基于几何代数的并联机构自由度自动化分析

２　０　１　８年６月　ｄｏｉ：１０．６０４１／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００—１２９８．２０１８．０６．０４８　农业机械学报　第４９卷第６期　基于几何代数的并联机构自由度自动化分析　杜　鹃　吴洪涛　杨小龙　李　耀　（南京航空航天大学机电学院，南京２１００１６）　摘要：基于Ｒ（３，３）几何代数，提出一种符号描述并联机构自由度的自动化算法。首先根据螺旋副之间的几何关　系，利用Ｒ（３，３）几何代数能符号描述刚体运动的优势，自动求解并联机构各支链螺旋系；然后利用Ｒ（３，３）几何代　数能符号表示集合交集和并集的优势，自动求解动平台运动空间，该运动空间为所求并联机构自由度的符号表示　式；最后基于ｃ＋＋软件平台对这种并联机构自由度自动化求解算法进行验证。使用Ｒ（３，３）几何代数不仅能通　过刚体运算法则得到支链螺旋系的符号表达，同时可以直接求解动平台运动空间，省去一般螺旋理论求互易螺旋　需求解线性方程的过程，算法简洁，可以得到并联机构自由度的符号表达式，从而实现自动化分析。　关键词：并联机构；几何代数；自由度；自动化　中图分类号：ＴＰ２４　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—１２９８（２０１８）０６—０４００—０８　Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｍｏｂｉｌｉｔｙ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ａｌｇｅｂｒａ　ＤＵ　Ｊｕａｎ　ＷＵ　Ｈｏｎｇｔａｏ　ＹＡＮＧ　Ｘｉａｏｌｏｎｇ　ＬＩ　Ｙａｏ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａ　ｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａ　，　２１００１６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ｄｉｇｉｔａｌｌｙ　ａｎｄ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ｔｙｐｅ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ．Ｔｈｅ　ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ｗａｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｒ（３，３）ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈ　ｗａｓ　ａ　Ｒ。ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｍｏｄｅ１．　Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｓｉｎｃｅ　ａｎｙ　ｓｃｒｅｗ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｋｎｏｗｎ　ｓｃｒｅｗ　ｗｉｔｈ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｓｃｒｅｗｓ，ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｔｗｉｓｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｊｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｍｂｓ　ｗｅｒｅ　ｋｎｏｗｎ，ａｌｌ　ｔｗｉｓｔｓ　ｏｆ　ｌｉｍｂｓ　ｏｆ　ａ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｙｍｂｏｌｉｃａｌｌｙ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ａｎｄ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｊｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｌｉｍｂｓ．Ｔｈｅｎ，ｓｉｎｃｅ　ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｍｂ　ｗａｓ　ｔｈｅ　ｕｎｉｏｎ　ｏｆ　ａｌｌ　ｔｗｉｓｔｓ　ｏｆ　ｊｏｉｎｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｐｌａｔｆｏｒｍ　ｗａｓ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｌｌ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｉｍｂｓ，ｂｙ　ｔａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｈａｄ　ｔｈｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ　ｓｅｔ　ａｎｄ　ｕｎｉｏｎ　ｓｅｔ．ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｌｌ　ｌｉｍｂｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｐｌａｔｆｏｒｍ　ｃａｎ　ａｌｓｏ　ｂｅ　ｓｙｍｂｏｌｉｃａｌｌｙ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ａｎｄ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ｓｙｍｂｏｌｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｏｖｉｎｇ　ｐｌａｔｆｏｒｍ　ｗａｓ　ｅｘａｃｔｌｙ　ｔｈｅ　ｍｏｂｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ａ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｗａｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｂｌａｄｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｍｂｏｌｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｗｅｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌｓ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｃ＋＋ｃｏｄｉｎｇ　ｔｏ　ｖｅｒｉｆｙ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｈａｔ　ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｄｉｄ　ｎｏｔ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｔｗｉｓｔｓ　ｏｆ　ｌｉｍｂｓ　ａｎｄ　ｓｏｌｖｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ　ｍａｄｅ　ｔｈｉｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆａｓｔｅｒ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｅｆｉｃｉｆｅｎｃｙ．Ｔｈｉｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｓｅｔ　ｔｈｅ　ｓｔａｇｅ　ｆｏｒ　ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ｔｙｐｅ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ；ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ；ｍｏｂｉｌｉｔｙ；ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ　０　引言　机构自由度是指机构具有确定运动时所必须给　收稿Ｅｌ期：　２０１７—１２—０６修回日期：２０１８—０１—１８　基金项目：　国家自然科学基金项目（５１３７５２３０）　定的运动参数的数目…。自由度分析是机构　应用的前提和基础。然而，并联机构作为闭环运动　链，一般机构自由度计算采用的Ｇ—Ｋ公式很难得　作者简介：　杜鹃（１９９０～），女，博士生，主要从事几何代数和机器人技术研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｕａｎ．ｄｕｊｆ３２０＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｉｎ　通信作者：　吴洪涛（１９６２一），男，教授，博士生导师，主要从事机器人学及智能机器和机械多体系统理论研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｍｅｈｔｗｕ＠１２６．ｃ。　第６期　杜鹃等：基于几何代数的并联机构自由度自动化分析　以正确应用。黄真等　提出的基于约束螺旋理论　数空间，由于不是零向量空间，因而没有平移变换的　符号表达式Ｈ　，从而无法用符号描述运动螺旋间的　几何关系，进而无法通过符号表达式实现并联机构　自由度的自动化分析。　的自由度分析方法和修正Ｇ—Ｋ公式是目前最通用　也是最有效的并联机构自由度分析方法，能解决几　乎所有并联机构的自由度问题，包括复杂过约束机　构，如Ｂｅｎｎｅｔｔ机构等　。但是基于约束螺旋理论　的自由度分析方法在求互易螺旋时需要求解线性方　Ｒ（３，３）几何代数空间¨　与Ｒ（６，０）几何代　数空间同为六维几何代数空间。Ｒ（３，３）不仅具有　Ｒ（６，０）的优势，还存在螺旋的符号表达式，从而可　实现符号描述并联机构自由度，同时还能够符号描　程组，虽然数值求解简单，却很难得到符号或解析表　达式。文献［５—６］基于几何代数提出了一种新的　自由度分析方法，得到了并联机构自由度的符号表　述平移和旋转运动。本文基于Ｒ（３，３）几何代数空　达式。螺旋理论中互易螺旋的求解，几何代数中可　以通过对偶的符号表达式来实现，该过程不需要求　解线性方程，只涉及几何代数框架下的加法和乘法。　不仅如此，由于并联机构动平台的运动空间是各支　链运动空间的交集，然而集合并没有交集运算法则，　因此基于螺旋理论的自由度分析方法需要首先求解　互易螺旋，即支链集合的补集，再通过对补集求并集　的运算法则，间接得到动平台运动表达式。但是在　几何代数框架下，集合的交集和并集均有直接的运　算法则，即交集运算可以通过内积运算法则实现，而　并集运算可以通过外积运算法则实现　。因此基　于几何代数的自由度分析方法能通过对支链运动直　接求内积得到并联机构自由度，不需要通过求解补　集，即约束螺旋间接得到动平台运动空间，减少自由　度求解步骤，使运算更简洁。　但是，无论是基于螺旋理论还是几何代数的并　联机构自由度分析方法主要是基于手工求解，难以　满足快速分析成千上万机构自由度的需求。机构的　构型创新是机械装备原始性创新的重要内容，构型　综合是构型创新的有效手段　。随着计算机技术　的发展，建立基于计算机技术的数字化构型综合理　论，进而实现机构概念创新设计的自动化、可视化、　网络化和智能化是机构学研究的趋势。而并联机构　自由度数字化、程序化、自动化分析是并联机构数字　化结构综合的基础。曹文熬　基于螺旋理论提出　了一种空间并联机构自由度自动化分析算法，并成　功应用于数字化结构综合中。该方法通过螺旋之间　的垂直、平行等几何关系，在已知支链第一个运动螺　旋的情况下，自动求解支链的所有螺旋，从而实现并　联机构自由度自动化分析。文献［５—６］基于几何　代数的自由度分析方法也可利用类似过程，得到自　动化分析算法。但是这些方法都无法得到符号表达　式，因为通过几何关系如垂直、平行等求解相邻螺旋　仍然是一个线性方程求解过程。事实上，任意一个　螺旋都可通过另一螺旋的旋转和平移运动得到，而　几何代数的另一优势就是能符号描述几何元素的刚　体运动。但是，文献［５—６］所用的Ｒ（６，０）几何代　问提出一种并联机构自由度自动化分析算法。　１　Ｒ（３，３）几何代数　１．１　几何代数　几何代数又称为Ｃｌｉｆｆｏｒｄ代数，由ＣＬＩＦＦＯＲＤ　在１８７６年首次提出，随后ＨＥＳＴＥＮＥＳ¨　将Ｃｌｉｆｆｏｒｄ　代数进行几何意义上的解释，使之更加完善。几何　代数是一种完全不同于传统代数的计算框架，已被　广泛应用到机器视觉　、计算机图形学　”　和机　器人学¨　等领域。　ｎ维几何代数空间表示该空间由ｎ个正交基　ｅ　，ｅ　，…，ｅ　组成。然而与欧几里得空间不同的是，　几何代数空间中基的长度可以为正，可以为负，也可　以为零。一般为　ｅ　＝±１，０　（ｉ：１，２，…，ｎ）　如果一个ｎ维几何代数空间，有Ｐ个基为ｅ　：　１，ｇ个基为ｅ　＝一１，ｒ个基为ｅ　＝０，则用符号Ｒ（Ｐ，　ｑ，ｒ）描述该几何代数空间。例如Ｒ（３，３）表示６维　几何代数空间，其中３个基的长度为１，３个基的长　度为一１，没有长度为０的基。由不同基坐标构成的　几何代数空间即使维度相同，也存在不同的几何元　素和刚体运动符号表达式。　几何积是几何代数特有的乘积运算符。向量ａ　和向量ｂ的几何积定义为　ａｂ＝ａ·ｂ＋ａ　Ａ　ｂ　其中ａ·ｂ表示向量ａ和向量ｂ的内积，ａ八ｂ表示向　量ａ和向量ｂ的外积。关于内积和外积，有以下运　算法则　ｅｌｅｆ＝±１，０　ｅ　Ａ　ｅ　＝０　ｅｌｅｊ＝０　ｅ　Ａ　ｅｊ＝一ｅ　Ａ　ｅｆ　（ｉ≠　）　同时，在几何代数空间中，向量ａ的长度可以用　内积描述为　Ｉ　ｌａ　＝ａａ　（１）　通常，用ｅ　简化表示ｅ　八ｅ　八ｅ　。由ｎ个单位基　组成的伪标量定义为　，＝ｅ１＾ｅ２　Ａ…＾ｅ　＝ｅ１２～　向量Ａ的对偶为Ａ的正交补，定义为　农业机械学报　Ｄ＝Ａ，　但是这一组正交基向量主要用于计算，不用于几何　元素的描述。为了描述螺旋，定义以下一组基向量，　称为Ｗｉｔｔ基　。令　（　＋　，）　。ｌ　——　其中　ｒ　＝ｅ　＿２１　式中，～——伪标量，的逆　更多关于几何代数的定义和定理见文献［１９］。　（　。一　。）　１．２　Ｒ（６，０）几何代数空间　４　——ｒ５　——广　　文献［５—６］基于Ｒ（６，０）几何代数空间提出了　一（∈　＋　）　２　——　（ｅ：一　）　种新的并联机构自由度分析算法。