．找出这条直导学生通过讨论发现PA 与ＥＧ有平行关∥平面ＥＤＢ，应线的过程可以锻炼直觉观察如何入手？ 系，从而自然地想到写出EG的坐标，并能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线 由PA＝kEG证出ＰＡ∥ＥＧ ，进而证向量等概念的理解． 出ＰＡ∥平面ＥＤＢ 运用直线与平面垂直的判定教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让定理，需证明PB 与平面EFD 学生讨论：应证明PB 与哪些线段垂直，内两相交直线垂直．找出这问题5 ：考虑例4 两条直线的过程可以锻炼分用向量方法怎样证？ ( 2 ) ，要证ＰＢ析已知条件以及看图能力；在讨论的基础上，由学生自己写出主要证⊥平面ＥＦＤ，应证明直线间的垂直关系的过明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知） 如何人手？ 程可以巩固对两非零向量的 “数量积为0 ”的几何意义 的认识 PB·DE＝０，PB⊥DE， 计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平ＰＢ⊥ＤＥ ＰＢ⊥平面ＥＦＤ 教师从“计算二面角C 一PB 一D 的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一PB 一D 的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？ 教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 问题6 ：考虑例4( 3 ) ，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工小，应如何人手？ 具．解决这个问题可以巩固 对运用向量方法求角度的掌握． 24

的坐标？ 让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos ∠EFDFEFD＝ 计算∠EFＤ 的过程 |FE||FD|思考题1 可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简问题7 ：考虑例4 化计算所起的作用．思考题后的思考题． 2 可以加强不同方法之间的联系． 小结立体几何中的不同方法． 加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识． 学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法． 教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套． 练习题3 作业：习题3.２ A 组9～ 12 题B 组2 , 3 题 练习，布置作业． 思考，巩固提高．

25