武汉理工金融学数量经济学统计学试题概率论试题
武汉理工金融学/数量经济学/统计学试题 武汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题 专业应用数学课程概率论与数理统计
(共 2 页,共 7 大题,答题时不必抄题,标明题目序号)
(考试时间3小时,满分100分,武汉理工大学数学与物理系。) 一、(15分) 求下列问题的概率:
1.(生日问题)设有r个人,r≤365,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均
等的。问这r个人有不同生日的概率是多少?(5分)
2.(配对问题)某营房有n个战士,每个战士有1枝。一次夜间紧急集合,每个战士随意抄起1枝就冲出营房。天亮以后战士们回到营房,发现没有一个战士拿对自己的的可能性是
多少?(5分)
3.(巴拿赫问题)某人的口袋里经常装有两盒火柴,每盒n枝。使用时,在这两盒中等可能地任取一盒,然后从中抽取1枝。如果有1盒火柴刚好用完,问此时另1盒中恰有r枝火柴的概率
是多少?(5分) 二、(15分)
求下列问题的密度函数:
1.设随机变量(随机变数)X, Y相互,且都服从[0,1]区间上的均匀分布,求随机变量
Z=X+Y的密度函数fZ (z)。(7分)
2.将火炮射击目标作为坐标原点,设火炮射击时弹着点的坐标(X, Y)服从二维正态分布,密
度函数为:
试求弹着点与目标之间的距离所服从的分布密度函数f R ( r )。(8分)
三、(15分)
求下列问题的数字特征:
1.(χ2分布)设随机变量X 的密度函数为 其中n为正整数,试求E(X)与的D(X)。(7分)
2.(圆上的均匀分布)设二维随机变量(X,Y)服从以原点为圆心,r为半径的圆上的均匀分布,
证明X,Y的相关系数为0,但X,Y不。(8分) 四、(10分)
求服从标准正态分布N(0,1)的随机变量X的特征函数φ(t)。 五、(12分)
讨论标准化变换问题:
1.设X服从一般正态分布N (μ, σ2),作标准化变换 Y =(X -μ)/ σ。说明Y的分布,并
予以证明。(4分)
2.设X服从一般分布,有E(X)=μ<∞,D(X)=σ2<∞,作标准化变换 Y =(X -μ)/ σ。求出Y
的数学期望与方差。(4分) 3.
设
独
立
的
随
机
变
量
序
列
{Xk}
有
E(Xk)=μk<∞,D(Xk)=σk2<∞,k=1,2,3,…,
令 ,μn=E(Zn), σn2=D(Zn),作标准化变换 Y =(Zn-μn)/ σn 。说明Y的分布,(不必证明)。
(4分) 六、(12分))
1.设总体X的分布函数为F(X),X1,X2,…,Xn 为其子样(样本),试求子样中的最大项
Xn*=max(X1,…,Xn)的分布函数Fn(u)和密度函数fn(u),子样中的最小项X1*=min(X1,…,Xn)
的分布函数F1(v)和密度函数f1(v)。(7分)
2.若总体X服从参数为λ的指数分布，其分布函数为
试写出子样X1,…,Xn的最大项Xn* 和最小项X1* 的分布函数和密
度函数Fn(u)、fn(u)、
F1(v)、f1(v)。(5分) 七、(21分)
设总体X服从正态分布N (μ, σ2),
1.求出参数μ及σ2 的极大似然估计量 ;(6分) 2.分别讨论的无偏性;(6分)
3.将改进为无偏估计量;叙述罗-克拉美不等式;然后分别验证改进的无偏估计量是μ和
σ2优效无偏估计量和渐近优效估计量。（9分) 武汉理工大学2002年硕士研究生入学考试试题 专业应用数学课程概率论与数理统计
(共 2 页,共 7 大题,答题时不必抄题,标明题目序号) (考试时间3小时,满分100分。) 一、(10分)
设有n个人排成一行,甲与乙是其中的两个人,求这n个人的任意排列中,甲与乙之间恰有r 个人的概率(r<=\"\" bdsfid=\"118\" p=\"\">
二、(13分)
一架电梯开始时有6位乘客,并等可能地停于10层楼的每一层,假定乘客离开的各种可能性
具有相同的概率,求下列事件的概率:
1)某一层有2位乘客离开; 2)没有2位乘客在同一层离开; 3)恰有2位乘客在同一层离开; 4)至少有2位乘客在同一层离开。 三、(10分)
将火炮射击目标作为坐标原点,设火炮射击时弹着点的坐标(X, Y)服从二维正态分布,密度
函数为:
试求弹着点与目标之间的距离所服从的分布密度函数f R ( r )。 四、(12分)
设某商店里每天来到的顾客数X服从泊松分布, ;每个顾客是否购买某种商品是的,概率
为p;
1).证明恰有k个顾客购买该种商品的概率也服从泊松分布,求出其参数;
2).求出其均值与方差。 五、(10分)
设二维随机变量(X,Y)服从以原点为圆心,r为半径的圆上的均匀分布,证明X,Y的相关系数
为0,但X,Y不。 六、(15分)
设随机变量(X,Y)的联合分布为
所定义的三项分布,其中。按照下列方法求 , , , 及X,Y的协方差Cov(X,Y):
1)由直接计算;
2)分别把X和Y表成r个随机变量的和。 七、(10分)
设为总体X的一个样本, , , 表示样本均值, 表示样本方差。 1)求 , ;
2)证明是的无偏估计。 八、(20分)
设为总体的一个样本,X服从指数分布: 1)求参数的极大似然估计; 2)求参数的矩估计; 3)证明 ,已知 ;
4)求的置信度为( )的单侧置信下限。
武汉理工大学2003年硕士研究生入学考试试题 专业应用数学、数量经济学课程概率论与数理统计 (共 2 页,共 7 大题,答题时不必抄题,标明题目序号) (考试时间3小时,满分150分。) 一、(事件与概率)(25分)
1.某工厂有4个车间生产同一种产品,产量分别占总产量的
15%,20%,30%和35%,又这4个车
间的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。
(1)若从出厂产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率为多少? (2)若从出厂产品中任取一件恰为不合格品,问它属于第一个车间的概率是多少?