Ｒ（６，０）是一　个六维几何代数空间。设ｅ　、ｅ　、ｅ，、ｅ　、ｅ　和ｅ　是Ｒ。　√２（Ｅ，＋己）　的一组单位正交基，其中　ｅ　＝ｅ　＝ｅ　＝ｅ：＝ｅ　＝ｅ：＝１　ｅｉｅ　＝一ｅｊｅ　（ｉ≠　；ｉ，Ｊ＝１，２，３，４，５，６）　则螺旋理论中的螺旋　￥＝（　ｌ，　２，　３；６ｌ，６２，６３）　在Ｒ（６，０）几何代数空间中可写成　Ｚ＝　１ｅｌ＋　２ｅ２＋１３３ｅ３＋ｂｉｅ４＋ｂ２ｅ５＋ｂ３ｅ６　由式（１）可知，Ｚ的长度为　Ｉ　ｚ　ＩＩ。＝ＩＩ＝　＋　＋　；＋ｂ　＋ｂ　＋ｂ；　在几何代数中，无论是旋转算子还是平移算子，　都具有保长性，即向量经过平移或旋转后，自身长度　保持不变。然而在Ｒ（６，０）几何代数空间中，若ｔ为　平移向量，则　ｉｌ　Ｚ＋ｔ　ＩＩ　＝（Ｚ＋ｔ）（Ｚ＋ｔ）＝　ＩＩ２　十Ｉ　Ｉｔ　ｌ　＿＋２ｌｔ≠ＩＩｆ　因此，Ｒ（６，０）几何代数空间中没有平移算子。　同时，几何代数空间中向量具有平移算子的前提是　该向量的长度为零，称为零向量　。例如，共形几　何存在平移算子是由于共形几何中的向量是零向　量，即　ＩＩｐｌ　Ｉ＝　十ｅ０　（ｅ￣ｅｏ）＝　一　２一口＝＝　０　因而，为了将平移算子和旋转算子应用于螺旋，　从而实现并联机构自由度自动化分析的符号描述，　需要寻找一个新的空问，该空间需要既能符号描述　螺旋，还能符号描述对螺旋进行平移和旋转的刚体　变换。　１．３　Ｒ（３，３）几何代数空间　Ｒ（３，３）几何代数空间　是一种六维几何代　数空间，能够描述空间运动的６个坐标。在　Ｒ（３，３）几何代数中，设Ｅ，、Ｅ　、∈，、一Ｅ。、　和己是Ｒ　的一组单位正交基，其中　Ｅｌ＝∈２＝Ｅ３＝　ｅ　＝　＝ｅ；＝１　一　Ｅ·＝　＝Ｅ２　＝＝　ｆｉ＇３　＝一　一１∈　Ｅ　＝一∈　Ｅ　（ｉ≠　；ｉ，　＝１，２，３）　ＥｉＥ　＝一∈，Ｅ　（ｉ≠　；ｉ，Ｊ＝１，２，３）　Ｅ　Ｅ　＝一∈　Ｅ　（ｉ≠　；ｉ，Ｊ＝１，２，３）　（ｅ　一　）　３　——　。６　——广　计算可知，该组基向量为零向量，因为　ｅ　＝ｅ　＝ｅ；＝ｅ；＝ｅ　＝ｅ：＝０　同时该组基向量并不是两两正交，其中　ｅｌ　ｅ４＝ｅ２ｅ５　ｅ３ｅ６＝一１　那么，螺旋理论中的螺旋　￥＝（　１，　２，　３；ｂ１，６２，ｂ３）　在Ｒ（３，３）几何代数空问中可写成　Ｚ＝　１ｅＩ＋ｖ２ｅ２＋　３ｅ３＋ｂｌｅ４＋６２ｅ５＋６３ｅ６　这里，ｆ也为零向量。　Ｒ（３，３）几何代数空间不仅能符号描述螺旋，还　能符号描述刚体运动。单位矢量为ｔ＝（ｔ　，　，ｔ　），　平移距离为ｎ的平移算子在Ｒ（３，３）几何代数空　间为　１　Ｔ＝１一—　Ⅱｆ＝　１　１一÷Ⅱ（ｔｌｅ５６＋　２ｅ“＋ｔ３ｅ４５）　（２）　旋转描述较之于平移描述略微复杂。绕过原点Ｈ＝　（ｕ，，“　，ｕ。）轴，旋转角度为０的旋转算子在Ｒ（３，３）　几何代数空间为　Ｒ：１＋ｓｉｎ０Ｂ＋（１一ｃｏｓ０）Ｂ　（３）　其中　Ｂ＝Ｈｌ曰　＋¨２Ｂ　＋Ｈ３曰　＝÷（ｅ２６一ｅ３５）　曰　：÷（ｅ３４一　）　Ｂ　：÷（　，　一ｅ２４）　对于Ｒ（３，３）模型中的任意螺旋，其刚体运动　都可描述成　Ｑ　＝ＩＩ　Ｍ　Ｑ　１７　…　（４）　＝ｌ　ｉ＝ｌ　其中Ｍ　为平移或旋转算子，　为　的逆　。特别　的，绕过任意点Ｐ＝（Ｐ　，Ｐ：，Ｐ　）、方向矢量为ｌｌ＝　（“　，“：，ｕ，）的轴旋转０的旋转算子的１ｔ（３，３）形式　可写成　Ｍ＝　Ｒ　（５）　１　其中　＝１一　一０（ｐｌｅ５６＋ｐ２ｅ６４＋Ｐ３ｅ４５）　不仅如此，若螺旋Ｚ　为螺旋ｚ　绕ｕ轴旋转０后　第６期　杜鹃等：基于几何代数的并联机构自由度自动化分析　４０３　沿ｔ轴平移ｎ所得螺旋，则Ｒ（３，３）形式可写成　Ｚ　＝ＴＲｌ　ＲＴ　（６）　因此，任意一个螺旋都可通过另一螺旋的刚体　变换得到。例如螺旋ｚ　＝ｅ：＋２ｅ　＋ｅ　可以由螺旋　Ｚ　＝ｅ，＋ｅ　沿　轴旋转９０。后再沿　轴平移２个单位　得到，即　Ｚ２：Ｔ（１＋Ｂ　）（ｅｌ＋ｅ６）（１一Ｂ　）　＝　（１一ｅ４５）（ｅ２＋ｅ６）（１＋ｅ４５）＝ｅ２＋２ｅ４＋ｅ６　基于螺旋之间刚体运动符号表达式，可以实现　并联机构在已知分支第一个运动副螺旋的情况下，　自动求解该分支所有螺旋系，进而实现并联机构自　由度的自动化分析算法。　２　基于几何代数的支链运动空间自动求解　２．１　构型描述　为实现并联机构自由度自动化分析，首先需要　建立便于计算机程序识别的字符串构型描述，这一　字符串描述包含机构自由度分析所需的所有必要信　息。螺旋的相关性能通过初等变换的方式来判定，　但从几何角度判定更加简洁　。基于几何关系的　并联机构字符串描述更加直接。使用文献［１Ｏ］中的　字符串定义方法。表１为相邻轴线之间的６种几何　关系以及符号描述，其中垂直为两螺旋异面情况，正　交为两螺旋共面情况。　表１　相邻轴线几何关系的描述　Ｔａｂ．１　Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ａｄｊａｃｅｎｔ　ａｘｅｓ　几何关系平行　垂直　正交　相交　异面　共线　描述　Ｒ／Ｒ　Ｒ　Ｊ－Ｒ　Ｒ＋Ｒ　ＲＡ　Ｒ　Ｒ！Ｒ　ＲｆＲ　机构中常见的单自由度运动副为转动副（Ｒ）和　移动副（Ｐ）。复合副如球副（Ｓ）、虎克铰（Ｕ）和圆柱　副（Ｃ）都能看作是单自由度运动副的组合。一般　地，将分支看作只由单自由度运动副组成，并将单自　由度运动副从静平台到动平台依次编号为１，２，…，　ｔ。若一个移动副和一个转动副正交，那么字符串根　据表１可描述为Ｐ＋Ｒ。球铰（Ｓ）可描述为Ｒ＋Ｒ　Ｒ，其中　表示正交于前两个轴线所成平面。并联　机构３一ＲＰＳ有３个相同的ＲＰＳ分支运动链，其中　Ｒ与定平台相连接；Ｐ为驱动关节，与Ｒ正交；Ｓ与　动平台相连接。因此每个分支运动链的计算机构型　字符串可以描述为Ｒ＋ＰＩ　Ｒ＋Ｒ￥Ｒ。　通过几何关系分析可知，任意轴线都可由另一　已知轴线通过平移和旋转的刚体变换得到。例如若　一个螺旋平行于另一个螺旋，那么该螺旋可以由另　一个螺旋平移得到。利用Ｒ（３，３）几何代数空间不　仅能符号描述螺旋，还能符号描述螺旋的刚体运动　的优势，基于螺旋间的几何关系，建立由已知螺旋求　解未知螺旋的符号表达式，可以实现并联机构在已　知分支第一个运动副螺旋的情况下，自动求解该分　支所有螺旋系，进而实现并联机构自由度的自动化　算法。　２．２分支螺旋系自动求解算法　不失一般性，假定第ｉ个运动轴线在Ｒ（３，３）几　何代数空间中的表达式为　Ｚ　＝ｕｌｅｌ＋１ｘ２ｅ２＋ｕ３ｅ３＋ｂｌｅ４＋ｂｚｅ５＋ｂ３ｅ６　那么该运动轴线的方向矢量为　＝（ｕ　，１１，：，ｕ，）。令　Ｈ　＝ｌ，＝（　ｌ，　２，　３），由于ＶＵ＝０，ｌ，　＝１，因此垂直矢　量，，有一个自由度。根据不同的几何关系，可写出　第ｉ＋１个运动轴线的符号表达式ｚ　。第ｉ＋１个　运动副与第ｉ运动副有如下关系：　（１）共轴，则Ｚ　相当于Ｚ　沿ｌＩ轴平移０的刚体　变换后所得。　（２）平行，则Ｚ　相当于ｆ　沿ｔ＝（ｔ。，ｔ　，ｔ　）轴平　移。的刚体变换后所得。　（３）正交，则ｚ　相当于Ｚ　绕过交点Ｐ＝（Ｐ。，Ｐ：，　Ｐ。）、方向为　的轴旋转９０。的刚体变换后所得。　（４）相交，则ｚ　相当于　绕过交点Ｐ＝（Ｐ。，Ｐ：，　Ｐ。）、方向为’．，＝（Ｗ　，　，Ｗ，）的轴旋转０的刚体变换　后所得。　（５）垂直，则Ｚ　相当于Ｚ　绕过垂足Ｐ＝（Ｐ。，Ｐ　，　Ｐ，）、方向为，，　的轴旋转９０。，然后沿　平移ｎ的刚　体变换后所得。　（６）异面，则ｚ…相当于Ｚ。方向为’．，＝（Ｗ。，　，　Ｗ，）的轴旋转０，然后沿ｔ＝（　，ｔ　，ｔ，）平移。的刚体　变换后所得。　利用１．３节中Ｒ（３，３）几何代数空间的刚体运　动符号描述，得到根据已知螺旋求解未知螺旋的符　号表达式，见表２。　表２未知螺旋求解符号表达式　Ｔａｂ．２　Ｓｙｍｂｏｌｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ｔｗｉｓｔｓ　几何关系　符号表达式　共轴（Ｉ）　Ｉ　＋ｌ＝Ｔ　Ｔｔｌ　平行（／）　ｌ￡＋ｌ：ＴＩ　Ｔ　正交（＋）　＋ｔ＝　Ｒ　ｆ。ｒ．ｇ　相交（＾）　＋ｔ＝　Ｒ　ｚ。　只　垂直（ｉ）　ｌ；＋ｌ：Ｔｉ　Ｒ　ｆ　ＴｐＲ　Ｔｉ　异面（！）　¨＝ＴＲＩ。ＲＴ　表中　：ｌ一　１。（ｔ　ｅ　＋ｔ２ｅ６４＋￡　ｅ　）　＝ｌ一　１　。（ｐｌ　ｅ５６＋ｐ２ｅ６４＋ｐ３ｅ４５）　农业机械学报　Ｔ　＝１一—｝０（　１　ｅ５６＋　２ｅ６４＋　３ｅ４５）　厶　１　Ｔ上＝１一—｝０（　１ｅ５６＋　２ｅ６４＋　３ｅ４５）　Ｒ＝１＋ｓｉｎ０Ｂ＋（１一ｃｏｓ０）Ｂ。　：１＋　．＋　．　Ｂ＝　ｌＢ　＋Ｗ２Ｂ　＋Ｗ３Ｂ　Ｂ上＝　１Ｂ　＋　２Ｂｙ＋　３日　在自动求得分支所有运动轴线ｚ　的符号表达　式后，再根据运动副类型得到该分支的运动螺旋。　不失一般性，若运动轴线表达式为　Ｚ＝　１ｅ１＋　２ｅ２＋ｕ３ｅ３＋ｂ１ｅ４＋ｂ２ｅ５＋ｂ３ｅ６　那么如果运动副类型为转动副（Ｒ），运动螺旋　Ｓ＝ｚ；如果运动副类型为平移副（Ｐ），运动螺旋Ｓ＝　Ｆ（ｆ）＝ｔｔｌｅ４＋／１２ｅ５＋ｕ３ｅ６。　通过以上分析，以字符串描述为基础，结合运动　副轴线符号表达式，可以实现分支运动螺旋的计算机　程序化、自动化求解，算法流程图如图１所示。　３　基于几何代数的并联机构自由度自动化　分析　不同于螺旋理论没有直接求解集合交集的运算　法则，在几何代数框架下，集合的交集和并集可以通　过内积和外积运算法则直接得到。因此，基于几何　代数的并联机构自由度分析不需要通过求解约束螺　旋间接得到动平台运动空间，从而简化自由度求解　步骤。因此在得到并联机构支链自动化求解符号表　达后，可以通过几何代数符号描述并联机构自由度。　根据第２节中的讨论，Ｒ（３，３）几何代数空间不　仅能描述并联机构的螺旋运动，还能对螺旋运动进　行平移和旋转的刚体变换的符号描述。同时Ｒ（３，　３）几何代数与Ｒ（６，０）几何代数一样，均为六维几　何代数空间，具有相同的旋量表达式；并且２个空间　有着相同的内积和对偶表达式。因而在自动求解支　链螺旋符号表达式后，Ｒ（３，３）几何代数和Ｒ（６，０）　几何代数有着相同的并联机构自由度符号表达式。　综上所述，并联机构自由度自动化算法分为以　下几个步骤：　（１）利用螺旋之间的几何关系，基于Ｒ（３，３）几何　代数刚体运动符号表达式，自动写出第　个分支运动链　上第　个运动副在几何代数框架下螺旋表达式ｓ　。　（２）利用几何代数能通过外积运算法则求解集　合并集的优势，计算出第　个分支运动链末端的许　动子空间　Ｓ　＝Ｓ　Ｕ．ｓ　Ｕ…Ｕ　Ｓ　Ｕ…Ｕ　Ｓ　＝　＊Ｓ　。＾Ｓ　：＾…八Ｓ　＾…八Ｓ　图１　并联机构支链运动螺旋系自动化算法流程　Ｆｉｇ．１　Ｆｌｏｗ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ｍｏｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｌｉｍｂｓ　ｕｓｉｎｇ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ａｌｇｅｂｒａ　其中＾为几何代数外积符号。若运动副线性相关，　即运动副运动空间有交集，表示并联机构具有冗余　驱动力，此时需要对冗余驱动力在几何代数空间中　进行判别和剔除。　（３）利用几何代数能通过内积和对偶运算法则　求解集合交集的优势计算出动平台许动子空间　Ｓ　＝Ｓ　ｎ　Ｓ　ｎ…ｎ　Ｓ　ｎ…ｎ．ｓ　，其中，当２个分支运动链末端的许动子空间的并集　为　时，交集可写为　Ｓ　＝Ｓ　ｎ　Ｓ　＝（Ｓ　）　Ｓ　。　其中·为几何代数内积符号。当两个分支运动链末端　的许动子空间的并集不等于　时，需要使用两者的　并集替代　。　所求的动平台许动子空间符号表达式基的维度　即为并联机构自由度个数，基的外积组成即为并联　第６期　杜鹃等：基于几何代数的并联机构自由度自动化分析　机构自由度运动方向。例如，若动平台许动子空　间Ｓ＝ｅ。＾ｅ：Ａ　ｅ　，则表示该并联机构的自由度为　３，运动方向分别是沿　轴和Ｙ轴的旋转，以及绕ｚ　轴的平移。并联机构自由度自动化算法流程图见　图２　第价分支运动链上第　个运动副上的运动螺旋ｓ　因此在Ｒ（３，３）几何代数空间中，已知并联机构支　链第１个运动副螺旋以及支链各运动副之间几何　关系的情况下，可以通过刚体运动符号表达式描　述该支链所有螺旋，从而实现并联机构螺旋系的　自动化计算。　（４）在自动求得并联机构所有螺旋系的几何　代数表达式后，可以通过几何代数的并集和交集　判别并剔除冗余驱动　运算法则求得并联机构自由度和运动情况，这在　第价分支运动链末端许动子空间Ｓ　文献［５—６］中已得到证明。这是因为并联机构各　支链的运动是该支链所有螺旋的并集，同时并联　动平台许动子空间Ｓ　图２并联机构自由度自动化算法流程　Ｆｉｇ．２　Ｆｌｏｗ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｕｓｉｎｇ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ａｌｇｅｂｒａ　４　基于几何代数的并联机构自由度自动化　分析算法验证　４．１算法可行性一般性验证　为了对本文提出的并联机构自由度自动化求解　算法的正确性进行一般性验证，需对该算法进行可　行性分析：　（１）并联机构任意运动副的螺旋均可在Ｒ（３，　３）几何代数空间进行描述。　（２）任意螺旋均可通过已知螺旋的刚体运动　得到。　（３）在已知并联机构支链第１个运动副螺旋以　及支链各运动副之间几何关系的情况下，该支链所　有螺旋系能够符号描述，并且能利用符号描述进行　自动化求解。　（４）在自动求得并联机构所有螺旋系的几何代　数表达式后，可以通几何代数框架下的运算法则得　到并联机构的自由度和运动方向的符号表达式，进　而实现并联机构自由度自动化算法。　证明如下：　（１）由文献［１２］可知，Ｒ（３，３）几何代数中６个　一维向量对应旋量中的６个参数，即ｅ　、ｅ　、ｅ，表示　旋转，ｅ　、ｅ　、ｅ　表示移动；因此旋量与Ｒ（３，３）空间　存在一一对应的映射关系，并联机构任意运动副的　螺旋均可在Ｒ（３，３）空间中进行描述。　（２）任意两旋量之间只存在６种几何关系，即　共轴、平行、正交、相交、垂直、异面，而这６种几何关　系均可通过平移和旋转的刚体运动来描述，例如某　螺旋与一已知螺旋异面，其中两螺旋距离为ｄ，夹角　为０，那么该螺旋可以通过已知螺旋绕公垂线旋转０　后再沿着公垂线平移ｄ后得到。　（３）在文献［１　１］中已证明，通过Ｒ（３，３）描述　的旋量存在平移和旋转的刚体运动符号表达式。　机构动平台的运动是各支链运动的交集；而在几　何代数框架下可以通过外积运算法则符号描述螺　旋并集，内积运算法则符号描述螺旋交集，从而得　到并联机构自由度的符号表达式，进而实现并联　机构自由度自动化算法。　在并联机构自由度自动化求解算法包含的４个　步骤均证明可行的情况下可证明该算法可行。　４．２算法可行性例子验证　基于ｇａｉｇｅｎ　２．５几何代数分析软件包　，生成　满足Ｒ（３，３）几何代数运算法则的源文件，基于ｃ＋＋　平台实现并联机构自由度自动化分析算法，从而验　证该算法的正确性、有效性。　以３一ＲＰＳ并联机构为例验证并联机构自由度　自动化分析算法。３～ＲＰＳ有３个相同的ＲＰＳ分支　运动链，如图３所示，每个运动分支的计算机构型字　符串可以描述为Ｒ＋Ｐ　Ｉ　Ｒ＋Ｒ￥Ｒ。　图３　３一ＲＰＳ并联机构机构简图　Ｆｉｇ．３　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　３一ＲＰＳ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　首先对第１个分支进行自动求解。不失一般　性，令该分支的第１个运动副过点Ｂ　＝（　，日…　Ｂ　：），运动轴线为　ＺＩ１＝Ｍｌ１１ｅ１＋Ｌ／￣ｌｌ２ｅ２＋Ｈ￣ｌｌ３ｅ３＋ｂＩｌｌ　ｅ４＋　ｂ１１２ｅ５＋ｂｌ１３ｅ６　由计算机构型字符串可知，该运动副为转动副，　因此第１个运动副的运动螺旋为Ｓ　。＝　。。。　第２个运动螺旋和第１个运动螺旋正交，交点　为Ｐ　，那么由表２可知　农业机械学报　ｚｔ　：　Ｒ　．ｌ－　Ｒ　＝　／／＇１２１ｅｌ＋ｕｔ２２ｅ２＋／／＂１２３ｅ３＋６ｌ２ｌｅ４＋　ｂ１２２ｅ５＋６ｌ２３ｅ６　该运动副为移动副，因此运动螺旋为　Ｓｌ２＝Ｆ（Ｚｌ２）：　ｌ２ｌｅ４＋Ｕ１２２ｅ５＋Ｕ１２３ｅ６　同理可知，第３个运动螺旋和第２个运动螺旋　共轴，运动螺旋为　Ｓｌ３＝Ｚｌ３＝Ｔ　９　Ｚｌ２　１１　第４个运动副与第３个运动副正交，交点为Ｐ　，　图４　３一ＵＲＵ并联机构处于平面运动位形机构简图　运动螺旋为　Ｓ，　＝ｚ　＝　Ｒ　ｚ。，　Ｒ　第５个运动副与第３个和第４个运动副正交，　交点为Ｐ　，运动螺旋为　Ｓ　＝ｚ　ｓ＝　Ｒ－　ｚｔ　Ｒ　那么，第１个分支运动链末端的许动子空间为　ＳＩ：ＳＩｌ　ＬＪＳＩ２　ＵＳ１３　ＵＳｌ４　ＵＳｌ５　Ｓｌｌ八Ｓ１２八．ｓ１３＾Ｓ１４＾Ｓｌ５　同理可求得第２、３个分支运动链末端的许动子　空间Ｓ　、Ｓ　。　因而３一ＲＰＳ并联机构的自由度符号表达式为　Ｓ＝（（Ｓ　，　）Ｓ　，　）Ｓ，＝　０ｌ　ｅｌ２３＋口２ｅＩ２４＋０３ｅ１２５＋口４ｅ１２６＋０５ｅ１３４＋　ａ，６ｅ１３５＋ａ７ｅ１３６＋０８ｅ１４５＋０，９ｅ１４６＋ⅡｌＯｅ１５６＋　０ｉｌｅ２３４十口１２ｃ２３５十０１３ｅ２３６＋０Ｉ４ｃ２４５＋０１５ｅ２４６十　ｎ１６ｅ２５６＋０ｌ７ｅ３４５＋Ⅱｌ８ｅ３４６＋０１９ｅ３５６＋０２Ｏｅ４５６　其中　ｅ　＝ｅ；＾ｅｉ＾ｅ　式中ｎ　——标量系数　由Ｓ的符号表达式可知，动平台许动子空间为　一个３维基（３一ｂｌａｄｅ），因此３一ＲＰＳ并联机构的自　由度为３。　即使相同的并联机构在不同位形下自由度和运　动情况也可能不同。基于几何代数的并联机构的自　由度自动化算法不仅能求解某种机构在通用参数下　的自由度，还能求解在已知连杆参数尺寸和位置下　的自由度和运动情况。以３一ＵＲＵ并联机构为例，　对本文提出方法进行验证。　如图４所示，若３一ＵＲＵ并联机构的动平台　Ｂ　Ｂ　。为外接圆半径为３的等边三角形，外接圆圆　心为０；３个基座Ａ。、Ａ　、Ａ。分布在外接圆半径为５　的等边三角形的３个顶点上，外接圆圆心为Ｏ　；杆　长Ａ　Ｃ　为４，杆长Ｂ　Ｃ　为３，ｉ＝１，２，３；每个运动分　支的计算机构型字符串描述为Ｒ上ＩｔｌｔｌｌＲｊ＿Ｒ。　由文献［２１］可知，若动平台Ｂ　Ｂ：Ｂ　与３个基　座Ａ　Ａ：Ａ。共面，且２个外接圆圆心Ｏ、Ｏ。不重合，如　Ｆｉｇ．４　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　３一ＵＲＵ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｉｎ　ｐｌａｎａｒ　ｍｏｄｅ　图４所示，那么该并联机构的自由度为３，分别为沿　、Ｙ的平移和绕ｚ轴的旋转。　若第１个基座的第１个运动副过点（５，０，０），　方向为（１，０，０），运动轴线为　ＳＩ１＝Ｚ“＝ｅｌ　第２个运动螺旋和第１个运动螺旋正交，交点　为（５，０，０），那么由表２可知　Ｓｔ：＝ｚ·　＝　，Ｒ　ｚ　－　。＝ｅｓ＋５ｅｓ　同理可知，第３个运动螺旋和第２个运动螺旋　平行且过点（４．４７，３．９６，０），运动螺旋为　Ｓｌ３＝ＺＩ３＝　ｐＺｌ２　ｐ＝ｅ３＋ｅ５　，，第４个运动副与第３个运动副平行且过点（３，　０，０），运动螺旋为　Ｓｌ４＝ｚｌ４　７１Ｐ３　ｚ１３　＝ｅ３＋２．６ｅ４＋２．５ｅ５　第５个运动副与第４个运动副正交，交点为（３，　０，０），运动螺旋为　Ｓ－ｓ＝ｚ－ｓ＝ｒ　Ｒ　ｚ－　Ｒ　：　，，０．５ｅｌ一０．８７ｅ２＋０．８７ｅ６　那么，第１个分支运动链末端的许动子空间为　Ｓｌ＝Ｓ１１＾Ｓ１２＾Ｓｌ３＾Ｓｌ４＾Ｓｌ５＝９ｅ１２３４５＋９ｅｌ３４５６　同理可求得第２、３个分支运动链末端的许动子　空间分别为　Ｓ２　１０．３１ｅ１２３４５＋５．１６ｅｌ３４５６—８．９３ｅ２３４５６　Ｓ３＝１０．０６ｅｌ２３４５　因而３一ＵＲＵ并联机构的自由度符号表达式为　Ｓ＝（（Ｓ１ｒ　）Ｓ２，　）Ｓ３＝口（ｅ３＾ｅ４＾ｅ５）　式中Ⅱ——标量系数　由Ｓ的符号表达式可知，在该运动空间情况下，　３一ＵＲＵ并联机构的自由度为３，分别为沿　、ｙ轴的　平移和绕ｚ轴的旋转。　同理可求，若动平台　。Ｂ　Ｂ，与３个基座Ａ　Ａ　Ａ。　平行但不共面，且２个外接圆圆心０、０．不重合，如　图５所示，则并联机构的自由度符号表达式为　第６期　杜鹃等：基于几何代数的并联机构自由度自动化分析　４０７　图５　３一ＵＲＵ并联机构处于平移运动位形机构简图　图６　３一ＵＲＵ并联机构处于旋转运动位形机构简图　Ｆｉｇ．６　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　３一ＵＲＵ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　Ｆｉｇ．５　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　３一ＵＲＵ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｉｎ　ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅ　ｉｎ　ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅ　Ｓ＝（（５１，　）Ｓ２，１　）Ｓ３＝ａ（ｅ４八ｅ５＾ｅ６）　样能够描述运动螺旋，得到并联机构自由度的符号表　３一ＵＲＵ并联机构的自由度为３，分别为沿　、Ｙ、ｚ轴　达式，而且Ｒ（３，３）空间具有平移、旋转刚体运动的符　的平移。　号表达式，从而能够实现并联机构自由度自动化算法。　若动平台日　Ｂ：曰　与３个基座Ａ　Ａ：Ａ，不平行，　（２）提出的算法不仅具有基于几何代数算法的　但２个外接圆圆心Ｏ、Ｏ　重合，如图６所示，那么根　优点，即不需要求解线性方程组，能给出自动化求解　据并联机构的自由度符号表达式可知，３一ＵＲＵ并　的符号表达式，算法简单，效率高，同时由于几何代数　联机构的自由度为３，分别为绕　、Ｙ、　轴的旋转。　具有集合求交的运算法则，因而在自由度分析过程中　基于本文提出的算法对３一ＵＲＵ并联机构在不　可以直接通过各支链求交运算得到自由度运动空间，　同位形下自由度分析所得结论与文献［２３］中的结　不需要通过约束螺旋间接得到并联机构自由度。并　论相同，从而证明本文算法可行。　且由于即使并联机构字符串构型描述相同，机构也可　能会有不同的自由度，本文提出的算法不仅能求解机　５　结论　构在通用参数情况下的自由度，还能求解机构在特定　（１）Ｒ（３，３）几何代数空间不仅与Ｒ（６，０）空间一　参数和位置情况下的自由度和运动情况。　参　考　文　献　ｌ　邹慧君，楼鸿棣．高等机械原理［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９０．　２　黄真，孑Ｌ令富，方跃法．