2.已知一个母鸡生个蛋的概率为 ( ),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 ,求一个母鸡恰
有个下一代(即小鸡)的概率。 二、(离散型随机变量)(25分)
1.从数字中任选两个不同的数字,以表示这两个数字之差的绝对值, (1)求随机变量的分布列; (2)求。
2.设是两个的随机变量,它们分别服从参数为和的普哇松分布。 (1) 求的分布; (2) 求条件分布。
三、(连续型随机变量)(25分)
1.确定下列函数的常数 ,使得该函数是一元分布的密度函数: (1) ; (2) 。
2.设二维随机变量的密度函数是 , (1) 求 ;
(2) 求 , ;并验证X、Y是否? 四、(大数定律与中心极限定理)(16分) 1.叙述并证明契贝晓夫不等式; 2.叙述并证明契贝晓夫大数定律; 五、(数理统计的基本概念)(24分) 1.设及为两组子样观测值,它们有如下关系 (1)求子样平均值与之间的关系; (2)求子样方差与之间的关系。
2.设母体 ,子样方差 ,求 ,并证明当增大时,它为。 六、(参数估计)(18分) 设随机变量服从普哇松分布: 其中是一未知参数,
(1)求的矩估计与极大似然估计;
(2)计算的信息量 ,并说明参数的一个无偏估计的方差达到罗-克拉美不等式的下界。
七、(假设检验)(17分)
设正常生产时,轴承内环的锻压零件的平均高度服从正态分布。现从中抽取16只内环,其
平均高度毫米。
(1)求内环的平均高度的置信度为的置信区间。
(2)设正常生产时的零件平均高度为30毫米( : 毫米),试在显著性水平为5%的条件下,检验
现在的样品是否为正常。
武汉理工大学2004年硕士研究生入学考试试题 课程概率论与数理统计
(共 2 页,共 4 大题,答题时不必抄题,标明题目序号) (考试时间3小时,满分150分。) 一、(分房问题)(35分)
设有个粒子,每个粒子都等可能地进入个能级状态中的任一个能级状态( )。求下列事件的
概率: 1.(粒子可辩):
(1)指定的个能级状态中各有一个粒子; (2)恰好有个能级状态,其中各有一个粒子; (3)至少有两个粒子处于同一能级状态; 2.(粒子不可辩):
(1)某一个指定的能级状态恰好有个粒子; (2)恰好有个能级状态没有粒子;
(3)指定的个能级状态中正好有个粒子。 二、(二项分布)(35分) 1.(分布列)
(1)简要推导二项分布的分布列;
(2)简要推算二项分布的概率在取何值时取得最大值; 2.(数字特征)
(1)用两种不同的方法计算二项分布的期望; (2)用两种不同的方法计算二项分布的方差 3.(近似计算)
(1)简要说明二项分布的普哇松(Poisson)近似;
(2)简要说明应用中心极限定理近似计算二项分布的概率 ,( )。 三、(均匀分布)(40分)
1.设二维随机变量服从圆上的均匀分布: (1) 求 ;
(2)求边缘分布 ,并验证X、Y是否? (3)求条件分布 , ; (4)求数学期望、、 ;
(5)求协方差 ,并说明随机变量的协方差为0与性之间的关系。 2.设母体服从均匀分布: 是一随机子样。 (1)求未知参数的矩估计 ; (2)求未知参数的极大似然估计。 (3)分别说明、作为点估计的无偏性质。 四、(次序统计量)(40分)
1.设母体的密度函数为 , 为取自这一母体的一个子样,其次序统计量为。
(1)证明第个次序统计量的分布函数为 (2)证明第个次序统计量的密度函数为 (3)写出最大次序统计量的密度函数; (4)写出最小次序统计量的密度函数。
2.设母体有密度函数 , 为其容量为4的次序统计量,求的密度函数和分布函数。