并联机器人机构学理论及控制［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９９７．　３　黄真，刘婧芳，曾达幸．基于约束螺旋理论的机构自由度分析的普遍方法［Ｊ］．中国科学，２００９，３９（１）：８４—９３．　ＨＵＡＮＧ　Ｚｈｅｎ，ＬＩＵ　Ｊｉｎｇｆａｎｇ，ＺＥＮＧ　Ｄａｘｉｎｇ．Ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒｍｏｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｓｃｒｅｗ　ｔｈｅｏｒｙ　［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ　Ｐｒｅｓｓ，２００９，３９（１）：８４—９３．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　４　黄真，夏平，丁华锋．Ｂｅｎｎｅｔｔ机构自由度的螺旋分析［Ｊ］．燕山大学学报，２００４，２８（３）：１８９—１９１．　ＨＵＡＮＧ　Ｚｈｅｎ，ＸＩＡ　Ｐｉｎｇ，ＤＩＮＧ　Ｈｕａｆｅｎｇ．Ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｂｅｎｎｅｔｔ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｓｃｒｅｗ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００４，２８（３）：１８９—１９１．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　５　ＬＩ　Ｑ，ＣＨＡＩ　Ｘ．Ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔｅｄ　ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ￣ｅｅｄｏｍ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｒａｍｅｗｏｒｋ　ｏｆ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ［Ｊ］　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ａｎｄ　Ｒｏｂｏｔｉｃｓ，２０１６，８（４）：０４１００５．　６　ＣＨＡＩ　Ｘ，ＬＩ　Ｑ．Ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｌｉｍｉｔｅｄ—ＤＯＦ　ｐａｒｌａｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ｕｓｉｎｇ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ［Ｃ］／／Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｒｏｂｏｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｃｈａｉｎ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ。２０１６：１３—２２．　７　ＤＯＲＳＴ　Ｌ，ＦＯＮＴＩＪＮＥ　Ｄ，ＭＡＮＮ　Ｓ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｓｃｉｅｎｃｅ：ａｎ　ｏｂｊｅｃｔ·ｏｒｉｅｎｔｅｄ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｇｅｏｍｅｔｙｒ［Ｍ］．　Ｍｏｒｇａｎ　Ｋａｕｆｍａｎｎ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ　Ｉｎｃ．，２００９．　曹毅，秦友蕾，陈海，等．基于ＧＦ集理论的五自由度混联机器人构型综合［Ｊ／ＯＬ］．农业机械学报，２０１５，４６（１１）：３９２—　３９８．ｈｔｔｐ：／／ＷＷＷ．ｊｃｓａｍ．ｏｒｇ／ｃｈ／ｒｅａｄｅｒ／ｖｉｅｗ—ａｂｓｔｒａｃｔ．ａｓｐｘ？ｆｉｌｅ—ｎｏ＝２０１５１１５３＆ｆｌａｇ＝１＆ｊｏｕｒｎａｌ—ｉｄ＝ｊｃｓａｍ．ＤＯＩ：１０．６０４１／ｊ．　ｉｓｓｎ．１０００．１２９８．２０１５．１１．０５３．　ＣＡＯ　Ｙｉ，ＱＩＮ　Ｙｏｕｌｅｉ，ＣＨＥＮ　Ｈａｉ，ｅｔ　ａ１．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｌａ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　５－ＤＯＦ　ｈｙｂｒｉｄ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＧＦ　ｓｅｔ［Ｊ／ＯＬ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　０ｆｔｈｅ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ，２０１５，４６（１１）：３９２—３９８．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　９朱小蓉，宋月月，沈惠平，等．基于ＰＯＣ方法的少自由度无过约束并联机构构型综合［Ｊ／ＯＬ］．农业机械学报，２０１６，　４７（８）：３７０—３７７．ｈｔｔｐ：／／ＷＷＷ．ｊｃｓａｍ．ｏｒｇ／ｊｃｓａｍ／ｃｈ／ｒｅａｄｅｒ／ｖｉｅｗ—ａｂｓｔｒａｃｔ．ａｓｐｘ？ｆｉｌｅ—ｎｏ＝２０１６０８４９＆ｆｌａｇ＝１＆ｊｏｕｒｎａｌ—ｉｄ＝　ｊｃｓａｍ．ＤＯＩ：１０．６０４１／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００—１２９８．２０１６．０８．０４９．　ＺＨＵ　Ｘｉａｏｒｏｎｇ，ＳＯＮＧ　Ｙｕｅｙｕｅ，ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＰＯＣ　ｓｅｔ　ｆｏｒ　ｌｏｗｅｒ·ｍｏｂｉｌｉｔｙ　ｎｏｎ—ｏｖｅｒｅｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ［Ｊ／ＯＬ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ，２０１６，４７（８）：３７０—３７７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　（下转第４１７页）　第６期　２０　２１　邓嘉呜等：无寄生运动非对称空间２Ｔ１Ｒ并联机构设计与运动学分析　４１７　２２　杨廷力，刘安心，罗玉峰，等．机器人机构拓扑结构设计［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１２．　ＹＡＮＧ　Ｔｉｎｇｌｉ，ＬＩＵ　Ａｎｘｉｎ，ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｒｏｂｏｔ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０１８．　ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ＺＨＵ　Ｘｉａｏｒｏｎｇ，ＺＨＡＮＧ　Ｄａｎ，ｅｔ　ａ１．Ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ　ｆｏｒ　ｌｅｓｓ　ｉｎｐｕｔ—ｍｏｒｅ　ｏｕｔｐｕｔ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ［Ｊ］．　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ａｎｄ　Ｍａｃｈｉｎｅ　Ｔｈｅｏｒｙ，２０１６，１０４（１０）：４３—５８．　２３　沈惠平，邓嘉鸣，孟庆梅，等．少输入一多输出并联机构的设计方法及其应用［Ｊ］．机械工程学报，２０１８，５４（１）：２２３—２３２．　ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ＤＥＮＧ　Ｊｉａｍｉｎｇ，ＭＥＮＧ　Ｑｉｎｇｍｅｉ，ｅｔ　ａ１．Ｄｅｓｉｇｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｅｗｅｒ　ｉｎｐｕｔ—ｍｏｒｅ　ｏｕｔｐｕｔ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１８，５４（１）：２２３—２３２．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　邓嘉鸣，沈惠平，李菊，等．三维并联振动筛设计与实验［Ｊ／ＯＬ］．农业机械学报，２０１３，４４（１１）：３４２—３４６．ｈｔｔｐ：∥ｗｗｗ．ｊ—　ｃｓａｍ．ｏｒｇ／ｊｃｓａｍ／ｃｈ／ｒｅａｄｅｒ／ｖｉｅｗ—ａｂｓｔｒａｃｔ．ａｓｐｘ？ｆｉｌｅ—ｆｌｏ＝２０１３１１５７＆ｆｌａｇ＝１．ＤＯＩ：１０．６０４１／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１２９８．２０１３．１１．０５７．　ＤＥＮＧ　Ｊｉａｍｉｎｇ，ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ＬＩ　Ｊｕ，ｅｔ　ａ１．Ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｆｏｒ　ｔｈｒｅｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｉｅｖｅ［Ｊ／ＯＬ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｍａｃｈｉｎｅｙ，ｒ２０１３，４４（１１）：３４２—３４６．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　２５　李菊，曾氢菲，邓嘉鸣，等．并联振动筛筛分过程解析与筛面运动形式优选［Ｊ／ＯＬ］．农业机械学报，２０１６，４７（１１）：　３９９—４０７．ｈｔｔｐ：∥ｗｗｗ．ｊ—ｃｓａｍ．ｏｒｇ／ｊｃｓａｍ／ｃｈ／ｒｅａｄｅｒ／ｖｉｅｗ—ａｂｓｔｒａｃｔ．ａｓｐｘ？ｆｉｌｅ—ｎｏ＝２０１６１１５４＆ｆｌａｇ＝１．ＤＯＩ：１０．６０４１／ｊ．ｉｓｓｎ．　１０００—１２９８．２０１６．１　１．０５４．　ＩＪＩ　Ｊｕ，ＺＥＮＧ　Ｑｉｎｇｏｉ，ＤＥＮＧ　Ｊｉｆａｍｉｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｓｃｒｅｅｎｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｖｉｂｒａｔｉｎｇ　ｓｃｒｅｅｎ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｃｒｅｅｎ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ［Ｊ／ＯＬ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ，２０　１　６，４７（１　１）：　３９９—４０７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　沈惠平，杨梁杰，邓嘉鸣．用于肩关节康复训练的单输人三转动输出并联机构及其运动学设计［Ｊ］．中国机械工程，２０１５，　２６（２２）：２９８３—２９８８．　ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ＹＡＮＧ　Ｌｉａｎｇｊｉｅ，ＤＥＮＧ　Ｊｉａｍｉｎｇ．Ａ　ｏｎｅ·ｉｎｐｕｔ　ｔｈｒｅｅ—ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｏｕｔｐｕｔ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　ｓｈｏｕｌｄｅｒ　２７　ｒｅｈａｂｉｌｉｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｄｅｓｉｇｎ［Ｊ］．Ｃｈｉｎａ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１５，２６（２２）：２９８３—２９８８．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　邓嘉鸣，戴丽芳，沈惠平，等．并联式脚底按摩机构的设计及其研制［Ｊ］．机械设计，２０１６，３３（２）：７８—８２．　ＤＥＮＧ　Ｊｉａｍｉｎｇ，ＤＡＩ　Ｌｉｆａｎｇ，ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｐｉｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ｎｏｖｅｌ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｆｏｏｔ　ｍａｓｓａｇｅ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｄｅｓｉｇｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｃｈｉｎｅ　Ｄｅｓｉｇｎ，２０１６，３３（２）：７８—８２．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　２８　刘平松，郭钢，朱海宁．４Ｒ并联机器人工作空间分析［Ｊ］．机械制造与自动化，２０１２，４１（４）：１５６—１５７．　ＬＩＵ　Ｐｉｎｇｓｏｎｇ，ＧＵＯ　Ｇａｎｇ，ＺＨＵ　Ｈａｉｎｉｎｇ．Ｗｏｒｋｓｐａｃｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｉ４Ｒ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｒｏｂｏｔ［Ｊ］．Ｍａｃｈｉｎｅ　Ｂｕｉｌｄｉｎｇ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，　２０１２，４１（４）：１５６—１５７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　（上接第４０７页）　ｌＯ　曹文熬．空间多环耦合机构数字化构型综合理论［Ｄ］．秦皇岛：燕山大学，２０１４．　ＣＡＯ　Ｗｅｎａｏ．Ｄｉｇｉｔａｌ　ｔｙｐｅ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｓｐａｔｉａｌ　ｍｕｈｉｌｏｏｐ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ［Ｄ］．Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ：Ｙａｎｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１４．　（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　１　１　ＤＯＲＳＴ　Ｌ．３Ｄ　ｏｒｉｅｎｔｅｄ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｇｅｏｍｅｔｙｒ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｖｅｒｓｏｒｓ　ｏｆ　Ｒ（３，３）［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｃｌｉｆｆｏｒｄ　Ａｌｇｅｂｒａｓ，２０１６，　２６（４）：１—３６．　１　２　Ｕ　Ｈ，ＺＨＡＮＧ　Ｌ．Ｌｉｎｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｕｌｌ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｏｖｅｒ　Ｒ（３，３），ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｓｔｅｗａｒｔ　ｐｌａｔｆｏｒｍｓ［Ｍ］∥ＬＡＳＥＮＢＹ　Ｊ．Ｇｕｉｄｅ　ｔｏ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｉｎ　ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｌｏｎｄｏｎ，２０１　１：　２０７—２２１．　１３　ＣＬＩＦＦＯＲＤ　Ｗ．Ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｄｙｎａｍｉｃ：ａｎ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｍｏｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｒｅｓｔ　ｉｎ　ｓｏｌｉｄ　ａｎｄ　ｆｌｕｉｄ　ｂｏｄｉｅｓ［Ｍ］．ＭａｃＭｉｌｌａｎ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐａｎｙ，１８７８．　１４　ＨＥＳＴＥＮＥＳ　Ｄ．Ｎｅｗ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｍｅｄｉａ，２０１２．　１５　ＳＯＭＭＥＲ　Ｇ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｉｎ　ｒｏｂｏｔ　ｖｉｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ａｌｇｅｂｒａ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，　２００５：２５８—２７７．　１　６　ＳＯＭＭＥＲ　Ｇ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｗｉｔｈ　Ｃｌｉｆｆｏｒｄ　ａｌｇｅｂｒａｓ：ｔｈｅ　ｏｒｅｔｉｅａｌ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｖｉｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｒｏｂｏｔｉｃｓ　［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｍｅｄｉａ，２０１３．　１７　ＨＩＬＤＥＮＢＲＡＮＤ　Ｄ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｉｎ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｇｒａｐｈｉｃｓ　ｕｓｉｎｇ　ｅｏｎｆｏｒｍａｌ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ，　２００５，２９（５）：７９５—８０３．　１　８　ＡＲＩＳＴＩＤＯＵ　Ａ．Ｉｎｖｅｒｓｅ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｕｓｉｎｇ　ｃｏｎｆｏｒｍａｌ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ［Ｍ］∥ＬＡＳＥＮＢＹ　Ｊ．Ｇｕｉｄｅ　ｔｏ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｉｎ　ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｌｏｎｄｏｎ，２０１　１：４７—６２．　１９　ＤＯＲＡＮ　Ｃ，ＬＡＳＥＮＢＹ　Ａ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｏｒｆ　ｐｈｙｓｉｃｉｓｔｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，２００３．　２０　ＤＵ　Ｊ，ＧＯＬＤＭＡＮ　Ｒ，ＭＡＮＮ　Ｓ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　３Ｄ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｃｌｉｆｆｏｒｄ　ａｌｇｅｂｒａ　Ｒ（４，４）［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｃｌｉｆｆｏｒｄ　Ａｌｇｅｂｒａｓ，２０１７：１—２４．　２１　黄真，赵永生，赵铁石．高等空间机构学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．　２２　ＦＯＮＴＩＪＮＥ　Ｄ．Ｇａｉｇｅｎ　２：ａ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｌｇｅｂｒａ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｇｅｎｅｒａｔｏｒ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　５ｔｈ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｇｅｎｅｒａｔｉｖｅ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＡＣＭ，２００６：１４１—１５０．　２３　ＺＬＡＴＡＮＯＶ　Ｄ，ＢＯＮＥＶ　Ｉ，ＧＯＳＳＥＬＩＮ　Ｃ．Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ　ａｓ　Ｃ—ｓｐａｃｅ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ｒｏｂｏｔ　Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ，　２００２：１８３—１９２．